В Максимович - Дифракція пружних хвиль у нескінченних пластинках з отворами прямокутної форми - страница 1

Страницы:
1  2 

Максимович В., Мікуліч О. Дифракція пружних хвиль у нескінченних пластинках з отворами прямокутної форми // Вісник ТДТУ. - 2008. - Том 13. - №4. - ст.. 7-13. - (механіка та матеріалознавство).

УДК 539.3

В. Максимович, докт. фіз.-мат. наук; О. Мікуліч, канд. техн. наук

Луцький національний технічний університет

ДИФРАКЦІЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ У НЕСКІНЧЕННИХ ПЛАСТИНКАХ З ОТВОРАМИ ПРЯМОКУТНОЇ ФОРМИ

Розроблено методику дослідження динамічної концентрації напружень біля отворів складної форми у нескінченних пластинках при усталених коливаннях. Для розв'язання поставленої задачі використано метод граничних інтегральних рівнянь у поєднанні з апаратом теорії функцій комплексної змінної та методом механічних квадратур, що дало можливість проводити дослідження областей практично довільної форми. На основі розробленої методики проведено розрахунки напруженого стану нескінченних пластинок з отворами неканонічної форми.

V. Maksymovych, О. Mikulich

DIFFRACTION OF RESILIENT WAVES IN ENDLESS PLATES WITH HOLES OF RECTANGULAR FORM

The method of research of concentration of tensions near holes of no the canon form in endless plates under steady-state oscillations is developed. A task is solved by the methods of the boundary integral equation, theories of functions of complex variable, mechanical quadrature. Executed test tasks confirm exactness of offered approach. Computations of tense state of endless plates with the rectangular holes are conducted.

Умовні позначення со - частота навантаження; сі, с2 - швидкість хвиль розширення та зсуву; Е - модуль пружності І роду; v - коефіцієнт Пуассона.

Вступ. У багатьох галузях сучасного машинобудування широко використовуються пластинчасті елементи конструкцій, які експлуатуються при динамічних навантаженнях. Для оцінки їх міцності та надійності необхідно проводити детальне дослідження напруженого стану. Наявність у таких елементах конструкцій отворів та вирізів істотно ускладнює характер розподілу напружень, що пов'язане з відбиттям пружних хвиль від границь пластинки.

У роботі проведено аналіз задачі про поширення пружних хвиль у нескінченних пластинках, що послаблені отворами складної форми. Для її розв'язування використано метод граничних інтегральних рівнянь, апарат теорії функцій комплексної змінної та метод механічних квадратур, що дало можливість розробити ефективний алгоритм дослідження напруженого стану пластинок, що послаблені отворами практично довільної форми.

Задача про дослідження питань дифракції пружних хвиль у нескінченних пластинках з круговими отворами в роботах О.М. Гузя, Г.М. Савіна, В.Д. Кубенка та ін. розв'язана методом рядів. У працях Муна, Пао та ін. такий клас задач досліджувався методом багатократних відображень.

Для пластинок, що послаблені отворами неканонічної форми, у роботах О.М. Гузя, Г.М. Савіна, В.Д. Кубенка напружений стан досліджувався сумісним використанням методу рядів та методу збурення форми границі. У зв'язку з громіздкістю числового алгоритму цих підходів, розрахунки динамічного напруженого стану були проведені лише для двох перших наближень.

Алгоритм розв'язування задачі. Позначимо через D область, яку займаєпластинка. Приймемо, що вона обмежена граничними контурами L, L1, Lk , причому контур L охоплює решту контурів. Віднесемо пружну пластинку до декартової системи координат Ox1x2. Дослідимо питання про усталені коливання пластинки, що послаблена отворами неканонічної форми.

У випадку плоского напруженого стану потенціальне зображення загального розв'язку для переміщень має вигляд [1]:

щ = (1)

де р1, р2 - невідомі комплексні потенціальні функції, Uу =(і//3у -ХУГ])/(2npc2)

відомі функції, i, j=1, 2; ri = dr / dxi, r та у вибрані з врахуванням умов Зоммерфельда у вигляді [1, 2]:

л1(хі -x0)2 +(x2 -X0)

вирази для функцій х

in {

2

H 0

cor

С2

+

J

cr

V c2 J

£2.

H;2

-r

c1

in {

2

H 2

cor

c2

Sl

2 Я 22

J

(cor ^

V ci J J

де c;2 = E-v2)), c22 = E/(2p(1 + v)), p - густина матеріалу, H2K(z) = JK(z) -iYK(z) - функції Ґанкеля другого роду, J2( z), Y2( z) - функції Бесселя відповідно першого та другого роду. Інтегрування по області та вздовж границі проводиться за змінними x1°, x0. Тут і далі біля переміщень та напружень опущений часовий множник є1-, т - час.

Напруження у довільній точці пластинки на площині з нормаллю n визначимо з представлення [1, 3]:

2К - iт sn )

Re І —     -iU2)

1 -v

dz

+ є

2ia

2E

1 + v

(u1 - iu2)

dz

(2)

де z = x1 + ix2, a - кут між нормаллю до площини і віссю Ох1.

Враховуючи, що функції Uу, а разом з ними переміщення Uj, є комплексними,

то дослідження проведемо для дійсної та уявної частини зображень (1). З врахуванням вище сказаного, отримаємо залежності для визначення напружень:

2(<7n* - i т snR ) = J /1 RqRdt +\f2 RqRdt - J f1 'q'dt - J /2 'tdt,

де fi   = fi (xj, x2,   xj , x2),    fi = fi(xi, x2,   xj , x2),   i=1, 2 -     відомі   функції дійсного

аргументу,  що  містять  функції Бесселя другого та  першого роду відповідно,

qR = i pR ds / dt, q = i p ds / dt - невідомі функції, pTR = Re pi , pi = Im pi .

Враховуючи нерегулярність підінтегральних функцій fR, i=1, 2 при малих значеннях аргументу, представлення для визначення напружень запишуться у вигляді:

2(^R - tr )

1 1 + v 2ni 2

Jf

dz z -1 dz z -1 1

'z -1

q

2nii

1 + v 1 2  z -1

dz 3 - v 1 dz   2  z -1

qRdt + J G1RqRdt + J G2RqRdt - J f1IqIdt -J f2IqIdt

(3)

L

2

С

V

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

1   1+ V

2ni 2

ГІ І

dz z t i^ dz z t j

z-t q

1 r(  1 + v

2nii\    2 z I +

+

dz 3 — v 1 dz   2  z t

(4)

qIdt + j G1Rq[dt + j G2RqIdT + j f1IqRdt + j f2IqRdt

де f!, Gi = Gt(xi, x2, xj°, xj0), i=l, 2 є обмеженими і неперервними скрізь в області D функціями дійсного аргументу. Співвідношення (3) та (4) записані з врахуванням асимптотичних виразів для функцій Бесселя другого роду при малих значення аргументу [3].

Для знаходження невідомих функцій qR та q1 при заданих на границі навантаженнях у співвідношеннях (3) та (4) виконаємо граничний перехід, використавши формули Племеля-Сохоцького [1, 3]:

-R        1    1+ V

q +

її

dz z t

1

1 І— qRdt — — f. _  _ . .

2пі  2 L   dz z t     j z t j        2ni JL у    2  z t   dz   2  z t j

1 + v   1     dz 3 — v 1

x

xqRdt + j GlRqRdt + j GRqRdt  j f1IqIdt  j f2IqIdf = 2SR,

(5)

-j     1 1 + v

qI +--

2ni 2

d | dz z t dz z t

1

1

qIdt

z t j 2ni

1 + v   1     dz 3 — v 1

2  z t   dz   2   z t j x

xqIdt + j G1RqIdt + j G2RqI dt + j f1IqRdt + j f2IqRdT = 2SI

(6)

де перші два інтеграли є у розумінні головного значення, SR, S - відомі функції.

Розглянемо один з граничних контурів, який позначимо через Q. Його рівняння в параметричній формі запишемо у вигляді: x1=p(6), x2=y/(6), °<в<2ж. Параметр в виберемо так, щоб при обході границі область залишалась зліва. Тоді на границі має місце представлення: t = (p(6)+iy/(6) =g(6).

Для розв'язування інтегральних рівнянь (5)-(6) використаємо метод механічних квадратур [1, 2]. Після заміни інтегралів відповідними квадратурними формулами отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих функцій q11 та qI:

к

к

к

к

qvR+hi flqnRg'n+hi fvvnqnRg'nhi f!vnqn1g'nfLqJg'n = 2Sv

и=1

K

n=1

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В Максимович - Дифракція пружних хвиль у нескінченних пластинках з отворами прямокутної форми

В Максимович - Пружно-пластична задача для обмеженої пластинки з м'яким еліптичним включенням