М Жук - До питання про оцінку швидкості збіжності методу канторовича - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2009. Віт. 15. C. 43-51

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2009. Is. 15. P. 43-51

УДК 519.6

ДО ПИТАННЯ ПРО ОЦІНКУ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ МЕТОДУ КАНТОРОВИЧА

М. Жук*, А. Кіндибалюк", Н. Щербина***

Львівський національний університет імені Івана Франка,

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000 Київський національний університет будівництва та архітектури, Повітрофлотський проспект, 31, м. Київ, 03037 Інститут прикладних проблем механіки і математики . . ,     . , 3 ,   .       , 79601

Викладено деякі результати досліджень стосовно питання про оцінку швидкості збіжності методу Канторовича для розв'язування лінійних двовимірних задач математичної фізики для окремих випадків крайових умов. При застосуванні варіаційних методів, зокрема методу Канторовича, для розв'язування задач математичної фізики однією з головних складностей є побудова повної координатної системи функцій. Для низки задач математичної фізики оцінка швидкості збіжності методу Канторовича у разі застосування конкретних координатних функцій випливає з оцінок деяких інтегралів, які можна розглядати як енергетичні норми певних енергетичних просторів. У зв'язку з цим виникає питання про побудову найліпшого наближення функції за тою чи іншою енергетичною нормою. У випадку області спеціального вигляду за деяких умов на функцію та її частинні похідні побудовано та обгрунтовано такі .

Ключові слова: двовимірна крайова задача, метод Канторовича, збіжність. 1. ВСТУП

Вибір ефективного методу розв'язування будь-якої задачі залежить від її , . методів, які широко застосовують у комп'ютерному моделюванні, домінують варіаційні методи [1, 8-10]. У [10] описано методи побудови найпоширеніших варіаційних формулювань крайових задач та методи побудови їхніх наближених '      . , ,

'

побудова повної координатної системи функцій. Метод Канторовича застосовний до крайових задач з додатно визначеним диференціальним оператором. Принагідно

, '

'.

задач присвячена праця [6]. У [3] для розв'язування диференціального рівняння другого порядку еліптичного типу з постійними коефіцієнтами, що не містить мішаної похідної та перших похідних, за граничних умов Діріхле на межі прямокутної області застосовано метод Канторовича за певного вибору координатних функцій й досліджено його збіжність. У [4] досліджено можливість застосування цього методу для розв'язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння в частинних похідних четвертого порядку зі сталими коефіцієнтами за однорідних

© Жук М, Кіндибалюк А., Щербина Н., 2009граничних умов на шуканий розв'язок,визначено збіжність методу та наведено оцінку швидкості збіжності.

У [11, 12] розглянуто комбінований алгоритм розв'язування лінійних крайових двовимірних задач на підставі методу Канторовича. Апробацію алгоритму виконано на модельних задачах і досліджено достовірність отримуваних результатів шляхом порівняння їх з розв'язками, що знайдені іншими методами. На підставі аналізу отриманих результатів з'ясовано, що точність наближеного розв'язку залежить від вибору координатних функцій у методі Канторовича. На точність наближеного розв'язку впливає також точність розв'язання системи Канторовича, отриманої внаслідок редукції двовимірної задачі. Вочевидь, спадкову похибку у розв'язок вносить побудована математична модель досліджуваної прикладної задачі.

Мета нашої праці - визначити деякі умови, що забезпечують відшукання оцінки швидкості збіжності методу Канторовича у випадку диференціальних рівнянь у частинних похідних другого і четвертого порядків, до яких зводиться розв'язання багатьох важливих задач інженерної практики.

Нехай маємо рівняння вигляду

Lu = q , q є H ,

за деяких крайових умов, де L - диференціальний оператор; Q(L) с H - область визначення оператора; H - гільбертів простір. Диференціальний оператор L вважаємо додатно визначеним.

Припускаємо, що функції, які належать області визначення Q(L) оператора

L , .

природні крайові умови. Вживаючи далі терміни головні та природні умови, можна користуватися такою ознакою поділу крайових умов на головні та природні [9], а саме: якщо диференціальне рівняння має порядок , то крайові умови, що містять похідні до порядку к -1 включно, є головними, а крайові умови, що містять похідні порядку к та вище - природні крайові умови. Зауважимо, що функції з енергетичного простору додатно визначеного оператора L обов'язково задовольняють головні крайові умови задачі і не обов'язково природні крайові умови.

Метод Канторовича полягає в тому, що наближений розв'язок шукають у такій формі, що до його складу входять невизначені функції однієї змінної [5]. Наприклад, у випадку двовимірної задачі згідно з методом Канторовича її розв'язок шукають у вигляді

n

zn (xy) = Zск (x)<Рк (xy),

к=1

де ск (x) - шукані функції; \срк (x,y)} - система функцій, яку вибираємо таким способом, щоб система функцій {%, (x)<рк (x,y)} була повною в енергетичному

просторі оператора, тобто послідовність {%, (x)<рк (x,y)} має бути такою, щоб за

допомогою її можна було апроксимувати довільну функцію з енергетичного , . Оскільки у випадку головних крайових умов функції з енергетичного простору

, ,координатних функцій {%, (x)<рк (x,y)} задовольняє головні крайові умови. На підставі цього систему функцій {рк (x,y)} вибираємо таким способом, щоб вони задовольняли головні крайові умови на частині контуру, а систему {%, (x)} такою, щоб функція Хі (x)<Pt (x,y) задовольняла головні крайові умови на всьому контурі [2].

Відшукання невідомих коефіцієнтів ск (x) згідно з методом Канторовича приводить до розв'язування відповідної до вихідної задачі математичної фізики

ск (x)

умов, які забезпечують виконання головних крайових умов функції un (x,y) на всьому контурі. За координатні функції рк зазвичай беруть перші n функцій з будь-якої повної системи, наприклад, системи тригонометричних поліномів. Зазначимо, що точність апроксимації розв'язку крайової задачі залежить від вдалого вибору координатних функцій і від їхньої кількості.

Якщо розглядається задача за природних крайових умов, то функції з енергетичного простору можуть їх не задовольняти й умова повноти означає лише можливість апроксимувати довільну функцію з енергетичного простору [7]. У цьому разі відшукана з застосуванням методу Канторовича функція буде задовольняти й задані природні умови. Отже, крайові умови для шуканого розв'язку виконуватимуться. Зазначимо таке: якщо можна вибрати таку повну систему

функцій, (x)рк (x,y)} , щоб ці функції задовольняли задані крайові умови задачі, то

в цьому випадку значно спрощується відповідна система рівнянь методу Канторовича. Зауважимо, що у випадку, коли частина крайових умов задачі є

, , вибираємо так само, як і у випадку головних крайових умов. У цьому разі згідно з методом Канторовича відповідна до вихідної задачі система методу Канторовича та відповідні цій системі крайові умови формулюються так, що наближений розв'язок

, , (головні та природні).

2. ,

ЗБІЖНОСТІ МЕТОДУ КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Оцінку швидкості збіжності методу Канторовича для різних типів диференціальних рівнянь у частинних похідних можна отримати, якщо буде розв'язана задача про мінімум того чи іншого функціонала. Для низки задач оцінка швидкості збіжності у разі застосування конкретних координатних функцій випливає з оцінки інтеграла

dxdy, (1)

де D = {0 < x < і, 0 < y <п} - прямокутна область; a (x, y), b (x, y), с (x, y) - деякі . , [5], .

Лема 1. Нехай функція u(x, y) визначена в області D є такою, що функції Э u    д_и_ ]нтегр0ван] з квадратом в області D . Тоді можна побудувати функцію

dxdy dy

un (x y) = Z f (x)cosky,

к=0

де /к (x) - функції від x такі, що величина

J (u - un) = O

1

.

n

v(x,y) = ^ fk (x)cosky , 0 < x < і, 0 < y <п;

к=0

fk (x ) = \u (x, y )cos kydy , w (x, y ) = u (x, y)- v (x, y).

Виконуючи інтегрування частинами, отримаємо

dw   du   dv   du s     ,     du   Л f 2 "?du     , ,

z f(x )cos ky=^ 2j _Jt~ cos kydy

■ - dx   к=0\n 0 dx

dx    dx   dx    dx к=0

, , cos ky .

п 0K dxj       к=n+A n 00 dx

cos kydy

f  ~   п  -\ 2

2  r d u

V   — [-sinkydyl <--— f

кп0dxdy       )   (n+1) п0\

J

п2 2 A d u

отже,

d2u2

dxdy

0dxdy

dxdy.

dy;

J

J

Далі отримаємо

dw   du   dv   du   Л, „ , , . ,     du        \ ,     ч     , ,

=-——=+z к (x )sin ky=+zIu   y )cos kydy

dy    dy   dy   dy   к=1 dy   к=\ п 0

sin ку -

= Эи - j4 _2 гЭи sin kydy) sin ку. dy   tt{п 00dy J Звідси, використовуючи рівняння замкнутості, отримаємо таку нерівність:

2    dw \2        ( 2 п du

— П —  dy = V   [— sin kydy

п0\ dy )       кІҐп0dy

п2

2  rd u

Y\  IVr cos kydy   <--— f

k=n?+\ кп 0 dy )    (n +1) п 0

0 Vdy 2 J

dy.

,

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

І\ дУ (n + f)2jA dy2

dxdy .

Зрештою, з урахуванням нерівності (7) отримаємо

п

jVdy = Z fl (x)= Z  Ім(x,y)coskydy

z

k=n+

. ~r Z 2ЯгsinkydA = / 1 n2 z kcos

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

М Жук - До питання про оцінку швидкості збіжності методу канторовича