Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Задача коши для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара - страница 1

Страницы:
1  2 

Задача Коши для квазилинейного гиперболического уравнения в работах Пикара

 

Косолапое Ю.Ф., Мамичева В.Д.,

Донецкий национальный технический университет

 

В статті, за методом Пікара, авторами доводиться існування розв 'язку задачі Коші для квазілінійного гіперболічного диференціального рівняння дру­гого порядку. Висвітлюється історія розгляду Пікаром деяких інших крайо­вих задач для гіперболічних рівнянь.

1. В предыдущей статье речь шла об исследовании Пикаром характери­стической задачи для квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

Zxy = F(x,y,Z,Zx,Zy ) .                           ( 1 )

Что касается не менее важной как для теории, так и для приложений задачи Коши, то Пикар ее решением специально не занимался, ограничившись [2] замечанием, что этот вопрос не требует особых рассуждений. В данной ста­тье мы постараемся восполнить отсутствующие рассуждения Пикара и тем самым показать, что в работах [1, 2], при их тщательном сопоставлении, дей­ствительно создана теоретическая база, позволяющая достаточно строго до­казать разрешимость задачи Коши для уравнения (1). В качестве начальных условий мы возьмем условия «в форме Пикара», то есть

Z\y=y (x) = <P(x\ Z\x=x(y ) = ФІУ1 z(x0 , Уо)= Z0 ,      ( 2 )

где j(x),f(y) - функции, непрерывные соответственно на отрезках [x0 ,xb 1 [y0 ,yB ].

Нетрудно заметить, что достаточно ограничиться простым случаем Х0 = yo=0, Zo=0,<P(x) = 0, <t>(y) = 0

и рассмотреть задачу

J          Zxy = F (x,y,Z,Zx,Zy)                             ( )

{Z(0;0)=0,Zx|y=y(x )=0,Zy\x==4y )=0.   ( )

В самом деле, в противном случае можно было бы положить сначалах у

z(x,y) = и{х,у) + Zq + jppx)dx + jf( у )dy

у0

а затем х = х0+Х, у = y0+h На функцию F(x,y,z, p,q) наложим те же два условия, что и в заметке [2], а именно, непрерывность на множестве

G = {х,у, z, u, v): (х,у R, |z| £ a, |и| £ b, |v| £ b} и справедливость условия Липшица по трем последним аргументам

|F(х,у, z', u',v')-F(х,у, z, u,v) < &j|z' Z + k2|u' U + k3|v' V , где 0 < кі = const, i = 1, 2, 3 ■

Образуем по образцу заметки [2] итерационную последовательность за­дач,

(zi)xy = F(х, у, 0,0,0),
'      (zn )ху = F (х, y,Zn—i,(zn—i)x,(zn—i)y ),n = 2, 3,...,            ( 4 )

Zn (0; 0)= 0, (zn\\у==Лх)= 0, (zn )у\х==х(у)= 0,n = 1, 2, 3,

отличающуюся от задач (6) предыдущей статьи только краевыми условиями, а именно условиями

Zn (0;0)=0,(zn )х|у=y(x)=0,(zn )у|х=х( у )=0

вместо

Zn (x,0)=0,Zn (0,у) = 0 ■ Теперь методом статьи [1], предполагая, как в заметке [2], выпол­ненными условия

Mpp < a,Mp< b,Mp'< b ,                     ( 5 )

докажем равномерную сходимость рядов вида

Z1+ £ (zn Zn—1) ,                        ( 6 )

2

£ un,£(un\,£(un )у,                                  ( 7 )

1        1 1

 

(Z1 )х + £ (zn Zn—1 )х , (Z1 )у + £ (zn Zn—1 )y,        ( 8 )мажорируя их геометрическими прогрессиями с тем же, что и в предыдущей статье, знаменателем

q = к1рр + к2р' + к3р.                      ( 9 )

При этом, наряду с условиями (5), мы потребуем выполнения условия q <1, обеспечивающего сходимость геометрической прогрессии. Остается перейти к пределу при n ®¥ в уравнении

(zn )„ = F [х, у, Zn_x, [zn_x )х, [zn_x )у).

Если бы мы пожелали еще менее уклониться от рассуждений заметки [2], можно было бы перейти к последовательности задач

[ui)xy = M,

[un )ху = kl«n-l+ k2[«n-l)x + k3[un-l)y,n = 2, 3,»-  ( 10 )

Un[0; 0)= 0, [unl\y=Ax)= 0, [un)Jx=x(y)= 0,n = 1, 2, 3, для которой, как нетрудно заметить,

K|£ H\[*i)x\<|[u1)x|,|[z1)y| <|[u1)y|,          ( 11 )

\z - z J < U \, \[z - z ,)\ < \[u ) \, \[z - z .) I < |[u ) I .    ( 12 )

-1                   -1 x        x            -1  у у

Однако равномерную сходимость рядов вида (7) следовало бы доказы­вать не методом заметки [2], а в соответствии со статьей [1].

Таким образом, мы не уклонимся от истины, утверждая, что Пикар дока­зал (с некоторыми легко исправимыми погрешностями) существование (но не единственность) решения задачи Коши и характеристической задачи как для линейного, так и для квазилинейного гиперболического уравнений вто­рого порядка с двумя независимыми переменными и (для линейного случая) непрерывными коэффициентами. Он не исследовал вопроса о непрерывном примыкании решения (или его первых производных) к заданным на гранич­ных кривых функциям, а в квазилинейном случае не доказывал, что функция, найденная им в качестве искомого решения, удовлетворяет уравнению и до­полнительным условиям.

2. Кроме задачи Коши и характеристической задачи Пикар уделил неко­торое внимание краевым задачам для линейного уравнения

zxy = azx + bzy + Cz ,            ( 13 огда задаются значения искомой функции на двух прямых - на характери­стике  у = 0 и биссектрисе  y = x   (работы [2, 3] ) или на двух лучах

у = ax,y = fix (работа [4], где предполагается, что |о| Ф Щ )■ В первом случае имеем условия

z\у=о= f (x), z| y==x = jx), f (0) = j(0),       ( 14 )

во втором - условия

Z y==ax = f (x), Z y==bx = jx), f (0) = j{0).           ( 15 )

Для задачи (13), (14) в предположении непрерывности функций f и j вместе с их первыми производными, Пикар повторяет схему метода итера­ций, указывает первое приближение zt (как решение задачи для уравнения

 

при условии (14)), дает общую формулу для определения функций zn, а именно формулу

y x

u = J dh\P(X,h)dX,

0 y

дающую решение задачи

Uxy = P(x,y),U|y=0=0, U\y=x =0,

и утверждает, что ряд

 

дает решение исходной задачи. Восстановление опущенных им выкладок не представляет затруднений. Равномерная сходимость рядов

Е ^ Z (zn )x, Z (zn )y

1        1 1

устанавливается существованием мажорантной геометрической прогрессии, например, со знаменателем

q = ka(2 + a),

меньшим единицы при

 

a< J1 + — -1, V де

k = max (A, B, C), |-сторона квадрата существования решения

{(x,y): 0< x <a,0< y <a}, содержащегося в квадрате

R = {(x,y): 0< x <fi,0< y <fi,fi>a} непрерывности коэффициентов a, b, c.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Задача коши для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Пикар и общие вопросы теории гиперболических уравнений

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Характеристическая задача для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара