Автор неизвестен - Перший закон кеплера - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

dS

\dr\ 2

sin a 2

2

\r\sin(p-a)

I V dt ||r |= | /r,V / |.

2

Idrl sin(aj

(1.4.20)

Векторний добуток радіус -вектора та вектора швидкості входить до визначення моменту імпульсу. Скористаємося цим виразом та перепишемо формулу для площі цього трикутника:

O

Рис. 1.4.6

(Величину

dS

dS_ dt

l dt

z.

2m

(1.4.21)

називають секторіальною

швидкістю.) Значить, для руху матеріальної точки у полі центральних сил dS=const dt. Таким чином, теоретично доведено другий закон Кеплера: «Радіус-вектор, що поєднує Сонце з будь-якою планетою, за рівні проміжки часу описує рівні площі».

Хоча Сонце також рухається через взаємодію з планетами, але маса його є дуже великою порівняно з масами планет Сонячної

30 24 3 3

системи: mC / тЗ = 2 ■ 10  кг/6 ■ 10  кг = 332 ■ 10 , mC/ тЮ @ 10 ,

тут mc - маса Сонця, m3 - маса Землі, mo - маса найважчої серед планет Сонячної системи Юпітера. А розміри радіусів орбіт руху планет навколо Сонця істотно перевищують діаметр Сонця, наведемо тут деякі з цих параметрів руху: і?С3=1,5х108 км, і?С=7х105 км, і?СЮ=7,8х108 км, і?Ю=6,3х103 км. Тому в задачах про рух планет навколо Сонця останнє можна вважати нерухомим.

1.4.8. Перший закон Кеплера

Перший закон Кеплера стверджує: «Всі планети рухаються за еліптичними орбітами навколо Сонця, яке знаходиться в одному з фокусів еліпса».

Всі свої закони Кеплер встановив експериментально, систематизувавши   та   усвідомивши   результати багаторічних

80

спостережень (як власних, так і своїх попередників). Саме спираючись на закони Кеплера, Ньютон вивів свій закон всесвітнього тяжіння. Але теоретично можна, виходячи з законів Ньютона, розрахувати траєкторію рухів планет в Сонячній системі. Для цього скористаємося законом збереження моменту імпульсу:

l = ezmrV9 = ezmr dj/dt = const та законом збереження механічної енергії:

mV2

(1.4.22)

^ mM   m .  2      2 , mM

G-= - (Vr2 + V j ) - G-

r      2 r

= m

2

1 f dr }2   r2 f dj\2 M —I I +--1 —L- I -g— = const

2 У dt)     2 У dt ) r

(1.4.23)

З цих двох законів (1.4.22) та (1.4.23) маємо два рівняння для двох невідомих функції |r(t) та j(t) . Цього досить, щоб математично описати рух планети в Сонячній системі. З (1.4.22) маємо:

dj/dt = lz /(mr2 ) .

(1.4.24)

Зробимо заміну змінної r 1 = p[j(tj\, тоді для похідної dr / dt маємо:

dr    d 1

1 d P dj = - r2d_P djj = -     ±Р_      (1 425) dt    dt p    p2 d j dt d j dt        m d j

У виразі для повної механічної енергії Е замінюємо dr / dt через (1.4.25) та dj/dt через (1.4.24).

m L^ 2 m2

f dp}

с2   ( АгЛ

2m

dp

l2„

22 mr  f l ,

2mr^

2  У mr2

GmM p =

G

mM

2

2m

dp

2

r

2

+

l2^ p2

2m

GmM p. (1.4.26)

Повна механічна енергія не залежить від азимутального кута j, тому візьмемо від неї похідну за j та прирівняємо її до нуля:

dE = 0 = ±- 2dp ^ + Lpdpp-GmMdp dj        2m   dj dj2     m  dj dj

(1.4.27)

Рівняння (1.4.27) є справедливим або якщо dp dj= 0 (що означає рух по колу), або якщо є справедливим наступне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку для величин p та j :

L\ d2p + L\

m dj 2

+ ^- p-GmM = 0

m

Перепишемо його у вигляді:

d2 p/dt2 +p = Gm2M / l2z

(1.4.28)

(1.4.29)

Введемо заміну змінної, яка перетворить неоднорідне рівняння (1.4.29) на однорідне, що спростить пошуки його розв'язку. Це

доволі проста, лінійна заміна: p1=p- Gm2M/l2z . Тоді з (1.4.29) отримаємо однорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке     використовують     у     теорії     гармонічних коливань:

d2p1 /dj2 = -p1 . Загальним розв'язком такого диференціального рівняння є будь-яка гармонічна функція: нехай, для прикладу, це буде p1 = p0 cos(j-j0 ). В цьому розв'язку присутні дві константи

інтегрування p0 та  j0 , як і має бути при здобутті розв'язку

диференціального рівняння другого порядку. Вони мають простий фізичний зміст: це амплітуда та початкова фаза коливань, відповідно.

Введемо наступні позначки: p = l2z /(Gm2M) - параметр орбіти планети. Тоді амплітуду коливань зручно записати через p : p0 = e / p , де Є - це ексцентриситет орбіти, вираз для якого буде знайдено нижче. В цих термінах розв'язок рівняння (1.4.29) має

вигляд:

1 Є

p = —І— cos(j-j0), або r = p /(1+ Є cosj). (1.4.30)

p p

Друге рівняння (1.4.30) і є рівнянням еліпса. Вибір значення початкової фази визначається початком часу спостереження, тобто j0 не впливає на тип розв' язку, тому нехай j0=0.

Знайдемо тепер другу константу Є, ексцентриситет орбіти. Для цього зручно повернутися від змінної p до радіуса орбіти: r = p /(1 + Є cos j) . Беручи до уваги властивості косинуса, можна порахувати екстремальні значення радіуса r орбіти:

rmx = P /(1 -e),rmin = P /(1 + Є)

(1.4.31)

З закону збереження повної механічної енергії зрозуміло, що екстремальним   значенням   радіуса   орбіти   відповідають нулі

швидкості   радіального руху:

dr/dt\

0

min,max

Підставимо

екстремальні значення радіуса орбіти до виразу для E:

2m 2m

У min )

r

max

- G

- G

mM

r

min

mM

rmax

(1.4.32)

(1.4.33)

Тобто для екстремальних значень радіуса орбіти rm = rmax, min маємо квадратне алгебраїчне рівняння:

r2m + rmGmM/E -l2z/2mE = 0 . (1.4.34)

Воно має однаковий вигляд як для максимального, так і для мінімального радіуса, тому не будемо конкретизувати, яке це значення радіуса. Розв' язки (1.4.34) для екстремальних значень радіуса мають наступний вигляд:

83

2

1

1

r

m

GmM     G2m2M2 l2

1 ±e        2E     V    4E2 2mE

(1.4.35)

Знайдемо з (1.4.35) аналітичний вираз для ексцентриситету Є, для цього виконаємо наступні перетворення. Поділимо (1.4.35) на p :

1      - GmM Г    Г 2El2

-=- 1 + лМ +   2  / 2 .

1 ±e     2Ep V    G m3M

(1.4.36)

2El2

Зробимо позначку y = , 1 + - ,

V     G m3M

праву частину (1.4.36) на 1 ± y:

помножимо та поділимо

1

■GmM

1 ± є 2Ep

(1 + y)(1 ±y)/(1 ±y). (1.4.37)

Скористаємося тотожністю (1±x)(1 + x)=1-x2, яка дозволить здобути в чисельнику правої частини (1.4.37) наступне:

(1 ±y)(1 + У):

2El2

G2m3M

(1.4.38)

Тоді

1      GmM 2El2

1 -

1 ±є    2Ep G2m3M2

1 ± 1+

V     G m3M

J

(1.4.39)

або

1 ±y = (1 ±e)ll /(p m2MG) . Скористаємося явним виразом для параметра орбіти p :

1 ±y = 1 ±Є.

Звідси знаходимо аналітичний вираз для ексцентриситету: (1.4.40)

(1.4.41)

Є = ^ 1+2El2z /(G2m3M2)

(1.4.42)

Аналізуючи вираз для радіуса орбіти (1.4.30), можна дійти висновку, що в залежності від величини Є- це різні криві другого порядку. Отже, для різних значень ексцентриситету маємо різні типи руху. Інфінітний рух реалізується при Є > 1 (це гіпербола) та Є = 1 (це парабола). Фінітний рух реалізується при Є < 1 (це еліпс) та Є = 0 (це коло).

Якщо E = -G2m3M2 /(2l2z ), тоді Є = 0 , значить, маємо рух по колу. Для планет Сонячної системи 1 > Є> 0 , тому - G2m3M2 /(2l2z ) < E < 0. Тобто траєкторія руху будь-якої планети в Сонячній системі є еліптичною, але дуже близькою до кола: E = 8-G2m3M2 /(2l2z ) , де 8 > 0 - це мала стала величина.

1.4.9. Третій закон Кеплера

Зміст цього закону: «Квадрати періоду часу обертання планет навколо Сонця відносяться один до одного так, як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт».

Для спрощення математичних записів доведемо це на прикладі руху по колу з радіусом R. З другого закону Ньютона для планети, що рівномірно обертається навколо Сонця по колу, маємо:

F = ma

2

mV  /R, а з закону всесвітнього тяжіння сила:

2

F = GmM / R . Звідси дістаємо рівняння, до якого вже не входить маса планети:

V2 /R = GM/R2.

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа