В Фурман - Метод фазових функцій та wkb-наближення - страница 1

Страницы:
1 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 2002. Bun. З5. С 7-11

VISNYK OFLV1V UNIV. Ser.Physic. 2002.№ 35. Р.7-11

УДК 538.9; 539.2; 548

PACS number(s): 71.10.+x; 34.80.Kw; 61.14.Dc

 

МЕТОД ФАЗОВИХ ФУНКЦІЙ ТА WKB-НАБЛИЖЕННЯ

 

В.Фурман

Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра фізики Землі вул. Грушевського, 4, 79005, Львів, Україна e-mail: fourman(a),ktf.franko. /у/у. на

На підставі методу фазових функцій отримано нові фазові рівняння за допомогою функцій, на яких грунтуються наближені методи Вентце-ля-Крамерса-Бриллюена і модифікований метод Джефріса, та запропо­новано спосіб знаходження точного розв'язку рівняння Шредінгера у те­рмінах цих методів. Виявлено співвідношення між парціальними фазами розсіяння 5(к) та фазами розсіяння для WKB-методу.

Ключові слова: WKB-метод, фаза розсіяння, фазові функції.

Досить часто для розрахунку фізичних властивостей різних систем з позицій теорії квантового потенціального розсіяння під час відшукання розв'язків рівнянь Шредінгера [1-4] застосовують наближені методи Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (WKB-метод) чи модифікований JWKB-метод Джефріса [5]. Широко вживаним є також метод фазових функцій [6], який використовують у разі розгляду воднево-подібних систем [7, 8] та розрахунку фізичних властивостей металів [9-11] у рам­ках одноелектронної теорії твердого тіла. Знайдемо можливість поєднати метод фазових функцій та WKB-метод із поведінки логарифмічної похідної розв'язків рівняння Шредінгера,

 

Розсіяння і WKB-метод. Форми фазових рівнянь у теорії розсіяння мо­жуть бути довільними, однак усі вони пов'язані між собою тотожними перетворен­нями [6], які просто випливають з умови неперервності логарифмічної похідної хвильової функції. Розглянемо розсіяння частинки в центрально-симетричному полі, коли потенціал U(r) залежить тільки від модуля відстані г. Ця задача через розклад по парціальних хвилях зводиться до знаходження радіальної частини хви­льової функції Ч-*ДА:,г) як розв'язку рівняння Шредінгера:

2

d2

dr


+ Е­


1(1 + 1)

2

г


-U(r) x¥e(k,r) = 0; k2 =E.

Зі співвідношення


dr


%(k,r)

© Фурман В., 2002з використанням означення логарифмічної похідної хвильової функції та внаслідок позначення через

QXk,r) = E-r-2£(£ + l)-U(r) отримаємо з (1) таке диференціальне рівняння

d dr


Ле(к,г) = -&(к,г) + Л2((к,г)}.


(2)

Qt(k,r)

Тоді через функцію ССе (к,г), означену як af(k,r) = arctg

Ле(к,г)\

із (2) отримуємо диференціальне рівняння

' ^ а((к,г) = &(*'Г) sin t (k,r) + Qt (к, г) dr 2Qt(k,r)

за початкової умови ае(к,0) = 0. Уведемо такі позначення

Uk,r)=)Qe(k,r')dr',   M/(ik,г) = e2,'Ь(*•r)•^(*•r),.

Тоді (4) перетвориться для МД&,г) у фазове рівняння


 

(3)

 

 

 

(4)

 

 

 

(5)

dr 20e(k,r)l


(6)із початковою умовою М f(k,0) = 0, що визначається із умови для <Zf (k,r) .

Рівняння (6) є аналогічним до фазового рівняння для амплітудної функції роз­сіяння Af(k,r) [6], а функції ({к,г), на підставі яких записано це рівняння, є наближеними розв'язками рівняння Шредінгера за методом WKB [5]:

1


±і%р{к,г)


(7)

Стандартний підхід у реалізації методу WKB [3-5] є характерним у разі дослі­дження поведінки наближених розв'язків рівняння Шредінгера, коли через замі­ну Ч?((к,г) = ехр{г'ФДА:,г)}з (1) отримують рівняння

dr


dr1

У випадку наближення

МЕТОД ФАЗОВИХ ФУНКЦІЙ ТА WKB-НАБЛИЖЕННЯ___ Ъ_

3*(£,r) = 0,

(8)

|Ф"? (*. г)| * |б" (к, r)\ «\Qt (к, r)\ -> Ф) (к, г) я ±0, (А:, г) співвідно­шення Ф((к,г) = ^(к,г) визначатиме наближені розв'язки рівняння Шредінгера З* (к, г), які є точними розв'язками диференціального рівняння: ' d2

2+Qt(k,r) + Xe(k,r) dr


у якому Х.е(к,г) означено так [4]:

1

Спробуємо віднайти спосіб знаходження точного розв'язку WKB-наближення на підставі методу фазових функцій, скориставшись функціями З* {к, г) .

 

Наслідки підходу за методом фазових функцій. Якщо у рівнянні (1)   потенціал   U(r) записати   у   вигляді   суперпозиції   двох потенціалів

U(r) = U] (г) + U2 (г), для одного з яких існують точні розв'язки рівняння Ф^'2\к,г) , то хвильову функцію ^(А:,г) зображатиме їхня лінійна комбінація [6]. Фактично, приймаючи будь-який U(г), для якого існують відповідні точні розв'язки Ф(г1,2) {к, г) рівняння Шредінгера, можна отримувати різні фазові рів­няння. А тому, якщо записати

Щг) = Е-г'Ч{і +1)-Щг) + X,(r); U2(r) = -ХДг),

а розв'язок подати через 3*(А,г) , то отримаємо таке фазове рівняння:

4- ШУ({к,г) = - ^(*'Г) {з^(A:,r) - tanу,(*,r)3(/>(к,r)f , (9) аг л

у якому r]t(k,r) = Xe{k,r)IQt(k,r).

(10)

Фазова функція /е(к,г), через яку можна віднайти точний розв'язок за З*(к,г) , матиме вигляд [9, 11]

1

tmyt(k,r) = -—---- fyg{k,x)e 2l^^k,X^dx.

 

 

З'ясуємомо, як пов'язані між собою парціальна фаза S((k,r)ra фаза уе(к,г) . Знову ж із означення логарифмічної похідної хвильової функці для фа­зової функції у({к, г) отримуємо таке співвідношення:

tan у? (к, г) =

At(k,r) + iQ((k,r)

Af(k,r)-iQf(k,r)

Оскільки к tan ае (к, г) = Q( (к, г) tan(Se (к, г) + кг), то фазову функцію розсіяння для WKB через парціальні фази розсіяння запишемо так:

tan у( (к,г) =

їк + Q((k, r) tan(Sf (k,r) + кг)

ke^e(k,r)

Функції а((к,г) і 5((к,г), за якими визначаємо уе(к,г), є фазами регуля­рних фазових функцій у задачі про потенціальне розсіяння: фаза cct(k,r) - це різниця між точною фазою й ейконалом (значенням фази у WKB-представленні):

 

 

 

Фаза 5((к,г) містить повну інформацію про відмінність від плоскої хвиліе'кг в асимптотиці хвильової функції. Оскільки при г —> ^\Q({k^) —> к , то

г

cct (к, со) » — + j{Qt (к,х) - k}dx,

і це граничне значення вплине на поведінку характеристик розсіяння та парціаль­них функцій пропускання Tf (k,co) й відбивання Ri:(k,оо), що взаємопов'язані із

граничними значеннями фазових функцій у((к,г), а((к,г), £;е(к,г).

^Rf(k,r) dr

Легко бачити, що для функції відбивання Rf (к, г), яка визначає характе­ристики розсіяння будь-якої фізичної системи [6], отримуємо рівняння

Дії)

Q'e(k,r)

е   4    -R;{k,r)e ^ '

2Qe(k,r)

розв'язок якого можна визначити за ЬЛе(к,г) із (6), як частковий розв'язок (11), так:

Rt(k,r) = M((k,r) + —±—, Zt(k,r)

за процедурою для Zf. (к, г), запроронованою у [8].

Вирази (8), (10), (11) дають змогу відшукати розв'язки цілого класу задач [2. 8, 11] як у разі дослідження оптичних властивостей різноманітних фізичних систем [1, 3] і визначення характеристик квантового потенціального розсіяння [5, 9, 10], так і у випадку взаємодії випромінювання та потоків заряджених частинок із пове­рхнею кристалів. На підставі виконаного нами аналізу поведінки логарифмічної похідної розв'язків рівняння Шредінгера та їхніх властивостей отримано за мето­дом фазових функцій точний розв'язок у термінах наближеного WKB-методу.

МЕТОД ФАЗОВИХ ФУНКЦІЙ ТА WKB-НАБЛИЖЕННЯ


11

1.       Haintz J., Grabberl H. Centrifugal ters in the WKB approximation and the semiclassical quantization of hydrogen//Phys. Rev. A. 1999. Vol.60. P.1698-1701.

2.       Sinha A., Roychoudhury R. SWKB quantization rules for bound states in quantum wells// J. Phys. B: At. Мої. Opt. Phys. 2000. Vol.33. P. 1463-1468.

3.       Friedrich H., Trost J. Accurate WKB wave functions for weakly attractive inverse-square potentials//Phys. Rev. A. 1999. Vol.59. P. 1683-1686.

4.       Froman N.. Froman O. New two-turning-point phase-integral formulafor the resi­due of the S matrix at Redge pole//Phys. Rev. A. 1991. Vol.43. P.3563-3566.

5.       Felici Т., W Engl H. W. On shape optimization of optical waveguides using inverse problem techniques//Inverse Problems. 2001. Vol.17. P.I 141-1162.

6.       Вабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М., 1988.

7.       Presnyakov L.P. Phase-shift equations in the scattering theory of particles and waves//Phys. Rev. A. 1991. Vol.44. P.5636-5641.

8.       Крайнев В.П., Пресняков Л.П. Фазовые функции потенциального рассеяния в оптике/Успехи физ. наук. 1993. Т.163. №7. С.85-92.

9.       Фурман В. Фазові функції розсіяння у кристалі металу//Вісн. Львів, ун-ту. Сер. фіз. 1999. Вип. 32. С. 17-21

10.   Фурман В. Критерії вибору псевдопотенціялу в теорії металів//Журн. фіз. досліджень. 2000. Т.4. №3. С.306-314.

11.   Фурман В. Особливості знаходження розв'язків фазових рівнянь теорії розсі­яння у розрахунку фізичних властивостей металів//Укр. фіз. журн. 2000. Т.45. №2. С.212-219.

 

 

VARIABLE FUNCTIONS METHODS AND WKB-APPROXIMATION

 

V.Furman

Ivan Franko Lviv National University, department of the Physics of the Earth Gryshevsky sir., 4, 79005, Lviv, Ukraine, e-mail: fourmartd)ktffranko. lviv. и a

Generalized dependences for calculations of the scattering characteristics in the the­ory of WKB approximation within methods of the variable functions are found. The relations from the variable functions methods between the partial phases and WKB-phases are established. These formulas may be used for calculating of scattering charac­teristics and for solving of problems in nuclear physics or elementary particle physics.

Key words: WKB-method, scattering phase, phase function.

 

Стаття надійшла до редколегії 01.02.2002 Прийнята до друку 23.09.2002

Страницы:
1 


Похожие статьи

В Фурман - Термодинамічні умови формування конвективних потоків верхньої мантії землі

В Фурман - Кремінь як перша корисна копалина людей кам'яного віку на поділлі

В Фурман - Мінералогічні властивості крем'яної сировини для матеріалу знарядь палеоліту на поділлі

В Фурман - Визначення внеску некулошвської взаємодії у зонні характеристики металів на основі теоріїрозсіяння

В Фурман - Метод фазових функцій та wkb-наближення