Ю В Гандель - К теории парных рядов фурье—бесселя - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

К ТЕОРИИ ПАРНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ

Ю. В. Гандель

1°. Многие смешанные краевые задачи математической физики сводятся к нахождению последовательности неизвестных коэффициентов, если задана сумма ряда с этими коэффициентами по одной полной ортогональной системе функций на части основного интервала, а разложение с теми же коэффи­циентами, но по другой системе функций задано на остальной части интер­вала. Мы будем говорить в этом случае, что задача сводится к парным рядам.

При решении смешанных аксиально-симметричных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полуцилиндре встречаются такие уравнения, содержа­щие ряды по функциям Бесселя с нулевым индексом:

YiKh^nI^ = hir),a<r<R% (2)

4 = 1

где k заданное неотрицательное число, / (г) и /х (г) заданные функции, a Xl5 )-2, ... ,

1) положительные нули функции J0 (X) ИЛИ

2) неотрицательные нули J± (/.) в зависимости от того, какие краевые условия, Дирихле или Неймана, заданы на боковой поверхности полу-Цилиндра.

В первом случае, который и рассматривается в настоящей работе, мы рудем говорить о парных рядах Фурье Бесселя, во втором о парных рядах Дини.

Случай парных рядов Дини был рассмотрен в работе [1].

Как и там, целью наших исследований является сведение задачи к ин­тегральному уравнению Фредгольма второго рода.

Именно, будет показано, что все неизвестные коэффициенты Ап выра­жаются по простой формуле через решение указанного уравнения, которое выписывается явно.

Такой подход к рассматриваемым задачам применяется довольно часто.

С одной стороны, наши уравнения (1)(2) являются дискретным ана­логом парных интегральных уравнений

(5)

(J° °-r) dl=f {r)'0 < r K a' (3;

о

1 (X) J0 Саг) dk = f1 (r), a < r < oo, (4)

о

сведение которых к уравнению Фредгольма было сделано в работе [2].

В дальнейшем покажем, что имеющиеся там результаты для парных интегральных уравнений (3)(4) получаются из наших предельным переходом при R -*■ со. С другой стороны, парные ряды

TitRJ°[Kw)=nr)' 0<г<а>

^\AnJ0[ln^) =h (r),a<r<R, (6)

являющиеся частным случаем (1)—(2) при k = 0 (они встречаются при решении соответствующей краевой задачи для уравнения Лапласа), рассматри­вались в работе [3], и полученное там для парных рядов (5)—(6) ин­тегральное уравнение является другим предельным случаем наших результа­тов (при k = 0).

Прежде чем приступать к изучению уравнений (1)—(2), покажем, что без ограничения общности можно считать fl (г) = 0.

Действительно, введем в рассмотрение измеримую функцию G(r), 0<r<R  такую, что G(r)=f1(r) при a<r<R, и потребуем, чтобы

я

jf|G(Q|s£«< оо.

о

Вычислим коэффициенты ФурьеБесселя функции G(r)

R

Gn = —I f tG (t) J0 (X„ ~) dt.

1 n

Если теперь обозначить Bn = Ап Gn, n=\, 2, ... , то для определения коэффициентов Вп мы получаем такие парные ряды

1

п-1 \/    \R' "**

jJ)r) = F(r), 0<г<а,

V BnJ0(\t^\ = 0, a<r<R,

где известная функция определяется по формуле

(Г) - V G„ , А г

Стягла будем рассматривать эти уравнения при R = 1, а затем с по­мощью счевидных замен вернемся к общему случаю.

2°. Пусть ).,, Х2, Хп, ... все положительные   нули функции

(X) и пусть k (k > 0) не равно ни одному из них. Изучаются уравнения

2 УїгЬї J° (X"r) =f(r),0<r<c, (7)

V Л,Л 0. c< г< 1, (8)

i=i

зе / (г) заданная непрерывная функция, с (0 < с < 1) — заданное число, I ветвь корня in = ]/V £2 выбирается так, чтобы при Х„ > /г было уп> 0,

і при 0 < /.п <klm Х;! < 0.

Коэффициенты Ап, п=\, 2, ... подлежат определению, причем мы |щем их искать в классе последовательностей,  удовлетворяющих условию

4

< оо, (9)

сходимость соответствующих рядов будем понимать как І. і. т.

Пусть Alt Ао, ... , Ап, ... решение системы (7)(8). При условии (9) существует измеримая функция h{r), 0<r< 1, такая, что

\ r\h(r)\2dr < со.

о

В силу уравнения (8) h{r) = 0 при с < г < 1, поэтому

л« = 7*f-; f r/l (r) •/» (X«r) ^' " = 1' 2' • • • < 10>

1 0

Подставляя сюда выражение

Jo Q-J) = T J cos (s ]/x* - k2) ~y^gTs- ds, (11)

0

вытекающее из второго определенного (інтеграла Сонина [4], изменяя по­рядок интегрирования и полагая

1 / 2 Г и / х cos k Vr2 s2 , _   , ,

получаем окончательно такое представление для коэффициентов А п = = 1, 2.....

(12)

А для функции g (s) 6 L2 (0, с) мы сначала построим интегральное уравне-

тниє первого рода, используя уравнение (7). Прежде чем подставлять туда полученные выражения для коэффициентов Ап, преобразуем (7). В силу условия (9) ряд

А„

У, vY-k*]/r Jo Cv). 0 < r < с

сходится равномерно, так как имеет сходящуюся числовую мажоранту

n=i п=\ п=\

Поэтому, умножая (7) на

<c/yiAiI\2 (yl

г   , Д=r~ , 0<t<c,

интегрируя почленно по г от 0 до t и учитывая, что [4]

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Ю В Гандель - К теории парных рядов фурье—бесселя