Р Плекан, В Пойда, І Хіміч - Дослідження парних кореляцій нуклонів в адіабатичній тричастинковій моделі ядра - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 2008. Вип.41. С.10-22

VISNYKLVIV UNIV. Ser.Physic. 2008. № 41. P.10-22

УДК 539.142: 539.144.3

PACS number(s): 21.60.-n; 21.10.-k

ДОСЛІДЖЕННЯ ПАРНИХ КОРЕЛЯЦІЙ НУКЛОНІВ В АДІАБАТИЧНІЙ ТРИЧАСТИНКОВІЙ МОДЕЛІ ЯДРА

Р. Плекан, В. Пойда, І. Хіміч

Ужгородський національний університет кафедра фізики ядра і елементарних частинок вул. Капітульна 9а, 88000 Ужгород, Україна e-mail: nphys@univ.uzhgorod.ua

У рамках адіабатичної тричастинкової моделі ядра враховано рух парно-парного ядерного остова, середнє самоузгоджене поле якого моделюється потенціалом Вудса-Саксона. Відокремлення руху центра мас системи відбувається за допомогою введення координат Якобі. Енергетичний спектр парно-парного ядра, змодельованого як відповідний остов і два валентні нуклони, знайдено двома різними способами у форматі гіперсферичного адіабатичного підходу, з одного боку, та методом K-гармонік, з іншого. Ефективність адіабатичної тричастинкової моделі ядра показано на прикладі чисельного розрахунку енергетичного спектра нижче розміщених збуджених станів парно-парних атомних ядер 118Sn і 176Hf, зовнішні оболонки яких містять два валентні нуклони.

Ключові слова: остов ядра, гіперсферичний адіабатичний підхід, сепарабельність руху, адіабатична тричастинкова модель ядра.

Численні експериментальні результати, одержані останнім часом через дослідження різних властивостей ядер і ядерних реакцій, потребують подальшої розробки і застосування нових як безмодельних, так і модельних методів в теорії ядра, до яких належить, зокрема, метод рівнянь Фадєєва в координатному [1] та імпульсному [2] представленнях, метод розкладу за базисом гіперсферичних функцій у координатному [3] та імпульсному [4] просторах, метод Сартрі-Фока-Боголюбова [5, 6], трансляційно-інваріантну модель оболонок [7] та низка інших.

Значний вплив на розвиток теорії ядра спричинили роботи з теорії надплинності [8], надпровідності [9,10] і фермі-рідини [11]. Математичні методи, розвинуті при побудові теорій надплинності і надпровідності, дають змогу розв'язати задачу врахування залишкових взаємодій ферміонів, що призводять до парних кореляцій, у досить загальному вигляді. М.М. Боголюбов [12] першим вказав на можливість надплинності ядерної матерії, згодом О. Бор, Б. Моттельсон і Д. Пайнс [13] порушили питання про наявність надплинних станів в атомних ядрах. Теорію парних кореляцій надплинного типу в атомних ядрах запропонували незалежно С.Т. Бєляєв [14] і В.Г. Соловйов [15] на основі формалізму вторинного квантування.

© Плекан Р., Пойда В., Хіміч І., 2008

У цій статті запропоновано парні кореляції між нуклонами враховувати в потенціальному підході в рамках адіабатичної тричастинкової моделі ядра [16-21], в якій парно-парне ядро розглянено систему, що складається з відповідного остова і двох валентних нуклонів, які рухаються в статичному полі остова. В основу даної моделі покладено припущення про сепарабельність руху валентних нуклонів ядра на швидкий рух по кутових змінних і адіабатичний (повільний) вздовж гіперрадіусу R.

У рамках запропонованої моделі задача на відшукання енергетичного спектра збуджених станів деформованого парно-парного атомного ядра поділяється на два етапи: 1) обчислення енергетичного спектра у припущенні сферично-симетричного поля ядра; 2) визначення спектра деформованого ядра у першому наближенні методу збурень за параметром деформації в << 1, де за нульове наближення приймають розв'язки сферично-симетричної задачі.

У працях [16-21] відокремлення руху центра інерції ядра від внутрішнього руху нуклонів відбулося за допомогою припущення, що маса остова ядра є нескінченно великою, тобто остов ядра вважався нерухомим.

Однак, варто було б врахувати в адіабатичній тричастинковій моделі ядра внесок в енергетичний спектр ядра, що зумовлений рухом остова, вважаючи масу остова скінченною величиною.

Для розв' язання цієї задачі введемо так звані відносні координати Якобі

(Xi, yi) та радіус-вектор центра мас R системи з трьома частинками-масами m1, m2, m3 і, відповідно, їх радіус-векторами r1, r2, r3

( ...... А12

m}mk mj + mk mi (m} + mk) m1 + m2 + m3

1/2

m

jrj + mkrk

(1)

m1r1 + m2r2 + m3r3

22

33

(m1

+ m2 + m

2

Індекси i, j, k дозволяють циклічну перестановку чисел (1, 2, 3) і, якщо керуватися формулою (1), існують три еквівалентні сукупності незалежних координат Якобі. Зазначимо, що за допомогою відповідних ортогональних перетворень можна перейти від однієї сукупності координат Якобі до іншого. Зокрема, у нашому випадку перехід від сукупності (xi, yi) координат Якобі до ( xk , yk ) відбувається за допомогою кінематичного повороту

-xi cos ери - yi sin ери,

де

Pki =arctg

(- 1)p

mj (m1 + m2 + m3) mimk

\1/2'

(2)

(3)

а p - парне або непарне число перестановок чисел (1,2,3), що задають послідовність (k, i, j).

x

г

Рівняння Шредінгера для тричастинкової системи (парно-парний остов і два валентні нуклони) в координатах (1) після відокремлення стандартним способом руху центра мас має такий вигляд:

h2

4>(хг, у) = 0, (4)

де А ~, та А у - оператори Лапласа по змінних (1), V]k ,Vk]- ,Vj - відповідні потенціали двочастинкових взаємодій, а ц - приведена маса, яка дорівнює

( у/2

mt + m}- + mk

У шестивимірному просторі векторів Xi і yi поряд з чотирма сферичними кутами 6х , фх,, 6у, фу, що задають напрям векторів Хі та у, зручно ввести глобальні змінні - гіперрадіус R, що має зміст довжини шестивимірного радіус -вектора R , та гіперкут а за формулами

R2 = X2 + у2=Х22 + У22 = Х32 + Уз2,

X = R cos а;, (5) у = R sin а;.

Множину шести гіперсферичних координат будемо коротко позначати як

(R, Ц), де Ц=(а,., 6Хі, фх, 6у, фу ).

Зручно, надалі, записати рівняння Шредінгера (4) в гіперсферичних координатах (R, ц )

Hf(R, Ц ) = EF(R, Ц г), (6) де гамільтоніан H розгляненої системи такий:

( .    ,        ,       K _.....

+ V (R, Ц). (7)

2ц [R5 dR     dR R2

У виразі (7) K2 г) - кутова частина оператора кінетичної енергії системи і має зміст квадрата оператора узагальненого кутового моменту системи

K2 (QJ =--2-2--sin2 а; cos2 а;-        + -2-11. + -(8)

sin2 а cos2 а да да       sin2 а       cos2 а

а V(R,ЦЦ) - повна потенціальна енергія цієї системи, що дорівнює сумі відповідних потенціалів двочастинкових взаємодій

V (R, Ц.) = V# + Vu + Vj. (9)

Спробуємо конкретизувати явний вигляд двочастинкових взаємодій.

Розглянемо довільне парно-парне ядро ^ X, яке будемо моделювати сферично-симетричним парно-парним остовом і два валентні нуклони у зовнішній оболонці. У рамках адіабатичної тричастинкової моделі ядра середнє поле остова ядра моделюється статичним сферично-симетричним потенціалом Вудса-Саксона [22]

U(r,) = - Vo-[\±0.63-exl^^ i = 1,2, (10)

де знак "плюс" у формулі (10) відповідає протону, а знак "мінус" - нейтрону;

У випадку, коли на зовнішній оболонці містяться два валентні протони, необхідно у правій частині виразу (10) брати до уваги також потенціал кулонівської взаємодії валентних протонів між собою та з кулонівським

полем остова.

З метою спрощення розрахунків залишкову сильну взаємодію валентних нуклонів між собою моделюємо потенціалом з нульовим радіусом дії з урахуванням відштовхування нуклонів на малих відстанях [19]

1 .

Vsa,( rj , \ ) = -V12[1-gP

Г + Г,

J_k

2

(11)

J    k,

Такий вибір залишкової взаємодії спрощує алгоритм розрахунку енергетичного спектра, бо дозволяє в явному аналітичному вигляді обчислити матричні елементи і в одночас, мабуть, не спотворює реальної ситуації, хоча в майбутньому можна буде розглянути і більш реалістичні моделі взаємодії.

Спін-орбітальна взаємодія /-ого валентного нуклона має стандартний вигляд

Vls. (r) = W (r,      ^),   W(Г) = -, i = 1, 2 . (12)

Потрібно зазначити, що потенціали (10)-(12) записані в одночастинкових змінних r, а не в координатах Якобі (1), вибір яких, як було зазначено, можна отримати трьома різними способами. Зрозуміло, що у разі переставляння нуклонів в процесі антисиметризації хвильової функції системи одну сукупність координат Якобі переходить в іншу, еквівалентну для опису, проте який не співпадає з початковою сукупністю координат Якобі. У розрахунках зручно мати справу з однією фіксованою сукупністю координат Якобі. У змінних Якобі (1) повна потенціальна енергія V(X, y) розгляненої системи в рамках адіабатичної тричастинкової моделі ядра має вигляд

V(i, y)= U23 (J, )+ )(/! - X) + U13 & )+ W2 (X2       - ?2) + U12      )+ VKyn , (13)

де Uj (Xk) - відповідні потенціали взаємодії (10).

Розв'язки рівняння (6) для стаціонарних станів цієї системи (остов і два нуклони) в адіабатичній моделі ядра представлені [16] у вигляді суперпозиції базисних функцій ФД(?, Ц):

¥ (R, Ц) = R5'2^ F (Я)ФЦ (R, Q). (14) Повну множину базисних функцій {ф^^, Ц)} можна отримати за допомогою двох різних способів. За множину базисних функцій {ф^^, Ц)} доцільно обрати розв'язки спектральної задачі

( K 2 ^

+ V(R,Ц) Ф^,Ц) =    (R^(R,Ц). (15)

IR )

Власні  значення   u, (r)   називатимемо   адіабатичними потенціальними

термами нуклонів. Якщо припустити наявність адіабатичного руху валентних нуклонів вздовж R , то адіабатичні терми u, (r) будуть залежати від R як від

параметра.

В адіабатичній моделі ядра відокремлення чотирьох кутових змінних (0;, срг-) відбувається шляхом розкладу Ф^^, Ц) за повною ортонормованою білінійною

суперпозицією спін-кутових сферичних функцій Фml (0i, ср.-)

Ф,(r,Ц) = ^ £ Фj1^ (r,а)рj.^ (01,се,02,ф2), (16)

j1j2l1l2

де

ф1, 02, ф2) = £ j2m2 Ф ^ ф1)Ф m222(02, ф2),

m1 m2

Ф7і-     ,ф,) = £ c^Vm Ym (0г,фгs=112. (18)

Jki li"4i'3i"tsi   li ms-

mlim i

Адіабатичні потенціальні терми u, (r) та відповідні їм власні функції відшукують шляхом чисельного розв' язку системи диференціальних рівнянь для коефіцієнтів Ф(і,і)(r, а) розкладу (16)

j1j2l1l2

d2 +1)    /2(/2 +1) + U (R)

—Т--2---~2—+U,(R)

da     cos a     sin a +r2 £ [1]M2(R,a)=0, (19)

Л/Ж

де ф(ц),, (R, a) = sin a cos a Ф(ц)    (R, a).

Tj1j2l1l2 [2]    '     ' j1j2l1l2y    ' '

Систему (19) доповнюють [18] відповідними граничними умовами, які забезпечують обмеженість функції ф(,) 11 (r, a) в нулі і виконання принципу

Паулі.

Підставивши розклад (14) в рівняння (6) та усереднивши за базисними функціями   Ф, (r, Ц),   одержуємо   систему   диференціальних   рівнянь для

радіальних функцій f,(r):

dR2 - і+U,(R)+H,,(R) - 2eu jF,(R)"

+ £ \H,,' (R)F,' (R) + Q,,' (R) dRF,, (R)+dR [q,,, (R) F,, (R)] ] = 0

(20)

Вигляд матричних елементів h,,(r) та q,,(r) наведений в [16].

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Р Плекан, В Пойда, І Хіміч - Дослідження парних кореляцій нуклонів в адіабатичній тричастинковій моделі ядра