В А Ткаченко - об операторе преобразования в пространстве целых функций конечного порядка - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 517.91

В. А. Ткаченко

об операторе преобразования в пространстве целых функций конечного порядка

Пусть £р(1<р<со)пространство целых функций одной переменной, топология в котором определяется системой норм

II / ||„ . = sup М, (г) ехр (- гр+«). (е > 0)

г>1

где, как обычно, Mf (г) == max |/(ге'9) |.

Рассмотрим в пространстве Е\ дифференциальный оператор

L^^J+Pn^ (z) (!)-'+ ... +p0(z), (1)з котором коэффициенты pn-\{z), .... (г)— целые функции^ Мы исследуем вопрос о том, какими должны быть эти коэффи­циенты, чтобы оператор L был подобен в пространстве Е? про­стейшему оператору D —      . В работах Дельсарта и Лионса

[11, М. К. Фаге [2] и Л. А. Сахновича [31 впервые при «>2 для оператора вида (1) с коэффициентами был построен такой непрерывный изоморфизм Т (оператор преобразования) простран­ства целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, что

I = Т-ЮТ. (2)

Покажем, что непрерывный изоморфизм Т, реализующий (2) в пространстве £р, существует лишь при весьма жестких огра­ничениях на коэффициенты оператора L. Именно справедлива

следующая

Теорема. Для того, чтобы оператор L был подобен оператору
D в пространстве £р(1 < р < со), необходимо и достаточно чтобы
его коэффициенты
pni(z), p0(z) были полиномами, степени
которых тп-\......... тй соответственно удовлетворяют условию

tnk k~j-n

max ~-n-k <p- (3)

Необходимость. Оператор преобразования T, если он суще­ствует, является изоморфизмом подпространств решений одно­родных уравнений Ly = 0 и Dy = 0. Поэтому всякое решение Ly = 0 имеет порядок роста не выше р. Как показал А. М. Фрей [4] (см. также [5]) в таком случае коэффициенты оператора L— полиномы. Наконец из результатов Ж. Валирона [6] сле­дует, что эти коэффициенты удовлетворяют условию (3).

Замечание. При р < 1 из (3) следует ти = 0 и L оказывает­ся оператором с постоянными коэффициентами. В частности при р < 1 из предыдущих рассуждений следует, что при выпол­нении (2) будет L D.

Достаточность. Докажем существование оператора преобра­зования, используя конструкцию, предложенную Дельсартом и Лионсом [1] и М. К. Фаге [2] в сочетании с оценками, кото­рые следуют из условия (3).

Прежде всего покажем, что при выполнении условия (3) для всякой функции / € Ер выполняются оценки[1]

ІІ^ЛІр. » <С»т««(и—іМр+о-[2] ||/||pitt (4)

(т = 0, 1, 2, ...)

в которых 0 < г < ш, а величина С может зависеть от г и о, но не от m и /

Будем исходить из формулы

 

 

 

 

в которой Сг — окружность достаточно большего радиуса. Из нее для всякого целого m > 0 следует

п     nlkm     п mk,

Lmf(z) = 2   2 • • • 2 2 (2)>

 

/m—1

г y (*/-//) + *»+»

 

 

 

 

 

 

am = 2(fe—

1=1

Очевидно,

m

m . \<=l

І 4:'.:І I < * (*i +     ...&-{-...+     < (2 &

Поскольку коэффициенты p„_i (С), ..p0(C) — полиномы, то при всех достаточно больших |С| будет

1р(С)|<сI(0<k<і).

Если в интеграле (5) принять Сг = {С:! СI = (1 + S) |; 8 > 0}, получим

яг

2(mfe<-/0

| ;'С.'С (2) | < С- (1 + 5) S-'M; ((1 + В) 121) | г + &г |'=» х

m m

-2 (*<-'<) 2(mfer^

X І га I <='       < С™ (1 + Ь) Ь-Ші ((1 + S) і г I) I г И=1 X

m m

2mfc; -2J*' x + s)i=1  ь i=l .

Введем для краткости обозначение

аЬ...Ьт1г> - A*,...V*,...*m Wи положим далее

 

Если                                   w~-j у

8 < 1, to                                      т                           . т

 

 

Из условия (3) следует тк < (р — 1) (я —-£), так что при 5 < 1 будет

т

І ВІ,'"/Г (г) І < С"»[ ЛІ, (21 г)) Jz\    ''=' x

І     Ді.. •К/и. 4 J

m

x(]SM                 i=1 <Ст|г|М,(2|г|)|г|(р-І)'"»х

m m

X|z|               |z|       г=і <С*|г|Л1,(2|г|)|г|<р-»+»)««.

В случае 8 > 1 имеем

m

15с с(г) I < счм*{2Ь 1 г!) 15г |г=І      (JS Г1 < <cwll/lL.(g4 <

 

Следовательно,

| Lmf (г) | < Cm [Mf (2 |г)) | г j(p-i+»)mn + ц/ цр> ^(р+о-'ср-ч-^ Непосредственно проверяется, что

|г«))р,.<С»?«(|"ь,Г"1. (6)

Отсюда сразу получаем (4).

Обозначим, далее, через / (г, X) решение начальной задачи

LI (z, X) = X"/ (г, X),

еш (О, X) = X*. k — 0, 1, .... п— 1. (7)

Разложим функцию /(г, X) по степеням X:

X) = j} Х*ЗД- (8)

fe=0

Из (7) следует, что

LHk (z) = 0,      0 < k < п 1; (г) = Яft_„,        А > гг

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В А Ткаченко - Інтернет-залежність

В А Ткаченко - об операторе преобразования в пространстве целых функций конечного порядка