Н Н Чернышев - Оптимальное управление системой электромагнитного подвеса - страница 1

Страницы:
1  2 

"Автоматизація технологічних об'єктів та процесів. Пошук молодих" ДонНТУ-2004

УДК 621.335

 

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОДВЕСА ВЫСОКОСКОРОСТНОГО НАЗЕМНОГО ТРАНСПОРТА НА ОСНОВЕ ВТОРОГО МЕТОДА

ЛЯПУНОВА

 

Чернышев Н.Н., студент; Рафиков Г.Ш., доцент, к.т.н.

(Донецкий национальный технический университет, г. Донецк, Украина)

 

В современных условиях для подавляющего большинства стран основным видом транспорта является железнодорожный. Опыт эксплуатации таких магистралей показывает, что рост скоростей неизбежно связан с возрастанием расходов на строительство и содержание пути, уменьшением коэффициента сцепления колес с рельсами, ухудшением устойчивости движения поездов, увеличением уровня шумов, создаваемых поездом, наличием трудностей в регулировании движения на участках, сочетающих высокоскоростные и обычные поезда [1].

Для новых транспортных систем должны быть характерны отсутствие загрязнений окружающей среды и предельное ограничение шума, незначительная потребность в полезных земельных площадях. По мнению специалистов многих стран, таким транспортом должен стать принципиально новый высокоскоростной наземный транспорт (ВСНТ) с магнитным подвешиванием (МП) экипажей и бесконтактной передачей тягового усилия благодаря электромагнитному взаимодействию элементов линейных электродвигателей (ЛД) [2].

Одной из наиболее сложных задач, которые необходимо решить при создании систем ВСНТ с ЭМП, является проблема управления экипажем в пространстве с помощью автоматической системы регулирования зазора между полюсами электромагнита и феррорельсами [3].

Разрабатываемая система стабилизации зазора, помимо указанных свойств объекта, должна учитывать малое значение зазора, стабилизация которого должна осуществляться с большой точностью; повышение скорости движения экипажа ВСНТ с ЭМП, разнообразие возмущений, действующих на экипаж; необходимость обеспечения требований комфорта для пассажиров [3].

Синтез такого регулятора возможен на основе методов оптимального управления. К наиболее эффективным методам, с точки зрения практической реализации, относится метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) [4] и в частности аналитическое конструирование оптимальных регуляторов вторым методом Ляпунова [5].

Рассмотрим структурную схему системы управления электромагнитного подвеса ВСНТ, представленную на рис. 1.

K 5

з ч

ТП

 

К


+


I    15 ________  2э

 

\/

/ R

 

Ki

+;

 

T э s + 1

 

 

Fi1(

5


Fc = mg
WраЗ;s) =


5(s) s(s) (1)Введем обозначения:

тп-

bo

1

 

 

Т

a2 =

a3 =

 

1

К 5 .

 

После подстановки формул (2) - (5) в (1), получим

U(s)

Wраз (s) = 5(s) = Ь0

s3 + a1s2 + a2s + a3

где U(s)=є(s) - изображение управляющего воздействия рассогласования, поступающее на вход системы.


(2) (3) (4) (5)

 

 

(6)

 

в виде сигналаИсходными   численными   значениями   параметров рассматриваемой системы являются: т=25 кг, R=0,39 Ом, Тэ =0,1 с, КТП=10 В/В, КІ=16 Н/А,

К5 =8103 Н/м, К=4,8 В-с/м.

Перейдем от передаточной функции (6) к дифференциальному уравнению

вида:5 (t) + a1 5 (t) + a2 5(t) + a35(t) = b0U(t). Произведем замену

5(t) = xi(t);


(7)

 

5 (t) = X3 (t) = -a3Xi (t) - a2X2 (t) -      (t) + ^U(t).С    учетом    введенных    обозначений (8) дифференциальных уравнений в нормальной форме


представим системуX1(t) = 0 - X1(t) + 1 - X2(t) + 0 - X3(t) + 0 - U(t); X2(t) = 0 - X1(t) + 0 - X2(t) + 1 - X3(t) + 0 - U(t);


 

(9)X3(t) = -a3 - X1(t) + - a2 - X2(t) + -a1 - X3(t) + b0 - U(t). Запишем    систему 3-х дифференциальных уравнений вида (9) в развернутой векторно - матричной формеXi(t) X*2(t)


0 0

- a3 1 0

- a­0

1

- a,


Г Xi(t) І   Г 0

(t) + _ X3(t) _


 

 

 

 

0


 

 

U(t):


 

(10)Уравнение (10) представим в компактной векторно - матричной форме

X"(t) = AX(t) + bU(t), (11)

 

где


_5(t)" 5 (t)

5(t) (12)где А - матрица коэффициентов непрерывной динамической системы (НДС) размерности (3 x 3), b - 3 - х мерный вектор коэффициентов управления НДС, X(t)- 3 - х мерный вектор состояния НДС.

Уравнение выхода указанной системы будет иметь вид:

y(t) = СТ - X(t), (13)где СТ = [1 0 0] - вектор - строка измерений (выхода).

Подставляя исходные данные в формулы (2) - (5), получим b0=164,1; ai=10; a2=-398,7 и a3=-3200.

Таким образом, получены уравнение состояния и уравнение выхода НДС.

Затем от уравнений состояния НДС перейдем к уравнению состояния дискретной динамической системы (ДДС).X[(k + 1)Т] = Ф(Т) - X(kT) + h(T) - U(kT), у(кТ) = СТ - X(kT).


(14) (15)где Ф(Т) = еАТ

—                         _    <» А*Т*+1 —

i=0

i!i=0(i+1)!- _ где Ф(Т) - матрица перехода состояний ДДС размерности (3 x 3); h(T)- вектор

- столбец управляемого перехода ДДС размерности (3 x 1); Т - период дискретности; i - единичная матрица размерности (3 x 3).

Найдем матрицу перехода состояний ДДС Ф(Т) с помощью разложения в ряд матричного экспоненциала по формуле

■» АІТІ     5 аіті                             А2Т2     А3Т3     А4Т4 А5Т5

Ф(Т) = S — = Е ^Г" = I + AT +                               +             + А-Т- + Ат^. (16)

i=0   i! i=0

hT)=а-1(ф - i)b=е-] - b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i!    i=0 i!                                    2!     3!     4! 5!

Подставляя в формулу (16) значение периода дискретности Т=0,025с, а так же матрицу коэффициентов объекта управления А, вычислим матрицу

Ф(Т).

В результате выполнения вычислительных операций получим матрицу перехода состояний ДДС:

Г 1.0079    0.0260 0.00021

Ф(Т) = __ 0.9413   1.1252 0.0231

73.9110  10.1520 0.8943 Далее вычислим матрицу управляемого перехода h(t) по формуле
ВД=Z^-b ^Z^-b=(IT+

по

і=0(і+1)!     i=0(i+1)! Выполнив вычисления управляемого перехода ДДС:


+

4!

формуле,

5!   + 6! получим

)- b. (17)

 

вектор"- 0.00041 h(T) = - 0.0483 - 3.7903

Критерий оптимальности для стационарного процесса рассматриваемой ДДС может быть представлен в следующем виде:

J = ZHk)QX(k) + rU2(k)J (18)

k=0где: первое слагаемое под знаком суммы характеризует просуммированную ошибку состояния динамической системы, т.е. точность работы этой системы; второе слагаемое характеризует затраты энергии на управление, т.е. быстродействие системы; Q - симметричная положительно определенная матрица весовых коэффициентов размерности (3 x 3); r - весовой коэффициент. Для дискретной системы управления функция Ляпунова может быть представлена в виде [5]:

V(X,k) = XT (k)PX(k), (19)

где Р - положительно определенная симметричная матрица с постоянными коэффициентами размерности (3 x 3).

Тогда первая разность функции Ляпунова запишется так:

A V(X, k) = A [XT (k)PX(k)] = XT(k + 1)PX(k +1) - XT (k)PX(k), (20)

Согласно теореме о существовании функции Ляпунова первая разность функции Ляпунова должна быть отрицательно определенной. Объединяя это условие с критерием оптимальности (18), мы фактически определим матрицу Р. Предположим

XT (k + 1)PX(k +1) - XT (k)PX(k) = -[XT (k)QX(k) + rU2 (k)], (21) Для того, чтобы минимизировать функцию вида (20) мы вычислим сумму

со со

A[XT(k)PX(k)]= S [XT(k + 1)PX(k + 1) - XT(k)PX(k)]. (22)

k=0 k=0

После соответствующего преобразования с учетом (14) можно получить

Jmm = XT(0)PX(0). (23) Уравнение Риккати запишется в виде [5]

103841

2015.9 . 147.03

P = ф      - ф TPh - (hTPh + r)-1 - hTPФ + Q, (24) В результате итерационного вычисления уравнения Риккати получим

"2.037 -106   3.883 -106

P = 3.883 - 106 82477

10384 2015.9

Оптимальное управление U0(k) представим следующим образом

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Н Н Чернышев - Модель процесса получения сернистого ангидрида в пространстве состояний

Н Н Чернышев - Оптимальное управление системой электромагнитного подвеса

Н Н Чернышев - Синтез компенсаторов для комбинированных систем автоматического регулирования

Н Н Чернышев - Синтез математической модели системы автоматического регулирования уровнем металла в кристаллизаторе

Н Н Чернышев - Модель процесса получения сернистого ангидрида в пространстве состояний