Д О Мігуца - Дослідження рівнянь з однозначними інтегралами руху твердого тіла вщносно неголовних осей інерції - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 

УДК 517.926

©2009 р. Д.О.Мігуца

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

ДОСЛІДЖЕННЯ РІВНЯНЬ З ОДНОЗНАЧНИМИ ІНТЕГРАЛАМИ РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА ВЩНОСНО НЕГОЛОВНИХ ОСЕЙ ІНЕРЦІЇ

Досліджуються рівняння руху твердого тіла з однозначними інтегралами використову­ючи метод малого параметру.

The equations of the motions of a solid with the simple integrals are researched, using the method of the small parameter.

У даній роботі розглянемо застосування методу малого параметру до дослідження руху твердого тіла по відношенню до него­ловних осей інерції тіла.

Для проведення дослідження даного ру­ху введемо нерухому систему координат Ox\y\Z\ , з початком в нерухомій точці O , і рухому систему координат Oxyz з поча­тком в тій же точці O , яка незмінно зв'я­зана з твердим тілом і має вісі, що не на­правлені по головних вісях інерції твердого тіла. Нерухому систему координат розташу­ємо так, щоб вісь Oxi була направлена по вертикалі вниз. Нехай 71 , 72 , 73 - напрям­ні косинуси осі Oxi відносно рухомих осей. Оскільки рухомі осі Ox , Oy , Oz не направ­лені по головних вісях інерції твердого тіла, то вектор кінетичного моменту G тіла і ве­ктор кутової швидкості ш обертання твер­дого тіла навколо нерухомої точки будуть визначатися за формулами:

G = Gx~t + Gy 7 + Gz ~k, (1)

7 = шх i + Uy j + Uz k , (2)

де

Gx = Ap - Fq - Er, Gy = -Fp + Bq - Dr,

Gz = -Ep - Dq + Cr, (3)

Шх = p, Шу = q, Uz = r, (4)

де A , B , C - центральні моменти інерції тіла; F , E , D - відцентрові моменти інер­ції тіла;   i ,   j ,   k  - одиничні орти осей рухомої системи координат; p, q , r - про­екції вектора кутової швидкості обертання тіла.

Нехай центр мас рухомого тіла розташо­ваний в точці Mo(xo,yo,Zo) , де xo , yo , Zo - координати центра мас тіла в рухомій си­стемі координат. Оскільки сила тяжіння P направлена по вертикалі вниз, то вона ви­значається таким співвідношенням:

~P = Mg(7ijj + 72 7 + 7з-), (5)

де M - маса тіла, а g - прискорення зем­ного тяжіння.

Момент L сили P визначається за фор­мулою:

L

i

xo

j yo

k

Zo

Mg7i Mg72 Mg73

= Mg i (yo73 - Zo72) + Mg j (Zo7i - xo72)+

+Mgk (xo72 - yo7i)- (6) Для одержання динамічних рівнянь руху твердого тіла навколо нерухомої точки за­стосуємо теорему про зміну кінетичного мо­менту системи, тобто

dG/dt = L

(7)

де d G /dt - абсолютна похідна від векто­ра кінетичного моменту в нерухомій систе­мі координат. В рухомій системі координат рівняння (7) набуває вигляду

dG/dt + 7 х G = L

(8)де d G /dt - локальна похідна.

Якщо підставити (1), (2) і (6) у рівняння

(8) з врахуванням співвідношень (3), (4) і спроектувати одержане рівняння на осі Ox , Oy і OZ , то рівняння руху твердого тіла навколо нерухомої точки в неголовних осях інерції приймуть вигляд [4, 5]:

Adp/dt - Fdq/dt - Edr/dt + (C - B )qr + Fpr-

-Epq + D(r2 - q2) = Mg(yo73 - Zo72), -Fdp/dt + Bdq/dt - Ddr/dt + (A - C)pr-

-Fqr + Dpq + E(p2 - r2) = Mg(zo7i - xo73),

(9)

-Edp/dt - Ddq/dt + Cdr/dt + (B - A)qp--Dpr + Erq + F(r2 - q2) = Mg(xo72 - yo7i).

Система рівнянь (9) складає першу гру­пу основних динамічних рівнянь руху тіла навколо нерухомої точки. В одержану систе­му диференціальних рівнянь входять шість

невідомих функцій 7i , 72 , 73 , p, q, r,

які залежать від змінної t . Для визначено­сті приведеної задачі необхідно отримати ще три рівняння, в які би входили шукані фун­кції. Для їх складання орт £ o направимо вздовж нерухомої осі Oxi , тоді

j o = i 7i + j 72 + Ik 7з- (10)

Оскільки вектор j o нерухомий, то аб­солютна похідна від нього дорівнює нулю. Використовуючи означення локальної похі­дної, одержимо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7 


Похожие статьи

Д О Мігуца - Дослідження рівнянь з однозначними інтегралами руху твердого тіла вщносно неголовних осей інерції