І А Джалладоева - Дослідження стійкості лінійного еволюційного рівняння з випадковими перетвореннями його розвязків - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

краще заданим критеріям побудови системи моніторингу відпо­відає платформа ВІ MicroStrategy — результат п'ятнадцяти­річного досвіду розробки програм Ві та де-факто стандарт галузі. Розроблений Національним університетом біоресурсів і природо­користування України спільно з компанією RG DATA оціночний пілотний проект на основі програмних продуктів платформи ВІ MicroStrategy показав велику його функціональність та високу ефективність прикладної реалізації подібного класу задач.

Література

1. Андрей Колесов. На смену Business Intelligence приходит Business Analytics?// PC Week/RE. — 2007. — №41 (599).

2. Business Intelligence [Електронний ресурс] // Wikipedia[сайт]. — Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki/Business_Intelligence

3. Інформаційно-аналітичний центр моніторингу стану агропромис­лового комплексу України. Пілотний проект. Пояснювальна записка. —

2010.

4. Давид Харатишвили. Рынок BI-платформ: претенденты и победи­тели.// Компьютер Пресс. — 2008. — №7

5. Елена Гореткина. Рынок систем бизнес-анализа: битва Давида и Голиафа // PC Week/RE. — 2010. — №11 (713).

6. Forrester Wave™. Оценка поставщиков платформ бизнес-анализа (Business Intelligence, BI) [Електронний ресурс] // BSC^m]. — Режим доступу: http://www.bsc-consulting.ru/advantages/cognos/forrester02/

Стаття надійшла до редакції 08.11.2010 р.

УДК 517.929

І. А. Джалладова, д-р фіз.-мат. наук, ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

дослідження стійкості лінійного еволюційногорівняння з випадковими перетвореннями його розв'язків

АННОТАЦІЯ. Досліджується стійкість у середньому квадратичному розв'язку зі стрибками, що відбуваються у випадкові моменти часу з ви­падковим розміром стрибка різних видів стохатичних рівнянь. Припуска­ється, що час між стрибками розподіляється за експоненціальним зако­ном, а розмір стрибка розподілений за степеневим законом. Здобуто в явному вигляді умови стійкості випадкового розв'язку рівнянь, що роз­глядається.

© І. А. Джалладова, 2011

АННОТАЦИЯ. Исследуется устойчивость в среднем квадратичном реше­нии со скачками, которые происходят в случайные моменты времени со случайным размером скачка разных видов стохастических уравнений. Предполагается, что скачки происходят в случайные моменты времени. Получены в явном виде условия устойчивости и построены границьі об­ластей неустойчивости случайного решения рассматриваемых систем.

ANNOTATION. Investigating stability in mean square of solution with jumps which occurred in random times with random size of jump. We suggestion that time devoted on exponential formula and size of jump devoted on series formula. We receive condition of stability of random solution considering equations.

КЛЮЧОВІ СЛОВА. еволюційне рівняння, стійкість у середньому квадра­тичному, випадкові перетворення розв'язків, перетворення Лапласа, модель добробуту.

Вступ

Економічні системи, як правило, є стохастичними, бо почат­кові параметри системи випадковим чином залежать від вхідних параметрів. Крім того, економічна система є складною, багато-критеріальною, багаторівневою, іерархічною структурою; систе­ма знаходиться під впливом зовнішніх факторів; і можливому перекрученню інформацію, приховуванню інформації та ціле­спрямованої економічної діверсиї.

Виходячи з цього, економічна система складна і містить залеж­ність від випадкових параметрів і описуються марковським, а в реаліях напівмарковським апаратом, тобто коли поводження сис­теми в момент t0 характеризуються ймовірністю першого порядка р(х0, to) і поведінка системи в наступному залежить від значення системи х0 і не залежить від того, коли і як система пришла в та­кий стан.

Марковські випадкові процеси описуються двома параметрами:

1) ймовірністю першого порядкар(х0, t0);

2) умовною ймовіністю pij (х2 t2 /х1 tj);

де характеризує стан системи х2 в момент t2, за умови, що в момент t1 система мала значення хі.

Маючи в своєму розпорядженні матрицю умовних переходів

іі... рі„ ^

р21... р2г, V ри1... ргм

можливо напочатку досліджень сформулювати поведенку систе­ми в наступному.

Треба підкреслити, що називається станом системи, не визна­чається лише фізичними властивостями, системи, що вивчаєть­ся.Тому не є необхідним поглиблюватися внутрішню характерис­тику систему. Все залежить від того, що ми хочемо знати про про­цеси, що ми можемо спостерігати або вимірювати, від точності ціх спостережень і взагалі від математичного рівня на теперешній час. Не існує ніяких готових аналітичних методів і ніяких гото­вих формулювань. В минулому більшість аналітичних робіт по вивченню економічних систем описувалась функціональними рі­вняннями і містила дуже важливі результати [6—13]. Проте, нові задачі потребують розгляду нових класів рівнянь, нових методів, які дозволяють дати відповіді на запити сучасної науки, зокрема, зробити більш повним використання ПП ПЄОМ.

Далі ми розглядаємо деякі популярні моделі для вивчення пев­них економічних систем — лінійні еволюційні рівняння, а також їх застосування до дослідження модельних задач.

1. На ймовірносному просторі (Q, F, P) розглянемо лінійне еволюційне рівняння

^ = afe(( ))х((), (1) dt

де £(t) випадковий напівмарковський процес, що набуває n станів 8,, 82,      9„ з інтенсивностями

—   при 0 < t < T ,

Tj, " (2)

0   при t > T

(( s = 1,     n).

Нехай випадкова величина a(^(t)) набуває значення <x(£(t)) = ак при Z(t)=8k (k = 1, n).

Припускаємо, що в моменти стрибків tj розв'язки (1) зазна­ють випадкових перетворень

x(tj + 0) =        - 0), р1 ф 0 (( = 1,     N) (3) з ймовірностями р1 (l = 1,     N).

Як відомо, випадковим перетворенням розв'язку рівняння (1) відповідають наступні стохастичні оператори Srl [2]

Srlf(Y) = J(a;!us )|det      ,|  (r, l = 1, n).

Стохастичні оператори Srl (r, l = 1, n), для перетворень ви­гляду (3) матимуть вигляд

SJ (Y )-

Гf(Y),  r = l,

E—f

s =1 ps

( V Л ,    r Ф 1.

Введемо рівняння для моментів другого порядку розв' язків лінійного диференціального рівняння (1). Спочатку обчислимо

((, s = 1,     N):

Г1,   k = s,

I N

IEр1 р1, kфs.

Визначимо функції Wks (k, s = 1,     n), згідно з рівняннями

Г

Wk (t )=M:

1

E    (()e2astds(0) + JE    ((- ^)e2as ((-Ws (x)dx

0 s=1

s=1

k Ф s ; (4)

(( = 1,      n), M2 = EP12р1 = (p2Y

1=1 s 1

Тут M2 математичне сподівання квадрата коефіцієнта P при випадкових перетвореннях; dk(0) (k = 1, n) — моменти другого порядку в момент часу t = 0; Nk (t ) = ea kt — розв'язок рів­няння (1); Wk (t) — моменти другого порядку, що визначаються за формулою (4).

Розв'язуватимемо систему моментних рівнянь (4), використо­вуючи перетворення Лапласа. Позначимо

fk(р)ЧWk(t)e-^dt (( = 1, n).

Помножимо систему рівнянь (4) на e р і зінтегруємо від 0 до °°. Дістанемо систему рівнянь для зображень fk (р):

0

fk (р)=M

0 s=1 k Ф s

JjE Iks (t -T)e2as (t -V ^ (T)dT dT

00s=1

k ф s

(k = 1, n).

Оскільки справджується рівність

1 - e~рТь

(k, s = 1,      n; k Ф s),

0 Тьр то з урахуванням властивості запізнення [4] дістанемо:

°° 1 - e-Tks (l>-2as )

J qkse 2aste"Ptdt =—(-((, s = 1, n ;   k Ф s).

Згідно з властивістю згортки [1] обчислимо

1 - e-Tks (p-2as )

JJqks ((-T)e 2as ((-T)e -      k)dт dt-

00 Tks - 2as )

Систему рівнянь (5) можна записати у вигляді

Г

fk (р )= M:

n .    .   I   - (p-2as )

E ds (0)1Te   2 ) +

"/ Л - e-Tks(p-2as)

+ E fs 2~T

k Фs (k = 1, n),

або

(5)

(6)

fk (р ) = M: bk (р)+ E aksfs (р)

s=1

k Ф s

(k =1, ... , n),

n 1 - e-Tks ( р-2% ) 1 - e-Tks (р-2% )

Tks (р - 2as

T(р - 2as)

1

Розв' яжемо систему рівнянь (6) за теоремою Крамера. Особ­ливі точки розв' язку будуть визначатися коренями рівняння

det||1 -M2aks(р,     ))ts= 0, (р,    ) = -!. (7)

Нулі рівняння (7) є характеристичними показниками розв' язків системи інтегральних рівнянь (4). Якщо всі корені рів­няння (7) мають від' ємні дійсні частини, то розв' язки рівнянь (6) асимптотично стійкі. Якщо хоча б один із коренів рівняння (7) має додатну дійсну частину, то розв' язки системи рівнянь (6) не­стійкі.

Розв' язавши систему алгебраїчних рівнянь (7) числовими ме­тодами, визначимо характер залежності між параметрами р і Tks. 2. Розглядається лінійне диференціальне рівняння

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

І А Джалладоева - Дослідження стійкості лінійного еволюційного рівняння з випадковими перетвореннями його розвязків