В Кондель - Дослідження стійкості стальних стиснених елементів конструкцій з урахуванням умов їх закріплення та жорсткості опор - страница 1

Страницы:
1  2 

Кондель В. Дослідження стійкості стальних стиснених елементів конструкцій з урахуванням умов їх закріплення та жорсткості опор / Кондель В., Павліченко А. // Вісник ТНТУ. — 2011. — Том 16. — № 4. — С.57-65. — (механіка та матеріалознавство).

УДК 621.88-21-026.564-034.14

В. Кондель, канд. техн. наук; А. Павліченко

Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г. Короленка

ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ СТАЛЬНИХ СТИСНЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ З УРАХУВАННЯМ УМОВ ЇХ ЗАКРІПЛЕННЯ ТА ЖОРСТКОСТІ ОПОР

Резюме. Досліджено стійкість стальних стиснених елементів конструкцій та деталей машин з урахуванням умов їх закріплення. Проаналізовано експериментальних даних про роботу конструкцій та теоретичних розробок щодо їх розрахунків на стійкість. За результатами дослідів запропоновано нові прості формули для розрахунків стиснених елементів за критичними навантаженнями з урахуванням жорсткості опор.

Ключові слова: стальні стиснені елементи, розрахунки на стійкість, умови закріплення, жорсткість опор.

V. Kondel, A. Pavlichenko

THE INVESTIGATION OF STABILITY OF COMPRESSED STEEL MEMBERS WITH ACCOUNTANCE OF FIXING CONDITIONS

AND STIFFNESS SUPPORTS

The summary. The authors research the stability of compressed steel structures and parts of machines with accountance of support conditions. The analysis of experimental and theoretical data of the behaviour of compressed structures and their members is provided. The new approaches to the critical-load design with accountance of stiffness supports are described.

Key words: compressed steel members, buckling analysis, fixing conditions, stiffness supports.

Умовні позначення

0 , [о] - експлуатаційне та основне допустиме напруження;

F - робоча поздовжня сила;

A - площа поперечного перерізу стисненого стержня; [a]st - допустиме напруження на стійкість; Fcr - критична сила для стисненого елемента; nst - коефіцієнт запасу стійкості;

E - модуль пружності першого роду, або модуль Юнга; Imm - мінімальний момент інерції перерізу;

1 - довжина стисненого стержня;

- коефіцієнт зведення довжини стержня;

c - коефіцієнт жорсткості опори;

Л - гнучкість стержня;

imm - найменший радіус інерції перерізу.

Постановка проблеми. Протягом усього терміну експлуатації елементи конструкцій та деталей машин зазнають різних пошкоджень, природа яких залежить від їх напружено-деформованого стану та умов роботи (розтяг або стиск, згинання, кручення, згинання з крученням, високі та низькі температури, змінне навантаження, агресивне середовище, радіаційне опромінення тощо). Для забезпечення міцності, надійності та довговічності цих елементів проводяться численні дослідження процесів накопичення пошкоджень, зокрема, зародження та розвиток тріщин у матеріалах, зяких виготовлені конструкції та деталі машин. Основними напрямками запобігання цим негативним явищам або зменшення їх впливу на роботу конструкцій в цілому є проведення своєчасного та якісного діагностування, тобто визначення технічного стану об'єкта, дослідження та проектування раціональних форм перерізів, аналіз умов закріплення елементів та жорсткості опор.

Серед усіх елементів конструкцій та деталей машин сучасного підприємства значну частину складають ті, які працюють на стискання: колони, стійки, верхні пояси ферм, гвинти в передачах гвинт-гайка, циліндричні та конічні гвинтові пружини, голки у швейних машинах та інші. Їх розраховують не тільки на міцність, але й на стійкість, оскільки втрата стійкості є дуже небезпечним явищем, унаслідок якого відбувається некерований ріст деформацій і стиснений стержень руйнується практично миттєво, що виключає будь-яку можливість вжиття дієвих заходів щодо запобігання аваріям і катастрофам. Саме тому тривалий час проводять дослідження стійкості стиснених елементів для розроблення заходів щодо недопущення подібних надзвичайних ситуацій у майбутньому [1-5].

Оскільки основними завданнями технічного діагностування є контроль та прогнозування технічного стану об'єкта, а також виявлення причин порушення нормальної експлуатації стиснених елементів конструкцій та деталей машин, слід провести додаткові дослідження щодо впливу умов закріплення кінців елементів та жорсткості опор на значення критичного навантаження.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Вагомий внесок для вирішення цієї проблеми внесли видатні вчені ХУШ-ХХ століть Л. Ейлер, Ф. Енгессер, Ф. Ясинський, Л. Тетмайєр, Т. Карман, Ф. Шенлі та інші [1-5]. Вони запропонували формули для визначення критичної сили і напруження, які є небезпечними для стисненого стержня, залежно від його гнучкості, матеріалу, способів закріплення кінців, схеми та виду навантаження.

Дослідження вчених показали, що, враховуючи можливу небезпеку миттєвого руйнування стиснених елементів конструкцій та деталей машин внаслідок некерованого росту деформацій при граничному навантаженні, ці елементи слід розраховувати не тільки на міцність за умовою

о = - , (1) A

але й на стійкість

F < Fcr-, (2)

де коефіцієнт nst приймається залежно від матеріалу, форми перерізу, відповідальності

конструкції та елемента (для сталі від 1,8 до 3,5; для чавуну від 5,0 до 6,0; для деревини від 2,8 до 3,2) [1-2].

При розрахунках допустимого навантаження за умовою (2) необхідно знайти критичну силу Fcr , тобто найменшу осьову силу, яку спроможний утримати в рівновазі

ледь викривлений стиснений стержень.

Уперше це завдання вирішив академік Петербурзької академії наук Л. Ейлер, який у 1744 р. запропонував формулу для визначення критичної сили для стержня з шарнірним закріпленням з обох кінців (рис. 1) [2-5]

я-2 FT

-cr . (3)

l

Але подальші дослідження показали, що значення критичної сили Fcr для

стержнів суттєво залежить від способів закріплення їх кінців, тому в 1892 р. професор Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення Ф. Ясинський запропонувавпоняття про зведену (вільну) довжину /ні [1-4], тому формула (3) має вигляд

п FImin

F

cr

(4)

Коефіцієнт зведення довжини стержня и коливається в межах від 0,5 до 2 (рис. 1), а це означає, що за рівнянням (4) стержень, защемлений з обох кінців (и = 0,5), витримає у 16 разів більше навантаження, ніж такий же стержень, защемлений з одного кінця і вільний з іншого ( и = 2 ).

Важливо відзначити, що вищенаведені випадки закріплення кінців стержня (рис. 1) на практиці нечасто зустрічаються в чистому вигляді. Найпоширенішими є випадки закріплення, коли один кінець стержня жорстко закріплений, а інший пружно обпертий ( и = 0,7 ), або коли обидва кінці пружно закріплені ( и = 1) [3-4].

fi=0,5

ц=0,7

М=1

ц=2

Рисунок 1. Залежність коефіцієнтів зведення довжини від способу закріплення кінців стержня

Рисунок 2. Стиснений стержень, защемлений з одного кінця і пружно обпертий з іншого

Для проведення якісного технічного діагностування стиснених елементів конструкцій та деталей машин слід врахувати вплив жорсткості опор на значення коефіцієнта зведення довжини и та величину критичного навантаження Fcr .

Мета роботи - провести дослідження стійкості стальних стиснених елементів конструкцій та деталей машин з урахуванням умов закріплення їх кінців та жорсткості опор.

Результати досліджень. Розглянемо випадок, коли один кінець стержня жорстко закріплений, а інший пружно обпертий (рис. 2). Після втрати стійкості пружно обпертий кінець стійки переміщується вертикально на величину fb , при цьому виникає

пружна реакція опори Rb , яка, в свою чергу, пропорційна відхиленню fb

Rb = cfb,

де c - коефіцієнт жорсткості опори В.

Складемо диференціальне рівняння пружної лінії стисненого стержня після втрати стійкості:

FT d 2 y

dx 2

Позначимо k

FT

(5) (6)

Тоді рівняння (5) матиме вигляд

^ = k 2( fb - y) (/ - X)

rfx1 FT

dx FT min

або

+ k2y = k2fb (1 - f-) - k2 f±x. (7)

UX F cr cr

Розв'язком цього диференціального рівняння є залежність

cl cf

y = C sin kx + D cos kx + fb (1--) + — x . (8)

F F

cr cr

Сталі інтегрування C і D та критичне навантаження Fcr визначимо з наступних

трьох граничних умов:

при х = 0 переміщення і кут повороту перерізу дорівнюють нулю:

y (0) = уа = 0; (9) dy = р(0) = я>А = 0; (10)

dx

при х = l переміщення дорівнюють відхиленню fb (рис. 2)

У(1) = Уь = fb . (11) За умовою (9) з рівняння (8) знаходимо

D = -fb (1 ).

cr

Для використання граничної умови (10) визначимо похідну від переміщення y :

звідки при х = 0

— = kC cos kx - kD sin kx + ~c— fb . dx Fcr

kC + f-fb = 0 або C = --f-fb.

Fcr kFcr

Підставимо вирази для сталих інтегрування C і D у формулу (8) і отримаємо остаточне рівняння зігнутої осі стисненого стержня

y(x) = -^rfTsin kx + fb(1 -|^)coskx + fb(1 -^-) + cfbx. (12)

kh F F F

cr cr cr cr

Для визначення критичного навантаження Fcr використаємо граничну умову (11). Таким чином, при х = l з рівняння (12) маємо

y(l) = -sin kl + fb (1 - f )cos kl + fb (1 - f) + f^l = fb

kFcr Fcr Fcr Fcr

або

c cl

- sin kl - (1--) cos kl = 0.

kFcr Fc

Після нескладних математичних перетворень отримаємо рівняння

tgki=кі(\ - Zf), (із)

cl

розв'язавши яке, тобто визначивши найменший корінь к, можна знайти критичне навантаження, оскільки

Fr = к 2EImm. (14) Розглянемо два граничні випадки. Якщо с = 0, отримаємо tgkl = о або kl = п/2, тобто маємо випадок, коли лівий кінець стержня жорстко закріплений, а правий -вільний, тоді | = 2 (рис. 1) і критична сила

F   = п EImin "~   (21 )2

Якщо c = о (дуже жорстка опора), отримаємо tgkl = kl. Розв'язавши це рівняння, маємо kl = п/a, де a = 0,699155659643...- 0,7, що дає формулу для стержня, один кінець якого защемлений, а інший - шарнірно обпертий (рис. 1), тоді | = 0,7 і критична сила

р   = п EImin СГ     (0,7l)2 "

Таким чином, якщо коефіцієнт жорсткості опори c змінюється від нуля до нескінченності, то це можна врахувати коефіцієнтом зведення довжини і, який при цьому відповідно змінюється від 2 до 0,7. Це означає, що зі зростанням жорсткості опори зменшується коефіцієнт і і збільшується стійкість стисненого стержня та значення критичної сили, яку він спроможний витримати [3-4, 6-7]. Виведемо залежність коефіцієнта зведення довжини | від жорсткості опори c.

Для дослідження виберемо стальну стиснену стійку квадратного поперечного перерізу 5x5 см. Визначимо її довжину, враховуючи те, що формула Ейлера (4) стосується тільки гнучких стержнів, в яких гнучкість Я> 100 [3-4]. Оскільки

Л = А (15)

'min

де ''min - мінімальний радіус інерції квадратного поперечного перерізу стержня

4

aa

j = \ Imin 'min

V A \

12a2 243

,   Aj'min      Aa     ,     100 • 5 тоді довжина стійки l = min = 1=—; l = 1=-= 206,2 см.

і      2V31       2V3 • 0.7 Остаточно приймаємо стійку довжиною l = 2,1 м. Тоді найменша та найбільша гнучкості стержня відповідно становлять

Amn = 0,699 ^ 2510^ = 101,7        і        4„„ = = 291,0.

Жорсткість стержня при поздовжньому згинанні EImin = 2 105 0,054 12

0,10417

2 .....

МН-м , а критичне навантаження, яке витримає стійка при мінімальній жорсткості, тобто при Amin = 101,7 складає

F =

3,141592 • 0,10417 (0,699 • 2,1)2

Параметр k

F

cr

EImin ~\

п EImin

(і )2 EI

= ; k

0,4771МН = 477,1 кН.

3,14159

0,699 2,1

2,140 м-1, а жорсткість

опори c можна визначити з рівняння (13)

c =

kFc

2,140 • 477,1

= 177497,3кН/м.

kl - tgkl       2,140 • 2,1 - tg(2,140 • 2,1) Аналогічно знаходимо значення критичної сили Fcr , параметра k та жорсткості опори c при різних значеннях коефіцієнта зведення довжини | від 0,7 до 2,0 з інтервалом 0,1. Результати розрахунків наведено в таблиці 1.

За табличними даними будуємо графік залежності жорсткості опори c від коефіцієнта зведення довжини стержня і (рис. 3), який підтверджує те, що для підвищення стійкості стисненого елемента (зменшення коефіцієнта і) необхідно збільшити жорсткість опори c .

Цей графік має вигляд гіперболи, тому, враховуючи умови, що при c = 0 і = 2 і при c = оо і = 0,699, а також табличні дані досліджень стійкості стиснених елементів, функцію і = f (c) з достатньою для практичних розрахунків точністю можна подати у вигляді

1,301

де c

і = 0,699 +

0,025с + Г

коефіцієнт жорсткості опори, який вимірюється в кН/м.

Таблиця 1. Результати розрахунків на стійкість стисненого стержня

(16)

Розміри попереч­ного перерізу, см

Довжи­на стійки, l, м

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В Кондель - Дослідження стійкості стальних стиснених елементів конструкцій з урахуванням умов їх закріплення та жорсткості опор