С А Раков - Дослідницький підхід у курсі геометрії, відкриті задачі, проблемні області, чотирикутники та пакет динамічної геометрії dg - страница 2

Страницы:
1  2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

a

 

 

 

 

-7    -6    -5    -4    -3    -2    -1 0 -1

2     3     4     5     6     7     8     9    10   11    12    13   14    15    16   17 18

Результуючі дані:

Площа(А,Б,С,О) =50.26021

Рисунок Шарнірний чотирикутник максимальної площі (евристичний пошук)

Евристичний пошук характеристичної властивості шарнірного многокутника максимальної площі

Які властивості має зображений на Рисунку 3 чотирикутник? Звертає увагу на себе те, що сума величин протилежних кутів дорівнює 180°. Оскільки відомо, що навколо заданого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180°, то сама собою напрошується гіпотеза[3].

Гіпотеза 1. (Необхідна і достатня умова максимальності площі шарнірного чотирикутника) Шарнірний чотирикутник обмежує максимальну площу тоді і тільки тоді, коли він вписаний у

коло.

Відразу виникає нова, споріднена гіпотеза:

Гіпотеза 2. (Існування вписаного шарнірного чотирикутника)

Для кожного шарнірного чотирикутника існує чотирикутник, вписаний в коло.

Експериментальна підтвердження або спростування гіпотез за допомогою пакета DG

Для експериментальної перевірки або спростування Гіпотези 1 доповнимо динамічне креслення

"ЕС чотирикутник - 1" колом, що проходить через вершини A, B, C. Копію екрану відповідного

динамічного креслення наведено на Рисунку 5.

Експертна система "ЕС чотирикутник - 1" ^[

Вихідні дані:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3

-5

2     3    4    5     6    7—-8--9    10   11    12   13   14   15   16   17 18

Результуючі дані:

Площа(А,Б,С,О) =50.26030

Рисунок Експериментальна перевірка Гіпотези у пакеті DG.

1

-2

-3

-4

-5

-6

Вибираючи різні значення параметрів чотирикутника можна впевнитися у тому, що кожен раз експериментально знайдений чотирикутник максимальної площі буде вписаним чотирикутником.

Звернемось до експериментальної перевірки Гіпотези 2. З одного боку, експерименти, проведені на попередньому етапі не дали підстав мати сумніви відносно Гіпотези 1. Але продовжимо експерименти, можливо вони наведуть на плідну ідею, яка може послужити основою для дедуктивного доведення справедливості Гіпотези 2. Спробуємо поступити інакше: побудуємо довільне коло за даним радіусом і від будь - якої точки на колі відкладемо дуги, які стягуються хордами, довжини яких дорівнюють послідовно довжинам сторін шарнірного чотирикутника a, b, c (очевидно, для того, щоб побудову можна було виконати, достатньо, наприклад вибрати радіус кола так, щоб він задовольняв умову 2г>а + Ь +с). Радіус кола будемо використовувати як параметр. У динамічний напис будемо виводити довжину четвертої сторони чотирикутника. Це динамічне креслення було назване "Наближений розв'язок" задачі про максимальну площу шарнірного чотирикутника", тому що його можна для цього використовувати: задати довжини трьох сторін a, b, c після чого радіус кола r вибрати таким, щоб він якомога ближче відповідав довжині четвертої сторони d. Експерименти з розробленим динамічним кресленням показують, що існувати вписані чотирикутники будуть при кожному значенні радіуса з інтервалу [R, со[, де R - радіус кола, вписаного у трикутник із сторонами а, Ь, с. Відповідні значення довжини четвертої сторони будуть варіюватися в інтервалі [0, а + Ъ + с[. Оскільки довжина четвертої сторони є функція, яка неперервно залежить від радіуса описаного кола, то, при деякому значенні радіуса довжина четвертої сторони буде дорівнювати d (на основі вже згадуваної теореми про властивості функції, неперервної на інтервалі). Запропонований алгоритм побудови вписаного в коло чотирикутника для даного набору довжин сторін чотирикутника a, b, c, d дає першу необхідну і достатню умову існування шарнірного многокутника.

Рисунок Наближений розв'язок задачі про шарнірний чотирикутник максимальної площі у

середовищі пакета DG

1 необхідна і достатня умова існування шарнірного многокутника

Якщо три відрізки із довжинами a, b, c утворюють трикутник, то для того, щоб існував шарнірний многокутник із довжинами сторін a, b, с, d, необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова d <a + b + c.

А що буде у випадку, якщо три відрізки із довжинами а, Ь, с утворюють трикутник? Комп'ютерні експерименти з тим же динамічним кресленням і в цьому випадку підкажуть необхідну і достатню умову, обґрунтування якої залишимо читачеві:

2 необхідна і достатня умова існування шарнірного многокутника

Якщо три відрізки із довжинами a, b, c не утворюють трикутник (для визначеності припустимо, що найбільша сторона має довжину a), то для того, щоб існував шарнірний многокутник із довжинами сторін a, b, с, d необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова a-(b+c)<d<a+b+c.

Доведення гіпотез 1 і 2

Запропонований вище алгоритм наближеної побудови вписаного шарнірного многокутника у сукупності з теоремою про властивості функцій, неперервних на відрізку, дають доведення справедливості гіпотези 2.

Доведення Гіпотези 1 (Д. Пойа)

Доведення Гіпотези 1 наведено в [2, с. 192-195] і проводиться як низка теорем, що доводяться у дусі шарнірних механізмів Я.Штейнера. Сформулюємо ці теореми у вигляді відкритих задач, кожну з яких можна досліджувати у середовищі пакета DG.

Задача 1

У трикутнику відомі дві сторони a і b. За яких умов цей трикутник має найбільшу можливу площу?

Відповідь: у тому випадку, коли він прямокутний і відомі сторони служать його катетами).

Задача 2

У чотирикутнику (многокутнику) задані всі сторони, крім одної. За яких умов цей чотирикутник (многокутник) має найбільшу можливу площу?

Відповідь: у тому випадку, коли він уписаний у півколо, діаметром якого служить невизначена сторона.

Задача 3

За яких умов шарнірний многокутник обмежує найбільшу площу? Аналітичне доведення Гіпотези 1 орох В.П., усне повідомлення)

Поділимо шарнірний многокутник ABCD діагоналлю BD на два трикутники ABD і BCD. Використовуючи теорему синусів, виразимо площу шарнірного чотирикутника:

(1) S = ^{ad sin А + be sin С)

Звідси отримаємо:

(2) 45' = 2(a<isin^ + 6csinO

Виразимо діагональ BD за теоремою косинусів з трикутників ABD і BCD і прирівняємо отримані вирази:

(3) a2 +d2-2adcosA = b2 + с2-2bccosC Звідси отримуємо:

(4) (я2 + d2) - ф2 + с2) = 2{ad cos A-be cos С)

Піднесемо до квадрату ліві і праві частини рівностей (2) і (4) і складемо отримані рівності. Після тотожних перетворень отримаємо:

, ч S2 = — (-(a4 + b4+c4+d4) + 2(a2b2 + а2с[4] + d2b2 + d2c[5]) +

(5) 16

+ 4(a2d2 +b2c[6])-Zabcdcos(A + C))

З (5) випливає, що свого найбільшого значення квадрат площі, а значить і величина самої площі, досягає у випадку, коли cos(^4 + С) = -1. А це відбудеться, якщо сума протилежних кутів буде дорівнювати 180°, тобто у випадку, коли чотирикутник вписаний у коло, що і потрібно було довести[7].

Наближений розв'язок задачі про шарнірний чотирикутник максимальної площі у середовищі пакета DG

Наведене вище динамічне креслення (див. рисунок 6) можна використовувати для наближеного розв'язування задачі про шарнірний многокутник максимальної площі, наближеного визначення максимальної площі шарнірного чотирикутника, радіуса кола, описаного навколо чотирикутника максимальної площі.

Теми наступних навчальних досліджень

Після успішного проведення навчальних досліджень стосовно чотирикутників, учням можна запропонувати їх розвинення у напрямку довільних многокутників, наприклад:

1. Доведення теореми: для того, щоб шарнірний многокутник обмежував найбільшу площу необхідно і достатньо, щоб він був вписаний у коло.

2. Дослідження умов, при яких шарнірні многокутники обмежують найбільшу площу.

3. Побудова у середовищі пакета DG динамічних креслень - "Експертних систем", які дозволяють наближено розв'язувати задачу про визначення кола, в яке може бути вписаний заданий шарнірний многокутник, його радіуса, многокутника максимальної площі для заданого шарнірного многокутника (окремо для п'ятикутника, шестикутника, і т.д. ).

4. Ознаки рівності многокутників.

5. Побудова у середовищі пакета DG "Експертних систем", які дозволяють наближено "розв'язувати многокутники" - визначати якомога більше їх параметрів для кожної ознаки рівності многокутників даної розмірності (п'ятикутників, шестикутників, і т.д.)

ЛІТЕРАТУРА

1. E.Pehkonnen. Use of open-ended problems in mathematical classroom. - Helsinki University (Finland), Research Report 176, 1997. - 130 p.

2. Д.Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М:.«Наука», 1975.- 464 с.

3. Г.Вейль, Математическое мышление. М:., «Наука». 1989. - 400 стр.

Зауважимо,      що      з      (5)      випливає      узагальнення      теореми      Герона      для чотирикутників:


Існують діаметрально протилежні погляди на місце дослідницького підходу у навчанні математики: йому місце тільки у спеціалізованих математичних класах, опоненти вважають, що дослідницький метод повинен використовуватись у всіх без винятку класах, у всіх без винятку темах, тому, що це є "жива душа математики", її спосіб існування, що значно вище ніж засвоєння готових фактів та алгоритмів розв'язування типових задач. І хоча друга точка зору більш імпонує під час переосмислення задач і методів освіти, слід визнати, що треба ще пройти великий шлях і науковцям-дидактам, і вчителям-практикам для опанування дослідницьким підходом в освіті.

Програмно-методичний комплекс "ПК DG" включає в себе крім самого пакета DG методичний посібник для вчителя, посібник для учня, настанову користувача, бібліотеку динамічних креслень, комплект робочих зошитів для підтримки навчальних дослідницьких робіт. "ПК DG" рекомендований МОН України, має сертифікат відповідності УкрСеПро.

[2] Теореми про властивості функції, що неперервна на обмеженому замкненому відрізку на наш погляд слід наводити у шкільному курсі математики "за модулем теореми про повноту множини дійсних чисел". Ці теореми потрібні у багатьох випадках як обґрунтування існування об'єктів або наявності у них деяких властивостей.

[3] Насправді, ця гіпотеза є добре відомим фактом, який, зокрема, випливає з ізопериметричної властивості кола: із усіх замкнених кривих у гшощщш найбільшу площу обмежує коло. Для доведення використовується "шарнірний метод" Я.Штейнера [2, с. 190]. У даній замітці розглядаються навчальні дослідження і тому моделюється їх хід на основі матеріалу шкільного курсу математики.

[4] = ^/(р- a)(р- b)(р- c)(р- d) - 16cos2((A + C)/ 2) . Еквівалентність (5) і узагальненої теореми Герона можна довести у

[5] = ^/(р- a)(р- b)(р- c)(р- d) - 16cos2((A + C)/ 2) . Еквівалентність (5) і узагальненої теореми Герона можна довести у

[6] = ^/(р- a)(р- b)(р- c)(р- d) - 16cos2((A + C)/ 2) . Еквівалентність (5) і узагальненої теореми Герона можна довести у

середовищі пакета комп'ютерної алгебри Derive.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

С А Раков - Дослідницький підхід у курсі геометрії, відкриті задачі, проблемні області, чотирикутники та пакет динамічної геометрії dg