Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Пикар и общие вопросы теории гиперболических уравнений - страница 1

Страницы:
1 

Пикар и общие вопросы теории гиперболических уравнений Косолапое Ю. Ф., Мамичева В.Д.

Донецкий национальный технический университет

 

Розглядаються деякі загальні питання теорії гіперболічних рівнянь з ча­стинними похідними в роботах Пікара. Дається загальна характеристика внеску Пікара в теорію гіперболічних рівнянь.

Нам осталось рассмотреть еще одну работу Пикара по теории гипербо­лических уравнений. Речь идет о небольшой по объему, но чрезвычайно важ­ной в теоретическом отношении заметке [13], где освещаются некоторые об­щие вопросы теории задач Коши и характеристической для линейного урав­нения

zxy = azx + bzy + cz                              ( 1 )

- о существовании и единственности решения задачи Коши и в связи с этим о взаимоотношении методов Римана и последовательных приближений, о "свя­зывании" решений двух характеристических задач для одного уравнения вдоль общей характеристики.

Пикар отмечает, что метод последовательных приближений хорошо ре-
шает проблему существования решения задачи как Коши, так и характери-
стической. С другой стороны, метод Римана для задачи Коши очень удобен
для установления единственности решения, но не проверки того, что форму-
ла Римана действительно дает искомое решение. Поэтому параллельное рас-
смотрение обоих методов в случае задачи Коши для линейного уравнения (1)
позволяет успешно решать оба вопроса - и о существовании, и о единствен-
ности. Но при этом начальная кривая, несущая данные Коши, должна подчи-
няться непременному условию - пересекаться с харак-
теристиками уравнения не более одного раза. Для вы-
яснения характера «неприятностей», могущих возник-
нуть в случае нарушения этого требования, Пикар рас-
сматривает пример кривой
MSP, изображенной на рис.
3, с концами
M, P, лежащими на оси x ее с обеих сто-
Рис. 3                       рон от оси
y , и наивысшей точкой S, принадлежащей

оси y. Как метод Римана, так и метод итераций однозначно определяют ре­шения щ и u2 задачи Коши в каждой из частей ОРS и OSM c начальными кривыми PS и MS, непрерывные, как доказывается в методе итераций, вместес частными производными первого порядка. Однако, с одной стороны, функ­ции и1 и и2, вообще говоря, не «связываются» вдоль оси у, то есть значения

функции и1 и ее первых частных производных вдоль оси у не совпадают с соответствующими значениями функции и2 и ее частных производных[1]. С другой стороны, продолжение по непрерывности (вместе с частными произ­водными первого порядка) решения и1, найденного методом Римана, в об­ласть OSM через ось у дает в OSM функцию, вообще говоря, не совпадающую с решением и2 , найденным тем же методом.

Приведенные рассуждения Пикара были продолжены французскими учеными Жаком Адамаром [2] и Эдуардом Гурса [3], показавшими, что дос­таточно на одной из кривых PS или SM задать условия Коши, а на другой -только значения искомой функции, чтобы получить разрешимую (так назы­ваемую смешанную) задачу.

Переходя к характеристической задаче для уравнения (1), Пикар под­черкнул невозможность задания условий Коши на характеристиках. Так, на­пример, задав значения искомой функции z на характеристике у = const, мы

однозначно определили бы вдоль нее частную производную zx и, с точно­стью до произвольной постоянной, - частную производную z у как решение обыкновенного дифференциального уравнения

(zy і = bzy +(azx + c). Поэтому задание на упомянутой характеристике значений z и значения производной z у в одной точке однозначно определит z у   вдоль всей харак­теристики.

Рассмотрим теперь вместе с Пикаром задачу для урав­нения (1) с известными значениями искомой функции на двух пересекающихся в точке О отрезках BB' и OA харак­теристик (рис. 4). Обозначим чрез и, и1, и2 решения данной и двух других характеристических задач с теми же значе-

Рис. 4         ниями искомой функции вдоль OB', OA в первом случае и

вдоль OB, OA во втором. Функции и, и1, и2 определены соответственно в пря­моугольниках BCCB' , OACB' , OACB и, на основании сделанного замечания по поводу характеристик, и1, и2 «связываются» вдоль ОА (в указанном выше

смысле), образуя вместе функцию, определенную в прямоугольнике BCC'B' и совпадающую там с функцией и .

Мы проанализировали исследования Пикара по линейным и квазилиней­ным гиперболическим уравнениям второго порядка с двумя независимыми переменными, посвященные задаче Коши, характеристической задаче и ли­нейным задачам со значениями искомой функции на двух прямых.

Основным методом доказательства существования решения рассматри­ваемых задач является метод последовательных приближений, по сравнению с известным методом мажорантных функций нуждающийся, как показал Пи-кар, в минимальных условиях непрерывности на рассматриваемые уравнения и дополнительные условия.

В 1890 г. Пикар доказал существование решения задачи Коши и характе­ристической задачи для линейного уравнения с непрерывными коэффициен­тами. В задаче Коши с помощью двух непрерывных функций задавались зна­чения частных производных первого порядка от искомой функции вдоль не­которой кривой, не пересекающейся характеристиками более чем в одной точке, и значение искомой функции в одной точке кривой. Уравнение кривой предполагалось представимым непрерывными монотонными функциями по каждой из двух независимых переменных. В характеристической задаче дан­ные на характеристиках задавались непрерывно дифференцируемыми функ­циями.

Характеристическую задачу для квазилинейного уравнения Пикар рас­смотрел в 1896 г. Предполагая нелинейный член уравнения непрерывным по пяти и удовлетворяющим условию Липшица по трем (без двух независимых переменных) аргументам, он свел доказательство существования к линейно­му случаю, а последний попытался исследовать, сочетая итерационный метод с элементами теории аналитических функций. Интересная сама по себе идея доказательства была только намечена, но доведение ее до конца нуждаемся в весьма тонком и технически сложном исследовании, явно уступавшим про­стому пути, найденному в 1890 г. Методы обеих работ позволяют доказатьразрешимость задачи Коши для квазилинейного уравнения при тех же, что и в характеристической задаче, условиях непрерывности. Некоторое внимание Пикар уделил (1894, 1896 гг.) краевым задачам для линейного, уравнения, когда задаются значения искомой функции на двух прямых - характеристике и биссектрисе координатного угла или на двух лучах, исходящих из начала координат. Использование краевых условий во второй задаче потребовало решения некоторого функционального уравнения. В 1899 г. Пикар указал случай неразрешимости второй задачи, когда начальные лучи разделяются характеристикой. Несколько позже линейные и квазилинейные задачи с за­данными значениями искомых функций на двух произвольных прямых или кривых стали предметом исследований Адамара и Гурса. Первый исходил из метода Римана, второй использовал как итерационный метод, так и (в жест­ких условиях аналитичности) метод мажорантных функций.

В 1893 г., исследуя колебания электрического потенциала в проводе, Пу­анкаре методом интеграла Фурье решил задачу Коши для телеграфного урав­нения и описал процесс распространения колебаний. Пикар (1894 г.) показал, что физическая картина явления может быть выяснена значительно проще с помощью метода Римана - фундаментального, по его выражению, метода в теории гиперболических уравнений с частными производными второго по­рядка. Пуанкаре и Пикар установили наличие в колеблющейся системе оста­точных колебаний, имеющих место по прохождении основной волны, и на­рушение в связи с этим принципа Гюйгенса. Эти исследования были продол­жены в 1901 г., Адамаром для произвольного линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

В 1899 г. Пикар обсудил некоторые общие вопросы теории задач Коши и характеристической для линейного уравнения: о существовании и единст­венности решений, о взаимоотношении методов Римана и последовательных приближений, о задании краевых условий на начальной кривой, пересекаю­щейся с характеристиками более одного раза, а также "связывании" решений двух характеристических задач для одного уравнения вдоль общей характе­ристики. В существенной части идеи Пикара были вскоре развиты Адамаром и Гурса.

Таким образом, Пикар доказал (или указал путь доказательства) сущест­вование и единственность решения задачи Коши и характеристической зада­чи для линейного и квазилинейного гиперболических уравнений второго по­рядка с двумя независимыми переменными. Его работы несомненно способ­ствовали широкому проникновению в современную математику итерацион­ных методов. Основываясь на его идеях, ряд математиков начала ХХ в. (Адамар, Кулон и др.) решили задачу Коши для некоторых уравнений второ­го порядка с большим, чем два, количеством независимых переменных, в частности, для квазилинейного уравнения с волновым оператором и нели­нейным членом, зависящим от производных первого порядка. В то же время Пикар никоим образом не способствовал ослаблению внимания исследовате­лей и к другие методам, в частности, методу Римана для линейных гипербо­лических уравнений.

Как известно, в конце 80-х и первой половине 90-х годов XIX в. появи­лось немало работ, посвященных развитию и обобщению метода Римана. Упомянем прежде всего работы Дюбуа Реймона, Дарбу, Дини, Деласье, Ни-колетти, Леру, Вольтерра, Тедоне, Бьянки. Делались попытки обобщения ме­тода некоторые на нелинейные уравнения, уравнения высших порядков, не обязательно гиперболические, на системы уравнений. Но все результаты ис­следователей носили в основном частный характер. Основной трудностью было отыскание функции Римана. И уже Дюбуа Реймон и особенно Дарбу начали понимать принципиальный характер этой трудности, состоящий в том, что найти функцию Римана как решение характеристической задачи, во­обще говоря, ничуть не легче, чем решить исходную задачу Коши. В разви­тии метода Римана назревал своеобразный тупик.

Работы Пикара, в которых доказывалась разрешимость характеристичес­кой задачи, а следовательно, и существование функции Римана, а заодно и решения задачи Коши, означали выход из тупика в ином направлении, и в этом отношении они оказались весьма актуальными. Более того, метод Рима-на применим, как правило, только к линейным уравнениям, а Пикар добивал­ся успеха даже в квазилинейном случае. И тем не менее, мы подчеркнем это еще раз, он ни в коей мере не пытался абсолютизировать метод последова­тельных приближений в ущерб другим методам, в том числе методу Римана. В настоящее время, как мы знаем, широко применяются как итерационные методы, так и методы, являющиеся результатом широкого обобщения мето­да, идущего от Римана.

Литература

1. Picard E. Sur les equations lineaires aux derivees partielles du second ordre. - Bull.d.sci.math., 1899, (2)23, p. 150 - 153.

2. Hadamard J. Sur l'integrale residuelle. - Bull.d.l.soc.mathem.d. France, 1900, 28, p. 69 - 90.

3. Goursat E. Sur un probleme relatif a la theorie des equations aux derivees partielles du second ordre (second memoire). Ann.Fac.d.sci. Tou-louse, 1904, (2)6, p. 117 - 144.


[1] Расшифровка "то есть" соответствует пикаровскому пониманию связыва­ния. На самом деле здесь нужно говорить о предельных значениях, но основ­ная идея Пикара остается справедливой.

Страницы:
1 


Похожие статьи

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Задача коши для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Пикар и общие вопросы теории гиперболических уравнений

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Характеристическая задача для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара