С Бєльчиков, С Майданюк, В Ольховський - Резонанси в задачах розсіювання частинок на ядрах і задачах розпаду ядер - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИКЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 200J. Вип.34. СІ30-136

VISNYK LVIV UNIV. Ser.Physic. 2001. № 34. Р.130-136

УДК 539.14

PACS number(s): 03.40.Kf, 03.50.De, 03.65.Ge

 

РЕЗОНАНСИ В ЗАДАЧАХ РОЗСІЮВАННЯ ЧАСТИНОК НА ЯДРАХ І ЗАДАЧАХ РОЗПАДУ ЯДЕР

 

С.Бєльчиков, С.Майданюк, В.Ольховський

Науковий центр "Інститут ядерних досліджень " НАНУ, пр. Науки, 47, 03680 Київ, Україна

Для задачі розпаду ядра з одногорбим кулонівським бар'єром при моменті 1=0 знайдено точний розв'язок на визначення квазістаціонарних рівнів і Г-ширин. Розвиваючи застосований підхід до розв'язування задач розпаду з бар'єрами складного виду, виконано аналіз розв'язку задачі з двогорбим бар'єром Струтинського.

Резонансну і потенційну компоненти S-матриці в задачі розсіювання частинки на ядрі можна обчислити, використовуючи метод багаторазових внутрішніх відбиттів. Часи тунелювання та відбиття відрізняються одним доданком, що залежить від фази розсіювання.

Описано новий метод, що дає змогу зонансні рівні для задач розсіювання з бар'єром довільної форми.

Ключові слова: реакції розсіювання і розпаду, точні розв'язки на власні значення, часи тунелювання та відбиття, резонанси.

Хід ядерних реакцій суттєво залежить від близькості рівнів енергії цих процесів до їхніх резонансних значень. Вивчення резонансів дає змогу глибше зрозуміти досліджуваний ядерний процес. Наша мета - розвинути методи для дослідження резонансів і їхнього опису в процесах розпаду ядер і процесах розсіювання частинок на ядрах.

Спочатку дослідимо процес розпаду ядра. Інтерес становлять модельні задачі, які допускають розв'язування в явному вигляді [1]. За допомогою методу, описаного в [2], ми отримали досить прості розв'язки на знаходження квазістаціонарних рівнів задачі з одногорбим кулоновим бар'єром при моменті 1-0. Розвиваючи цей метод для розв'язування задач з бар'єрами складнішої форми, розглянемо задачу з двогорбим бар'єром Струтинського.

Дослідимо процес пружного розсіювання частинки на ядрі. Застосування методу багаторазових внутрішніх відбиттів до опису цього процесу для рівнів енергії, близьких до резонансних значень, дає змогу досить просто визначити резонансну і нерезонансну (потенційну) компоненти S-матриці, виразивши їх через відбиту компоненту S-матриці і компоненту S-матриці, що пройшла [3]. Часи тунелювання і відбиття в цьому разі відрізняються одним доданком, залежним лише від фази розсіювання [4, 5].

© Бєльчиков С, Майданюк С, Ольховський В., 2001

Опишемо новий метод, який дає змогу знайти резонансні рівні для процесу розсіювання частинки на ядрі з бар'єром довільної форми. Метод перевірено на задачі з бар'єром прямокутної форми.

Розглянемо спочатку процес розпаду ядра. Дослідимо цей процес за допомогою одночастинкової квантово-механічної моделі розпаду ядра з використанням бар'єра розпаду [2, 6]. Розглянемо складене ядро як систему частинка-дочірнє ядро. Квазістаціонарні стани цієї системи можна описати за допомогою хвильових функцій (ХФ), які є розв'язками стаціонарного рівняння Шредінгера [2]:х^=\а\и\^г) + ь\и\ігХ при г<Л;
2иЦг),                        при/•>/?,


(1)де R - зовнішня межа, зумовлена вершиною бар'єра, uf{r) - розв'язок для ХФ, що

відповідають збіжній та розбіжній сферичним хвилям в асимптотичному наближенні за г. Під час розв'язування задачі розпаду у виразах для ХФ ми

вибираємо тільки розбіжну хвилю и2(г) на зовнішній області r>R.

У задачах розпаду з бар'єром досить простої форми квазістаціонарні рівні

Eres і відповідні їм ширини Гх можна знайти за допомогою методу, описаного в

[2]:

0?, = -

SE,=-AX(EX)&1; dE

де рівні Ех визначено з умови звертання логарифмічної похідної на зовнішній границі у нуль:

//fo)U=0'  £л>0,  Е^єК, (3) і ХФ взяті для внутрішньої області; 8ЕХ зміна рівня щодо значення Ех . Для кулонівського потенціалу на зовнішній області

Л;=ф,(г)^'(г) + С;(г)С,'(4,;

s,=kRv,; (4) 1

v, -

де F[(r) і G/(r) регулярна і нерегулярна кулонівські функції; v,проникність бар'єра.

За допомогою цього методу можна отримати досить простий розв'язок на знаходження квазістаціонарних рівнів для системи, радіальна частина потенціалу якої має вигляд

■V0, при r <R;

V(r) = \r             n (5)

w               при r >R. w

Розглянемо випадок / = 0. Загальний розв'язок стаціонарної ХФ має вигляд

, ч   \ae'ik'r + be'v,     при 0 < r < R; у(г) = < (6)

|S(F0(r) + iG0(r)), при r>R,

де кх = —Jlm(E + V0) . Аналізуючи ХФ на внутрішній області, одержимо такі h

вирази:

f0(E) = Rkxctg(kxR);

©ол(£л) =


h1 ш

mR2 '                  8ЕХ = 0

 

 

 

 

де neN.

Метод, розглянутий вище, можна застосувати для розв'язування задач з бар'єром складнішої форми. Наприклад, коли потенціал визначають на декількох областях за змінною г (понад 2) і на зовнішній області ми маємо кулонівський потенціал, тоді зовнішню межу R виберемо як межу поділу між зовнішньою областю і сусідньою з нею внутрішньою областю. З аналізу ХФ на внутрішніх

областях для r<R визначаємо Ех, @2Х,{Ех). З аналізу ХФ на зовнішній

області знаходимо ї, і д,. Величини Гх і 8ЕХ знаходимо зі спільного аналізу

зовнішньої і внутрішніх областей.

Як приклад, розглянемо розпад системи, радіальна частина потенціалу якої містить двогорбий бар'єр. Припустимо, що розпадаючі стани такої системи можна описати за допомогою стаціонарних ХФ вигляду

Аг) = Х(г):

Axci\{r) + Bxb\(r),   при 0<r<Rx    {обл.Г);
A2a2(r) + B2b2(r), при Rx <r<R2 (обл.П); (8)
Г               [Sc+(r),                при r>R2 (обл.ПІ),

де a,(r) і Ь,(г) часткові розв'язки ХФ на області і; с+(г) функція, що відповідає розбіжній сферичній хвилі в асимптотичному наближенні за г. Тоді рівняння (3), що визначає рівні Ех , перетвориться до

f,(E,) =--------- ^--------- ~U2a2(r) + B2b2(r)] =0.

1     A2a2(R2) + B2b2(R2)drl 2 2W    2 2V Чг .


(9)

Використовуючи умови безперервності ХФ і її похідної в г = 0 і r = Rx на знаходження нормувальних коефіцієнтів, одержимо рівняння

da2(r)

dr


+ F,


db2(r)

dr


= 0;

_ (-bx(0)ax(r) + bx(r)g,(0))b2'(r)-(-bx(0)q,'(r) + V(r)a,(0))b2(г)

(e2(r)62'(r)-a2 4^(^,(0) (- bx (0)0, (r) + ft, (r)a, (0))д2 '(r) - (- ft, (0)a, '(r) + ft, '(r)a,(0))a2(r)


;(io)

(в2'(г)Ь2(г)-02(^4^(0)

Коли потенціал системи мае вигляд (при 1=0):


r=R,

V(r) =

(И)

ar2-V0,        при 0<r<Rx, B(r-Rb) + Vb, при Rx <r<R2, У

—,                 при г > R2,

г

тоді квазірівні можна обчислити за допомогою (10), де варто виконати заміну: а,- (г) = Dr (d,r),  a2(r) = Dy (d, (r - R„)); ft,.(r) = Dy(-dir\ b2(r) = Dr(-d,{r-Rb));

c+(r) = F0(r) + iG0(r); (12)

dx =


V h2 J


> 0, d2 =


U2


>o.

Тут Dy(±z) функції параболічного циліндра [7].

Тепер розглянемо процес пружного розсіювання частинки на ядрі. Одним з головних результатів застосування методу багаторазових внутрішніх відбиттів для опису цього процесу е поділ .S-матриці на два компоненти, що відповідають проходженню і відбиттю частинки щодо бар'єра [3]:

S = Slr+Sref. (13)

Цей результат було доведено для бар'єра довільної форми. Застосування цього методу до опису пружного розсіювання частинки на ядрі з бар'єром довільної форми для рівнів енергії, близьких до резонансних значень, дає змогу досить просто визначити резонансну і нерезонансну (потенційну) компоненти S-матриці, виразивши їх через відбиту компоненту 5-магриці і компоненту S-матриці, що пройшла:

(14)

^nonres ^ref'

За допомогою цього методу можна обчислити відбиту компоненту і компоненту, що пройшла:

•*res - 7 Ь ' S nonres =(1~Р')5Є';

де

Цей коефіцієнт характеризує проникність бар'єра залежно від рівня, по якому відбувається розсіювання.

Одним з результатів застосування методу багаторазових внутрішніх відбиттів до виконання часового аналізу процесу розсіювання частинки на ядрі є визначення часів. У цьому разі часи тунелювання і відбиття відрізняються одним доданком, залежним лише від фази розсіювання. Наприклад, для задачі розсіювання частинки на прямокутному бар'єрі при 1=0 маємо [3]:

_ R     <?arg(SJ    R     ^arg(S)   . <?argQQ.

=-- гП-------- =--- г П----- 1------ ,

R     <?arg(Sre/)   R     <?arg(S) fe<?arg(l-r)

Гге/----- 1----- 1- =--- 1------- f- n---------- ,

v            Ж          v          Ж Ж

hk

де v =----- швидкість частинки, R зовнішня межа бар'єра. Звідси ми бачимо,

т

що часи відрізняються останнім доданком, у якому коефіцієнт у можна визначити через фазу розсіювання. Час тунелювання можна використати для опису резонансного розсіювання частинки на ядрі, а час відбиття - використати в описі потенційного розсіювання частинки на ядрі.

На закінчення опишемо новий підхід визначення резонансних рівнів енергії в процесі пружного розсіювання частинки на ядрі. Для енергій Е, близьких до резонансного значення Eres, 5-матрицю можна записати у вигляді [6]

 

S = Sresa, а =----------- |г. (18)

 

З іншого боку, згідно з (15)

5 = 5(r + Sre/=S(r-y (19) Для резонансних рівнів Eres виконується така властивість:

а = 1, у = 1. (20) Для рівнів, близьких до резонансних значень, можна скласти систему рівнянь

 

Г=ос =----------- /,(£,£га,Г);

E~Eres+

ІГ = /2(£„),

де другий вираз можна обчислити за допомогою якого-небудь іншого методу (див.

[2, 6]). Цю систему в деяких випадках можна звести до одного рівняння

/3(£,Г) = 0. (22) З урахуванням властивостей аналітичності ^-матриці та властивостей функцій

fi   біля  резонансного  значення,  а також  використовуючи  явний вигляд

досліджуваного потенціалу, у деяких випадках можна визначити резонансні рівні, що виконуються для задачі з бар'єром прямокутної форми.

Отже, ми розглянули кілька методів, що дають змогу проаналізувати резонанси у процесах розпаду ядра і розсіювання частинки на ядрі.

За допомогою методу, описаного в [2] для знаходження квазістаціонарних рівнів при розпаді ядра з бар'єром простого вигляду, розв'язано дві модельні задачі на визначення резонансних рівнів і Г-ширин. Аналіз розв'язків засвідчив, що застосований підхід є досить простим і дає змогу визначити резонансні рівні для систем, що розпадаються, з потенціалом складного вигляду.

Для процесу розсіювання частинки на ядрі резонансну і потенційну компоненти S-матриці можна обчислити за допомогою методу багаторазових внутрішніх відбиттів. Цей результат є важливим для розв'язування задач з бар'єрами досить складної форми. Часи тунелювання і відбиття відрізняються на один доданок, що залежить від фази розсіювання.

Ми описали новий підхід до обчислення резонансних рівнів у разі розв'язування задач розсіювання частинки на ядрі. Було б цікаво його застосувати для опису різних ядерних процесів.

1.     Olkhovsky V.S., Maidanyuk S.P. On the evolution of particle transitions from one well to another in a double-well potential // Журнал фізичних досліджень. 1999. T.3.№1. С. 12-24.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

С Бєльчиков, С Майданюк, В Ольховський - Резонанси в задачах розсіювання частинок на ядрах і задачах розпаду ядер