М Іванов, В Глущенко - Розв'язок рівняння дифузії з урахуванням транспортування атомів крізь межу поділу фаз - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 2001. Bun. 34. С. 192-199

VISNYKLVIV UNIV. Ser.Physic. 2001. № 34. P. 192-199

УДК 669.017.162:620.186.1:539.219.3 PACS number(s): 05.70.Np, 66.30.-h

РОЗВ'ЯЗОК РІВНЯННЯ ДИФУЗІЇ З УРАХУВАННЯМ ТРАНСПОРТУВАННЯ АТОМІВ КРІЗЬ МЕЖУ ПОДІЛУ ФАЗ

 

М.Іванов, В.Глущенко

Інститут металофізики ім.Г.В.Курдюмова НАН України пр.Вернадського, 36, 03142 Київ, Україна

Розглянуті дифузійні процеси в системі, яка складається з двох бінарних розчинів, у випадку, коли концентрація атомів в одній з фаз підтримується сталою, а в іншій є малою та може змінюватися з часом. Розгляд грунтується на запропонованому раніше загальному вигляді виразів для потоків атомів різного сорту, які перетинають межу поділу фаз та вважаються пропорційними до різниці відношень (поточної та рівноважної) активності відповідної компоненти по обидва боки межі поділу. Головна увага приділена методам розв'язування рівнянь дифузії для такої системи з урахуванням нових граничних умов ( як такі використано зазначені вирази для потоків атомів).

Ключові слова: дифузійні процеси, транспортування атомів, рух міжфазної межі.

У праці [1] запропоновано новий вираз для потоків атомів різного сорту, що перетинають межу поділу фаз. Такі вирази є граничною умовою для рівнянь дифузії в об'ємі фаз і дають змогу одержати замкнуту систему рівнянь для опису залежності від часу швидкості руху межі поділу, характеру розподілу концентрації компонент на поверхні й усередині фаз.

Важливу роль у різних галузях сучасної технології відіграють процеси, за яких концентрація компонентів в одній із фаз підтримується сталою. Ми зазначені вище граничні умови використали для відшукання розв'язку рівнянь дифузії, що описують саме такого типу процеси.

Рівняння перенесення на межі поділу фаз.

Розглянемо процеси дифузії та руху межі поділу фаз у системі, яка складається з двох розчинів: один, у якому концентрація компоненти А підтримується сталою (фаза 1), інший на основі компоненти В (фаза 2) з малою концентрацією компоненти А (рисі). Межу поділу будемо вважати плоскою, так що всі величини будуть функціями тільки однієї координати (х) у фазі 2, а також часу. Дифузійні потоки у фазах розглядатимемо в системі координат, що зв'язана з межею поділу фаз.

 

 

 

© Іванов М., Глушенко В., 2001


У цьому випадку рівняння масоперенесення треба розглядати тільки у фазі 2. Будемо вважати, що в розчині є взаємна дифузія та виконується співвідношення типу Даркена (див.[2-4]). У результаті можна обмежитись одним рівнянням збереження:

dt

dcA2(x,t) _ d(IA2(x,t))

дх


О)де cA2(x,t) - відносна концентрація атомів сорту А у фазі 2, ІА2(x,t) - потік таких атомів. У фазі 2 виконується умова, що cA2(x,t) + cB2(x,t) = \. У виразі для потоку IA2(x,t) треба врахувати як дифузійну так і конвективну складову:

IA2{xJ) = -D2{dcA2(xj)ldx)+v2(i)cA2{x,t). (2)

Тут v2(/)- швидкість зміни поздовжнього розміру фази 2;£>2 - коефіцієнт

взаємної дифузії компонент у фазі 2. На межі поділу фаз повинні виконуватися умови збереження потоків компонент:

Лі (*.      =  (*.+ * 11 (0.     = А, В). (3)

Швидкість v, (t) легко зв'язати з наведеними потоками компонент на межі поділу фаз:

v2(t) = IbA+IbB . (4) У праці [1] запропоновані загальні граничні умови для рівнянь дифузії у вигляді виразів для потоків атомів на межі поділу фаз, що мають вигляд:

іЧ=Кі<Рі,    Vi^aJal-aJa'X        (І = А,В), (5)

де параметри Kt визначають швидкість транспортування відповідних компонент через межу поділу фаз; ап і   аі2 - поточне значення активності компонент і уфазах 1 та 2 на межі поділу; а° и а°- рівноважні значення активностей. У випадку регулярних розчинів вирази для величин <рі можна записати у вигляді

9i^Jc\-cJc]X (6)

який і застосуємо нижче. Тут с„, с°, с,2, с° - відповідні значення концентрації компонент на межі поділу (величини сп будемо вважати незалежними від часу). Отже, гранична умова для рівняння дифузії (1), (2) має вигляд:

-D2{dcA2{x,t)ldx)^ + v2(t)cA2(x = 0,t) = KA<pA . (?)

Скористаємось простішим розв'язком рівняння дифузії та за допомогою розв'язку інтегро-диференціального рівняння, яке походить з виразу (7), знайдемо залежність від часу концентрації комопонет на межі поділу фаз.

 

Розв'язок рівняння міжфазового та дифузійного транспорту.

Будемо шукати розв'язок одновимірного рівняння дифузії (1), припускаючи, що в початковий момент часу концентрація атомів А у фазі (2) дорівнює нулю: cA2(x,t = 0) = 0. Для спрощення вважатимемо, що коефіцієнт взаємної дифузії £>2

є сталим. Як граничні умови для рівняння дифузії при х=0 треба розглядати також поки невідому та залежну від часу концентрацію атомів А на межі поділу фаз с2 (<) s сА2 = 0, /), а на нескінченності: сА2 -> <», t) = 0 .

У праці [1] з'ясовано, що при малих значеннях концентрації однієї з компонент (cA2(x,t)«\)  Для визначення швидкості руху межі поділу фаз, а

також концентрації компонент. У самому розв'язоку дифузійного рівняння цією швидкістю можна було знехтувати. Однак такий висновок треба зробити тільки за умови, що при великих значеннях часу швидкість v2(/) прямує до нуля. В задачі,

яку розглядаємо, ця умова не виконується, оскільки концентрація компонент у фазі 1 підтримується сталою, так що швидкість виходить на деяке асимптотичне значення v0 = v2 (f   оо) .

В аналітичному вигляді розв'язок рівняння дифузії зі змінною конвективною швидкістю отримати не вдається. Водночас можливо продемонструвати, що при cA2(x,t) «1 для того щоб отримати всі остаточні результати, в розв'язку рівняння

дифузії досить врахувати тільки асимптотичну швидкість. Це можна зробити з розв'язку рівняння

v0                      • (8)

Наприклад, при зазначених вище початкових та граничних умовах, а також у разі зроблених припущень, розв'язок рівняння дифузії (1) у фазі 2 можна записати у вигляді [5]

 

CA2(x,t), C2(x,t) = Є ^Є^-*\ Д e*°^\. W

Підставимо цей розв'язок у (2) та використаємо вирази (5) і (6), а також введемо безрозмірний час 7 = tlt0, де t0 = с20£>2 ІКгл, тоді отримаємо таке рівняння, що визначає с2(7)- зведену концентрацію атомів сорту А на межі поділу фаз:

~~ ~     1 Ksi'V

?„C (t) + -pr °V

уя- о 'dc2(r) _2~ f~\ ~г-+^с2{т)


dz

-г)


=l-x-2Ct),


(10)де с, = сЛ} = const, а с10 = с°, , с20 = с°2 - рівноважні концентрації по обидва боки межі поділу фаз, тут v0 - безрозмірна асимптотична швидкість для фази 2:с2(7) = с2(7)­


(П)

Рівняння (10) є інтегро-диференціальним рівнянням, інтегруючи його частинами, можна уникнути похідної під знаком інтеграла, однак тоді отримаємо

розбіжність (t -г)~3/2. Тому розв'язок цього рівняння потребує вмілого заходу, для цього про інтегруємо рівняння (10) за змінною t й отримаємо


J-Ы7С 0 0

l^J^2(r-?f^ + v^2(r)l-4— = 7-(l + v0)b2(71}/71. (12)
on      V   ат         ){t -г) о

1 e(7'*)vl

^- + К|Ф(^о(7-?)) + і + у0 d7 = 7,

•fx >/7-r

Змінимо межі інтефування в лівій частині (12) та проінтегруємо частинами:

 

(13)

Іс2(т)де    ф(х) = -k= \ ехр(- у2 )dy - іинтеграл імовірності.

\7Г 0

Рівняння (13) є інтегральним рівнянням Вольтера першого роду, у якому ядро залежить від різниці аргументів:

ДЄ


\?2(7(7-r)dr=7, о

К(7 - т) = -L£^i + |Vo\фф2(7-т)) +1 + v02. ыл: -7


(14) (15)

Із застосуванням перетворення Лапласса до рівняння (14) розв'язок рівняння (14) згідно з методом Вінера-Хопфа [6] можна записати у вигляді зворотного перетворення Лапласса як

1     х+І°0 ~

c2(t) = \ ep'c(p)dp, 2m

де с(р) = -^4. Пр) = l7e-Tpd7=-і-,

К(р)           о р2

К(р) = \K(7)e-7pdt =


p + vl + (1 + у0)У^ + уі P^P + vo

Виконаємо заміну р -     , тоді вираз (16) набуде вигляду v0

1      1 дг+і»

с2(Г) = т-г №№,ОД = -2Я7 v0


1


1 + Vn


(17)

Аналітичне продовження підінтегральної функції G(/5) виразу (17) у ліву

напівплощину на комплексній площині є багатозначною функцією та має точку галуження при р = -1. Виберемо замкнений контур Г у вигляді, показаному на

рис. 2.


Усередині  цього контуру (ділянка Q)  підінтегральна функція G(p) є

однозначною і не має полюсів. Отже, інтеграл за контуром Г від цієї функції дорівнюватиме нулю. У цьому разі (17) можна записати так:

\v0\r


J___ \_

|v0


і=2де і - номер кривих контуру Г.

За лемою Жордана інтеграли за кривими 2 і 8 дадуть у межі нуль. Інтеграли за прямолінійними ділянками 4 і 6 зменшуються, бо в разі переходу від ділянки 4 до 6 функція є однозначною, а інтегрування ведеться в різних напрямах. У випадку, коли v0>-l, підінтегральна функція виразу (17) має один полюс у точці р = 0. У цьому випадку вираз (18) набуде вигляду

v0 5


vn


v0


(19)

На ділянці 3 контуру Г функція

1

р1


-pv\7

 

Ц-р+і+


l + vn


(20)а на ділянці 7 контуру Гр1


(21)

Тоді вираз для концентрації атомів сорту А в фазі 2 на межі поділу фаз набуде вигляду

 

 

 

де


с2(7) =


+ Zj (?) ,

1 + Vq+KI

 

 

^o^ + v'j^ + O + Vo)2]


(22) (23)

У випадку, коли v0 > -1 на проміжку від 0 до -1 в підінтегральні функції G{p) з'являється ще один полюс р = ^ + ^V° . Тому вираз для концентрації с2 (t)при довільному значенні наведеної швидкості vq можна записати у вигляді

1

(24)

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

М Іванов, В Глущенко - Розв'язок рівняння дифузії з урахуванням транспортування атомів крізь межу поділу фаз