М І Андрійчук - Розрахунок електродинамічних параметрів мікросмужкових неоднорідностей з використанням аналітико числового підходу - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 519.6:621.396 М.І. Андрійчук

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригана НАН України

РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНИХ ПАРАМЕТРІВ МІКРОСМУЖКОВИХ НЕОДНОРІДНОСТЕЙ З ВИКОРИСТАННЯМ АНАЛІТИКО-ЧИСЛОВОГО ПІДХОДУ

© Андрійчук М.І., 2008

Методом поверхневих інтегральних рівнянь виконано строгий електродина­мічний аналіз відкритих мікросмужкових неоднорідностей. Підхід передбачає застосу­вання функцій Гріна півпростору у разі діелектричної багатошарової підкладки. Для числового розв'язування відповідних інтегральних рівнянь використовується метод Гальоркіна. Елементи отриманої імпедансної матриці розраховуються аналітико-числовим інтегруванням. Характеристичні параметри структури визначаються за відомими елементами матриці.

The full-wave electrodynamical analysis of open microwave discontinuities is performed by space domain integral equation approach. This approach employs the dyadic Green's functions for grounded multi-layer dielectric configuration and can be used for single or multi­layer dielectric with or without substrate. The Galerkin's method is used for numerical solving the respective integral equations. Elements of received impedance matrix are calculated by combination of analytical and numerical integration. The characteristic network parameters of structure are determined by the matrix elements.

Вступ

Мікросмужкові елементи використовуються часто як складова частина багатьох мікро-електромеханічних систем (МЕМС) [1, 2]. Для того, щоб описати особливості і характеристики МЕМС, необхідно точно врахувати електромагнітні властивості мікросмужкового включення. Як правило, такі елементи мають форму T-неоднорідностей, кутову геометрію, стрибкоподібну зміну ширини тощо. Квазістатичні і дисперсійні моделі, які використовувались на початковому етапі дослідження цих систем, не забезпечували необхідної точності у визначенні електромагнітного поля мікросмужкової структури, що не давало можливості вивчати властивості системи загалом [3, 4]. Це пояснюється тим, що квазістатичні моделі передбачають поширення ТЕМ-хвилі, і характеристичні параметри визначаються обчисленням статичних ємності та індуктивності. Дисперсійні моделі будуються напівемпірично і на їхній основі можна отримати інформацію тільки про частотні характеристики мікросмужкового елемента. Квазістатичні і дисперсійні моделі стають непридат­ними у разі зростання частоти, їх можна використовувати тільки для низькочастотного діапазону. У зв'язку з цим застосування строгого електродинамічного аналізу, який забезпечує вичерпний опис поведінки електромагнітного поля поблизу мікросмужкової частини МЕМС [5], є надзвичайно актуальним. Незважаючи на те, що строгі моделі є доволі складними і потребують великої кількості комп' ютерних розрахунків, вони є найпридатнішими для високих частот.

 

Строга електродинамічна модель мікросмужкової неоднорідності

Мікросмужковий елемент у формі Т-неоднорідності використовується дуже часто у багатьох практичних застосуваннях та електронних пристроях. Типову геометрію такого елемента зображено на рис. 1.

Електродинамічний аналіз із застосуванням функції Гріна є першим етапом для детального опису поведінки електромагнітного поля в мікросмужковій структурі [6]. Інтегральне подання

компоненти E електромагнітного поля може бути отримане з використанням рівнянь Максвелла в стандартній формі

Vx H = J + iwerE,

VxE = -/юцоH , V В = 0.

(часова залежність передбачається у формі emt), і рівняння Гельмгольца для функції Гріна

e


r1


(V2 + k2)G = m0 Jd(r - r').


(4)

Рис. 1. Геометрія мікросмужкової T-неоднорідності з двошаровою підкладкою

Використовуючи подання для векторного потенціалу

A(r) = jV0 G JdV' (5)

і рівняння (4), отримаємо формулу для компоненти електричного поля

E(?) = j (k2 ? + V V)Gi JdV',


(6)де струм J є зосереджений на провідній смузі S'. На основі цього факту інтегральне рівняння (6) може бути переписане у формі поверхневого інтеграла

E(х, y, z) = jj [kf ? + VV]Gi (x, y, z; xyz') J(xy ')dS(i = 1,2), (7)

S'

де kj - хвильові числа, Gi (x, y, z; x \ y \ z') - функція Гріна в області i.

Струм J(x',y') в (7) є двовимірним і зосереджується в площині неоднорідності, у зв'язку з цим він може бути записаний як

?                 ~ (8)

J (x' y') = Jx (x' y') x + Jy (x' y') y

Загалом, функція Гріна, яка відповідає задачі про відкриту мікросмужкову систему з довільною кількістю шарів (стосовно геометрії на рис. 1), подається у формі інтеграла Зоммерфельда і записується так [7]

(x,y,z;x' y',0) =        j J0(1p)Z^x(z)d1, 27ik(0 0 Л(Л)

 

(x,y,z;x' y',0) = 2PkLф(ф) j ^(Ip^(z)         dl,


(9а) (9б)

е


X = x,y , p = V(x - x')2 + (y - y ')2 , Ф(ф) = jcos(P,X X,

Функції      (l), Nzx (1) залежать від 1 і геометричних параметрів мікросмужкової структури.

(10а) (10б)

Не обмежуючи загальності, розглянемо випадок одношарової підкладки. Використовуючи відоме подання функцій J0 (1p) і J1 (1p) за функціями н01) (1p) і H1(1) (1p), можна перетворити півбезмежне інтегрування у формулі (9) на інтегрування по всій осі та отримати остаточний вираз функцій Gxx, Gyy, Gxz та Gyz у вільному півпросторі (z > 0)

4pk02

sinh(iM1l)

—CO

/1(1)

GO

/1(1) /2(1)

sinh(iM1^)cos(iM1^), 2

-GO

zy 4pk2де u0


■4l2 - k02 , "1              - kf , p = V(x - x ')2 + (y - y ')2

fl(к) = Uq sinh(z'M1^) + щ cosh(z'M1^), (Ha) f2(k) = srUQ cosh(zUi^) + Ui sinh(zUi^). (ll6) Формули (7)-(lQ) дають можливість отримати розв'язок електродинамічної задачі для цієї мікросмужкової структури.

Дискретизація задачі та отримання імпедансної матриці

Рівняння (7) не може бути розв'язане аналітично для мікросмужкових систем зі складною геометрією. У зв'язку з цим використовується метод Гальоркіна, який часто застосовується для розв'язування задач електродинаміки, розсіювання, синтезу антен, аналізу електронних кіл [8-lQ].

Відповідно до методу Гальоркіна прямокутна область, яка містить мікросмужкову неоднорідність, ділиться на малі прямокутники (рис. 2). Аналогічний вигляд має сітка і в

напрямку осі y . Струм J(x \ y') подається як суперпозиція відомих базових функцій з невідомими коефіцієнтами

Jx (xУ') = II Inmfnx (x') gmx '), (12а)

nx=l mx=l

Jy (xy') =EE ^fny (y') gmy (x'),

ny=l my=l

де пари (nx,mx) і (ny,my) вказують на вузли в сітці для струмів по осях x і y відповідно.

Функції   fnx (X')   подають   поздовжню залежність кожної компоненти у формі

sin ks (XnX+l -X') sin

sinks (X'-Xnx-i)

(X, h) = (x, y),(y, x),

, XnX-l <X' <XnX,

sin

Q, X' >XnX+i,X'<XnX-i

а функції gmX (X') подають поперечну залежність у формі

^ XmX <X ' <XmX+l,

gmX (X") = iQX ' >X  X ' "\"    ,(X, h) = (x y),(y, x)'

[Q X >XmX+b X <XmX.


 

 

(13а)

 

 

 

 

 

 

(13б)

У (13) Ix = XnX+1 -XnX, ks  - нормуюче хвильове число, яке змінюється між kQ і ki. Підставляючи формули (12), (13) у рівняння (7), одержимо такі формули

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

М І Андрійчук - Розрахунок електродинамічних параметрів мікросмужкових неоднорідностей з використанням аналітико числового підходу

М І Андрійчук - Моделювання середовищ із заданим коефіцієнтом заломлення