О О Чупринін - Розрахунок статично невизначної багатопрогінної балки - страница 1

Страницы:
1  2  3 

МИНИСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Харківська національна академія міського господарства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ І ЗАВДАННЯ з опору матеріалів «РОЗРАХУНОК СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧНОЇ БАГАТОПРОГІННОЇ БАЛКИ»

(для студентів 2 курсу спец. 6.092108 „Теплогазопостачання та вентиляція", 6.092601 „Водовідведення та водопостачання")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків - ХНАМГ - 2006Методичні вказівки і завдання з опору матеріалів «Розрахунок статично невизначної багатопрогінної балки» (для студентів 2 курсу спец. 6.092108 „Теплогазопостачання та вентиляція", 6.092601 "Водовідведення та водопостачання"). Укл. Середа Н.В., Чупринін О.О. - Харків: ХНАМГ, 2006. - 19 с.

 

 

 

 

Укладачі: Н.В. Середа, О.О. Чупринін

 

 

 

 

Рецензент:

к.т.н., доц. Л.С. Андрієвська

 

 

 

 

Рекомендовано кафедрою будівельної механіки, протокол № 6 від 24.01.061. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

 

 

Ці методичні вказівки призначені для самостійної роботи студентів та підготовки до практичних занять і виконання контрольної роботи з опору матеріалів і будівельної механіки за темою "розрахунок статично невизначної багатопрогінної балки". Вони вмістять теоретичні положення та завдання до розрахунково-графічної роботи і приклад ії виконання. Призначені для студентів денної та заочної форми навчання.

Курс "Опір матеріалів і будівельна механіка" вивчається студентами після засвоєння курсів вищій математики та теоретичної механіки, в них розглядається дія сил на пружні тіла і визначаються виникаючі при цьому напруження, деформації та переміщення.

У сучасних умовах прагнення до полегшення конструкцій і споруд приводить до все більшого поширення в будівельній практиці стержневих конструкцій. При дії на ці конструкції навантажень, що прикладені в напрямі, перпендикулярному до осі стержня, в них виникає згин. Отже вивчення даної теми є важливим для інженерів технічних спеціальностей. За цією темою передбачається розв'язання розрахунково-графічної роботи. Перш ніж приступити до її виконання, необхідно ознайомитися з теоретичним матеріалом з розрахунку статично невизначних багатопрогінних балок. Цей матеріал викладено у підручниках, посібниках та методичних вказівках, які наведені в списку літератури.

 

 

 

 

2. РІВНЯННЯ ТРЬОХ МОМЕНТІВ

 

 

Нерозрізними називають балки, що лежать на декількох опорах і не мають проміжних шарнірів. Такі балки, широко застосовані в різнихконструкціях, є статично невизначними, якщо кількість опор складає більше ніж дві. На рис. 1 наведена довільно навантажена балка, що спирається на N шарнірних опор. Одна з опор робиться шарнірно-нерухомою для сприйняття осьового навантаження, інші - шарнірно-рухливими, що дає змогу балці вільно змінювати довжину, при цьому при її навантажені поперечними силами, не виникають внутрішні подовжні зусилля.
n-1 Шп 1


п+К \   N-3     N-2 N-1
При обпиранні на N шарнірних опор маємо стільки ж вертикальних реакцій. Дана система буде (N-2) рази статично невизначеною, тому що рівнянь рівноваги можна скласти тільки два.

Таким чином, число «зайвих» зв'язків, а отже, і число «зайвих» реакцій буде дорівнювати кількості проміжних опор. Якщо крайня опора виконана у вигляді жорсткого защемлення, то ступінь статичної невизначеності збільшується на одиницю в порівнянні із шарнірним обпиранням.

Найбільш зручним вибором основної системи для нерозрізної балки є введення шарнірів у перерізах над усіма проміжними опорами. «Зайвими» невідомими в цьому випадку будуть згинальні моменти в опорних перерізах балки, як показано на рис. 2.

 

 

 

Таким чином, еквівалентна система являє собою ряд простих шарнірно обпертих однопрогонних балок, навантажених заданим навантаженням і невідомими опорними згинальними моментами Мі, де i=1, 2, ... , N-2, як показано на рисунку. Тут для визначеності показані позитивні опорні моменти. При такому виборі основної системи дія заданого навантаження поширюється тільки на проліт, на якому вона прикладена, вплив її на інші прольоти виражається через опорні згинальні моменти.

Для вирішення статично невизначених задач потрібно складати додаткові рівняння - рівняння спільності деформацій. У даному разі вони будуть являти собою рівність кутів повороту опорних перерізів для суміжних балок.

Кожна двохопорна балка основної системи під дією заданого навантаження й опорних моментів деформується незалежно одна від другої. Однак у вихідній статично невизначеній системі кожна пара перерізів на опорних шарнірах являє собою один переріз, отже кут повороту в них повинен бути рівний, що можна записати в такий спосіб:Алп +Аппр = 0,


(1)де Алп, Аппр - кути повороту торцевих перерізів суміжних балок, що примикають до п-ної опорі ліворуч і праворуч від неї відповідно. При цьому позитивні напрямки цих кутів повороту перерізів збігаються з позитивним напрямком опорних згинальних моментів.

Тому що основна система складається з окремих, не зв'язаних між собою двохопорних балок, то для розкриття отриманого рівняння спільності деформацій досить розглянути тільки два сусідніх прольоти, розташованих ліворуч і праворуч від опори.

Відповідно до теореми про взаємність робіт співвідношення (1) можна подати у вигляді (див. рис. 3):

 

5 n,n-iMn + 5 n,nMn + 5 +iMn+i + А   = 0, (2)

 

 

де     5nn-1Mn-1 - кут повороту перерізу на n-ній опорі від опорного

 

моменту, що виникає на опорі n-1;

5 n nMn - кут повороту перерізу на n-ній опорі від опорного моменту,

 

що виникає на цій же опорі;

5nn+1Mn+1 - кут повороту перерізу на n-ній опорі від опорного

 

моменту, що виникає на опорі n+1;

А-  кут  повороту  перерізу  на  n-ній  опорі  від заданого

навантаження, прикладеного на двох сусідніх з розглянутою опорою прольотах.

Для визначення наведених вище кутів повороту перерізу застосуємо правило Верещагіна. На рис. 3 наведена вантажна епюра Mp - епюра згинальних моментів від заданого навантаження й одиничні епюри Mn-l, Mn, Mn+i - епюри згинальних моментів від одиничних моментів, що діють у напрямку опорних моментів Mn-1, Mn, Mn+1 відповідно.
Mn+1

 

n+1-> <^>
<       ж         > <       ж         >1


0


Mn-l0


0 Mn

 

1


Mn+iВважаючи, що жорсткість балки на згин по всієї довжині постійна, представимо доданки, що входять у рівняння (2), у наступному вигляді:5 n,n-1M


n -1


EI

2

Mn-1 (l      ^=A_ Mni.

6EI
2   1 n

n * j *      + ^ n+1 *1 * _

2      3    2 3


+1

1 n 1

3EI 3EI


М


n-1 '

5 n,n+iM


n+1


Mn+1

EI


(l


n+1 *1 * 1

2 3


n+1

6EI


Mn+1;EI


со ^ + w+1bn+1

V       1 n         1 n+1 Уде con - площа епюри згинаючого моменту, що виникає від заданого навантаження на n-ному прольоті;

c n+1 - площа епюри згинаючого моменту, що виникає від заданого навантаження на прольоті n+1;

an - відстань від опори n-1 до центру ваги епюри моменту від заданого навантаження на n-ному прольоті;

bn+1 - відстань від опори n+1 до центру ваги епюри моменту від

заданого навантаження на прольоті n+1.

Підставляючи отримані вирази в рівняння спільності деформацій (2) і скорочуючи жорсткість на згин, одержуємо такі рівняння, що зв'язують між собою опорні моменти, які виникають на трьох сусідніх опорах:Mn-11 n +     (1 n + 1 n+1 )+ Mn+1I


-6


+

c nan    c n+1bn+1

1

n   n   і       n+1   n+1

n+1 У


(3)Це рівняння називається "рівняння трьох моментів", тому що в нього входять опорні моменти на трьох сусідніх опорах. Цих рівнянь виходить стільки, скільки вводиться шарнірів для утворення основної системи. Як було показано вище, їхнє число дорівнює кількості проміжних шарнірних опор. Для того щоб одержати систему рівнянь послідовно записують рівняння (3) для кожної проміжної опори. Оскільки це рівняння отримане для n-ної опори, то для складання системи треба додати цьому індексу значення n=1, 2, ... , N-2 відповідні номерам проміжних опор. В отриманійсистемі лінійних алгебраїчних рівнянь кожне рівняння буде містити три невідомих опорних моменти, а перше й остане тільки два.

У перше й останні рівняння системи будуть входити моменти на крайніх опорах. Якщо на крайній шарнірній опорі не прикладений зосереджений момент, то в рівнянні (3) його слід дорівняти нулю. Якщо на цій опорі прикладений зосереджений момент, то в рівняння підставляється його значення. Аналогічно треба діяти, коли балка має консоль. У цьому випадку момент на крайній опорі буде дорівнювати моменту від навантаження, прикладеного до консолі.

Якщо який-небудь край балки жорстко затиснутий, то закладення слід замінити додатковим прольотом нескінченно великої твердості чи нескінченно малої довжини. У розрахунках ця заміна полягає в тому, що замість жорсткого затиснення на краю вводять два шарніри на нульовій відстані між собою.

Епюру згинальних моментів будують після знаходження невідомих опорних моментів з рівнянь (3). Остаточно ця епюра згинальних моментів буде дорівнювати сумі епюр від заданого навантаження і від опорних моментів, що має вигляд ламаної лінії, якао з'єднує відрізки, відкладені над опорами і рівні знайденим опорним моментам.

Епюру поперечної сили одержують з побудованої раніше епюри згинальних моментів. Для цього використовують диференціальні залежності при згині, що отримані для того випадку, якщо вісь абсцис спрямована в праву сторону:

 

dQ               dM ^

= q; = Q.

dx dx

 

З наведених залежностей випливає, що поперечну силу на будь-якій ділянці, знаючи величину згинальних моментів на його границях, можна знайти в таким чином:мпр - мл

qпч = п; пч + Qo, (4)

 

 

де     Q пч - поперечна сила на розглянптій ділянці;

М^р - значення згинаючого моментп на правій границі розглянутої ділянки;

- значення моментп на лівій границі ділянці; 1 пч - довжина ділянцки;

Q0 - доданок, присптній п томп випадкп, якщо на ділянці прикладене

розподілене навантаження інтенсивністю q, п цьомп виразі даний доданок змінюється за довжиною ділянки, і на його границях (правій і лівій відповідно) буде дорівнювати:

 

= ^; Q: =-^. (5)

 

 

 

 

 

3. ЗАВДАННЯ І ВИХІДНІ ДАНІ ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ

 

 

Вихідні дані обирають відповідно до завдання за рис. 4 і таблицею, наведеними нижче. Дані з таблиці вибирають залежно від номера варіанта завдання, що складається з трьох цифр і визначається викладачем.

Для заданої статично невизначної багатопрогінної балки потрібно:

1)    одержати основнп системп, навантаженп заданим навантаженням і невідомими опорними моментами;

2)    побпдпвати для основної системи епюрп згинальних моментів від заданого навантаження;скласти рівняння трьох моментів для всіх проміжних опор і визначити з отриманої системи рівнянь невідомі опорні реакції;

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

О О Чупринін - Розрахунок статично невизначної багатопрогінної балки