Е Г Евсеева - Семантический конспект по линейной алгебре - страница 1

Страницы:
1  2 

Розглянуто загальні питання моделювання студента. Наведено предметну семантичну модель з лінійної алгебри.

 

СЕМАНТИЧЕСКИЙ КОНСПЕКТ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Е.Г. Евсеева, кандидат физ.-мат. наук Донецкий национальный технический университет

1.    Одним из центральных понятий современной дидактики является моде­лирование обучаемого. В самом широком смысле под моделью обучаемого по­нимают знания об обучаемом, используемые для организации процесса обуче­ния. Это множество точно представленных фактов об обучаемом, которые опи­сывают различные стороны его состояния: знания, личностные характеристики, профессиональные качества и др.

Существуют три точки зрения, с которых можно рассматривать моделиро­вание обучаемого, или наши знания об обучаемом [1, 2]. Во-первых, это знания о том, каков обучаемый есть; во-вторых, знания о том, каким мы хотим его ви­деть; и, наконец, знания о том, каким мы его можем увидеть. Первые устанавли­ваются путем анализа поведения обучаемого в процессе обучения, и их называ­ют поведенческой моделью обучаемого. Она изменяется вместе с изменением обучаемого, поэтому ее называют динамической, или текущей, моделью обу­чаемого.

Знания о том, каким мы хотим видеть обучаемого, т.е. требования к его конечному состоянию (как к специалисту) называют нормативной моделью обучаемого. По сути дела, эти знания определяют цель обучения. Они, как пра­вило, многогранны. Сюда относятся, например, требования к личностным каче­ствам будущих специалистов, их профессиональным качествам и умениям, зна­ниям и умениям по различным учебным предметам, характеристикам физиче­ского и психического состояния и т.п. И конечной целью обучения является дос­тижение такого положения, когда поведенческая модель обучаемого при выпус­ке совпадает с его нормативной моделью.

Третья точка зрения основывается на том, что, в общем случае, сущест­вуют различные пути, или траектории, по которым могут продвигаться обучае­мые в процессе обучения. С одной стороны, это могут быть корректные траек­тории, обусловленные правильными действиями обучаемых и предусмотренные нормативной моделью обучаемого, например, использование различных прие­мов и методов решения одних и тех же задач. С другой стороны, различные тра­ектории могут быть обусловлены ошибочными действиями обучаемых, и мно­гие их ошибки могут быть заранее предугаданы преподавателем. Работа препо­давателя по определению возможных ошибок обучаемых чрезвычайно полезна с дидактической точки зрения (на ошибках учатся!); совокупность же этих оши­бок составляет специфическую модель обучаемого, которую называют моделью ошибок.

Часть нормативной модели обучаемого, определяющую предметные знания, то есть знания по учебным предметам, называют предметной модельюобучаемого [1, 2]. Предметная модель обучаемого, таким образом, определяет смысловую сторону обучения предмету.

Можно выделить пять компонент предметных знаний и, соответственно им, пять компонент предметной модели обучаемого: тематическую, функцио­нальную, процедурную, операционную, семантическую. Тематическая модель показывает, о чем знания; функциональная модель определяет, какие функции они выполняют; процедурная модель описывают порядок и характер преобра­зования объектов предметной области; операционная модель задает умения, ко­торые должны быть сформированы в процессе обучения; семантическая модель определяют смысловую, или семантическую, часть предметных знаний.

3.    В настоящее время предметное моделирование обучаемого приобрело законченный вид, оно вписано в парадигмы как инженерии знаний, так и совре­менной дидактики. Созданы модели по отдельным предметам и показана их эф­фективность в учебном процессе. Дальнейшая работа должна быть направлена на внедрение моделирования обучаемого в различные учебные предметы. В на стоящей работе подробно описывается существо и построение семантической предметной модели обучаемого по линейной алгебре для студентов экономиче­ских специальностей.

4.    Семантические знания по учебным предметам содержатся в учебниках, учебных пособиях, другой учебной литературе. И каждый вид учебной литера­туры в определенном смысле является моделью этого предмета. Учебники представляют собой наиболее расширенную модель.

С точки зрения дидактики, в содержании любого учебника принято выде­лять две части [8]. К первой части относится информация, непосредственно со­ставляющая содержание предмета, или предметные знания. Другая часть - это информация, обслуживающая предметные знания. Это могут быть, например, сведения из других предметов, выкладки, толкования, объяснения, информация о применении и использовании предметных знаний в других дисциплинах, а также в технике, в жизни и т.п.

По сути дела, именно первая часть и составляет семантическую модель предметной области, или семантическую модель обучаемого. Однако эти знания в учебнике не выделены специально, они распределены по всему учебнику, пе­реплетаются с другими знаниями, не формализованы. Семантические знания представляют собой декларативную компоненту предметных знаний, то есть фактические знания, так как процедурные знания реализуются в умениях (опе­рационных знаниях). Таким образом, для того чтобы на основе учебника по­строить некоторую формализованную семантическую (содержательную) пред­метную модель, необходимо из него выделить факты и определенным образом их сгруппировать.

По структуре факты могут быть самыми разнообразными, в той или иной мере сложными, или составными. Однако основу составляют элементарные факты, которые, выступая в различных отношениях, и образуют факты слож­ные. Например, факт из матричной алгебры «Наибольший порядок ненулевого минора матрицы называется рангом», который, по сути дела, является опреде­лением ранга матрицы, может быть разбит на три более простых факта: 1) у матрицы есть миноры,

2)  миноры имеют различный порядок,

3)       порядок некоторого минора называется рангом матрицы.
Приведенные факты уже не разлагаются на более простые и поэтому явля-
ются
элементарными фактами. Хотя они и содержат предметные термины, но
предметного смысла, или семантики, не имеют. Предметный смысл возникает
только тогда, когда эти элементарные факты объединяются вместе. Простейший
по составу факт, имеющий предметный смысл, получил название
семантиче-
ский
факт. Семантический факт - это всегда законченная и единственная мысль,
которая передается одним предложением, или высказыванием. По сути дела,
семантические факты играют роль
единиц знаний предметной области.

Семантическим фактом является приведенное выше определение ранга матрицы. Больше того, любое определение понятия есть семантический факт. Однако семантические факты - это не только определения, они могут переда­вать различное содержание. Предметом семантических фактов являются поня­тия, явления, процессы, законы, теоремы, выводы, причины, следствия, свойст­ва, признаки, модели и др. Например, утверждение: «Ранг матрицы равен нулю только в том случае, если все элементы матрицы равны нулю», представляет собой теорему.

Специфическим семантическим фактом, присущим математическим дис­циплинам, является символический вид различного рода утверждений. Именно такими фактами являются формулы и обозначения, которые составляют боль­шую часть предметных знаний по математике. Например, факт: «Ранг матрицы А обозначается rang A, или r (A)», вводит обозначение ранга матрицы, а факт « rangAmnn = 0 <=> Amxn = Omxn» является символическим видом теоремы о равенстве

ранга матрицы нулю.

5. Полный набор семантических фактов, или высказываний и есть семан­тическая предметная модель обучаемого. Он получил название семантического конспекта. Таким образом, семантический конспект - это полный набор лако­нично представленных мыслей предметной области. Изданный отдельно, он представляет собой очень тонкую брошюру, потому что в ней нет выкладок, до­казательств и объяснений. Тем не менее, она содержит все положения изучае­мого курса.

Все высказывания семантического конспекта пронумерованы. Каждое вы­сказывание имеет номер, состоящий из двух частей, разделенных точкой. Пер­вая часть - это номер раздела, к которому принадлежит данное высказывание, вторая часть - его номер в данном разделе. Кроме того, некоторые номера стоят также после высказываний. Это номера других высказываний, от которых дан­ное зависит, которыми оно определяется, из которых следует. Связи между вы­сказываниями могут быть очень простыми, например, ссылки на термины, ко­торые употребляются в данном высказывании, и более сложными, глубокими, например, связь причины и следствия. Эти связи, по существу, задают структу­ру предметных знаний, определяют развитие учебного предмета, формальную логическую схему рассуждений, и студенты должны самостоятельно наполнить ее конкретным содержанием. Это обстоятельство способствует повышению эф­фективности обучения с использованием семантического конспекта.

В качестве примера приведем фрагмент семантического конспекта [4]:

4. Ранг матрицы.

4.1.    Определитель квадратной матрицы, которая получена из исходной матрицы вычеркиванием рядов, называется минором исходной матрицы. (1.9,.1.29,.3.1)

4.2.    Порядок минора равен количеству строк или столбцов в матрице, оп­ределителем которой он является. (3.3, 4.1)

4.3.    Порядок минора не превышает наименьшего из размеров матрицы, определителем которой он является. (1.4, 4.1)

4.4.    Прямоугольная матрица размера m х n имеет миноры, порядок кото­рых может быть равен любому числу от единицы до наименьшего из чисел m и n. (1.4, 1.27, 4.1, 4.2)

4.5.    Минор k -го порядка матрицы размера m х n обозначается Mk, где 1 £ k £ min( m, n). (4.4)

4.6.    Рангом матрицы называется наибольший порядок её ненулевого ми­нора. (1.28, 3.1, 4.1, 4.2)

4.7.    Ранг матрицы А обозначается rang A или r (A). (4.5)

4.8.    Ранг матрицы не превосходит наименьшего из ее размеров. (1.4, 4.5)

4.9.    AmXn: r(A) £min(m,n). (4.8)

Как видно, высказывания этого раздела имеют не только свое внутреннее обоснование (ссылки на высказывания этого раздела), но и опираются на разде­лы 1 (Виды матриц), 3 (Определители).

5. Написание семантического конспекта - дело очень непростое, хотя и благодарное. Это очень трудоемкая и кропотливая работа. Она требует от пре­подавателя глубокого знания учебной дисциплины, умения анализировать, син­тезировать и обобщать учебный материал. Такая работа заставляет преподавате­ля вдумываться в каждое предложение, в каждую мысль, изложенную в учебни­ке. И в начале этой работы с большим удивлением открываешь, как неточно и некорректно сформулированы многие понятия в учебниках и как эти неточности переходят из одного учебника в другой без изменения. В общем контексте это не бросается в глаза, но часто становится очевидным, если сфокусировать внима­ние на конкретной мысли. Особую сложность представляет составление семан­тического конспекта по гуманитарным предметам, где очень сложно вылавли­вать семантические факты в потоке общих слов.

При составлении семантических конспектов необходимо руководствовать­ся следующими принципами [1, 2, 9]:

1.      Принцип дискретности. Фактические знания по предмету должны быть представлены в виде отдельных высказываний;

2.      Принцип завершенности. Общая совокупность высказываний должна отра­жать все фактические знания по предмету в полном объеме;

3.      Принцип лаконичности. Высказывания должны содержать минимальное ко­личество слов, выражая при этом законченную мысль;

4.      Принцип первичности определений. Понятия впервые вводятся через опреде­ления. Никакое новое понятие не может появиться в высказывании, которое не является определением;

5.      Принцип единственности. Любое высказывание не должно содержать более чем одно новое понятие;

6.      Принцип недвусмысленности. Каждое высказывание должно являться семан­тическим фактом и выражать одну единственную мысль;

7.      Принцип последовательности. Высказывания должны быть расположены в порядке, соответствующем логике изложения изучаемого курса;

8.      Принцип самодостаточности. Любое высказывание должно даваться в пол­ной формулировке, и его смысл не должен зависеть от других высказываний;

9.      Грамматический принцип. Структура высказываний должна подчиняться ло­гике построения литературно правильной речи.

Перед тем как приступить к составлению семантического конспекта, необ­ходимо уточнить учебную программу по дисциплине, восстановить в памяти все понятия и основные положения курса. Дальнейшая работа должна быть на­правлена на вычленение семантических фактов. Для этого оказывается необхо­димым проработать большое количество учебников и другой специальной лите­ратуры. При составлении конспекта по линейной алгебре были использованы учебники и учебные пособия [3, 5, 7].

Удобно иметь однородную структуру конспекта. Главным вопросом здесь является выделение разделов, или рубрик, из которых будет состоять конспект. Делается это по содержанию, тематически, при этом рекомендуется следить, чтобы разделы были самостоятельны, однако не слишком большими. Подразде­лы или, наоборот, части, объединяющие разделы, допустимы, но их нумерация не желательна. В этом случае можно ограничиться, как было указано, двузнач­ной нумерацией - номер раздела, точка, номер семантического факта в разделе. Например, курс линейной алгебры для составления семантического конспекта может быть разбит на четыре тематические рубрики, которые не нумеруются:

         алгебра матриц;

         системы линейных алгебраических уравнений;

         векторная алгебра и аналитическая геометрия;

         алгебра линейных операторов и квадратичных форм;

Каждая тематическая рубрика, в свою очередь, разбивается на несколько разде­лов, имеющих сквозную нумерацию по всему конспекту. Например:

Алгебра матриц:

1.   Основные определения, виды матриц;

2.   Операции с матрицами;

3.   Определители квадратных матриц;

4.   Ранг матрицы;

5.   Обратная матрица;

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) :

6.   СЛАУ m хn, основные определения;

7.   СЛАУ n х n, матричный метод решения;

8.   СЛА У n х n, решением методом Крамера;

9.   Метод Гаусса решения СЛАУ ;

 

10.   МетодЖордана-Гауссарешения СЛАУ;

11.   Теорема Кронекера Капели;

12.    Однородные СЛАУ;

Векторная алгебра с элементами аналитической геометрии:

13.    Геометрические векторы и прямая на плоскости;

14.    Операции с векторами в пространстве;

15.    Плоскость и прямая в пространстве;

16.    Векторное и евклидово пространства;

17.    Базис векторного пространства;

18.    Линейные формы и выпуклые множества;

Алгебра линейных операторов (ЛО) и квадратичных форм (КФ):

19.    Матрица ЛО в эвклидовом пространстве;

20.    Собственные векторы и собственные значения ЛО;

21.    Канонический вид КФ;

22.    Критерий Сильвестра;

23.    Кривые второго порядка на плоскости;

24.    КФ и кривые второго порядка.

После того как выделена структура конспекта, можно приступать к фор­мулировке высказываний, руководствуясь приведенными выше принципами. При этом очень важно следовать грамматическому принципу. Существуют оп­ределенные закономерности построения высказываний, которые обусловлены особенностями логико-грамматического метода [6]. Этот метод основывается на том, что большинство высказываний отчетливо делится на две части. Первая часть, которая представляет собой исходный пункт высказывания, называется темой. Тема высказывания либо уже известна, либо предопределяется контек­стом. Вторая часть называется ремой. Она сообщает нечто новое о теме и пред­ставляет собой главную цель высказывания. Рема заключает в себе содержание сообщения и является семантическим центром высказывания. Рассмотрим сле­дующий пример:

4.2. Порядок минора равен количеству строк или столбцов в матрице, оп­ределителем которой он является.

Здесь темой является «порядок минора», а ремой -«равен количеству строк или столбцов в матрице, определителем которой он является». Это вы­сказывание служит для того, чтобы показать, чему равен порядок минора мат­рицы. Его раскрывает рема - «количеству строк или столбцов в матрице, опре­делителем которой он является». Это и есть главная цель и мысль высказыва­ния.

Таким образом, порядок слов в предложении играет определенную роль и не может быть свободным. Если порядок слов изменить, то это может привести к изменению темы и ремы, они взаимно перевоплотятся друг в друга, и комму­никативная цель высказывания также изменится. Особенно важно соблюдать необходимый порядок слов в теоремах, которые задают необходимое или доста­точное условие. Например, высказывание

3.29. Если все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю, то и определитель этой матрицы равен нулю

представляет собой достаточное условие равенства нулю определителя матри­цы. Первая часть высказывания « все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю» здесь является темой, а вторая - «определитель этой матрицы ра­вен нулю» - ремой. Между ними существует четкая причинно-следственная связь: из темы следует рема. Если это высказывание переформулировать сле­дующим образом:

3.29. Если определитель этой матрицы равен нулю, то и все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю,

то в этом случае «равенство нулю определителя матрицы» превратится в те­му, из которой следует новая рема «все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю». При этом не просто изменится смысл высказывания: утверждение теоремы станет неверным, так как не в каждой матрице с нулевым определите­лем содержится нулевой ряд. Таким образом, необходимо внимательно следить за порядком слов в высказывании, чтобы правильно передавать смысл.

Принцип недвусмысленности требует, чтобы любое высказывание имело только одну рему, одну мысль. Следующее высказывание является примером, в котором этот принцип нарушается: «Свойства определителей могут быть сформулированы для общего понятия -ряда матрицы, так как они одинаковы для строк и столбцов». Фактически данное высказывание содержит две ремы, которые должны быть представлены двумя отдельными высказываниями:

3.27.       Свойства определителей одинаковы для строк и столбцов матрицы.

3.28.       Свойства определителей могут быть сформулированы для общего понятия - ряда матрицы.

Как правило, сложносочиненные и сложноподчиненные предложения имеют более, чем одну рему, и использовать их нужно очень осторожно. Су­ществует особый тип высказываний, у которых отсутствует тема. Такие выска­зывания содержат комплексную рему и определяются как высказывания с нуле­вой темой. Высказывания с нулевой темой содержат сообщения о существова­нии или возникновении явлений и фактов, рассматриваемых как единое целое. Сущность таких высказываний не зависит от порядка слов в нем. Высказывания с «нулевой» темой служат для введения определений понятий или обозначений. Примером могут служить высказывания, определяющее понятие определителя:

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Е Г Евсеева - Деятельностное обучение математике в высшей школе

Е Г Евсеева - Кредитно-модульная организация учебного процесса

Е Г Евсеева - Семантический конспект по линейной алгебре