Н Б Репнікова - Синтез багатовимірної багатозв'язної системи управління з невідомим вектором станів - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 681.5

 

Н.Б. Репнікова, А.В. Писаренко, Ю.О. Фершал

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут"

 

СИНТЕЗ БАГАТОВИМІРНОЇ БАГАТОЗВ'ЯЗНОЇ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ З НЕВІДОМИМ ВЕКТОРОМ СТАНІВ

 

© Репнікова Н.Б., Писаренко А.В., Фершал Ю.О., 2010

 

Розроблено алгоритм синтезу багатовимірної багатозв'язної системи на базі рівняння Сильвестра, що дає змогу в аналітичному вигляді отримати вирази для векторно-матричної моделі регулятора з невідомим вектором станів об'єкта управління.

There is developed an algorithm for synthesis of multi-dimensional multiply systems based on the Sylvester equation, which allows getting an analytical expression for the vector-matrix model of the controller with an unknown vector of the object.

Постановка задачі. Нехай задано лінійний «-вимірний стаціонарний об'єкт управління з невідомим вектором станів, який описується рівняннями у просторі станів:

(1)

J x = A * X + B * U ]y = C * X '

де X

«-вимірний вектор станів об'єкта управління; Y

 

виходу; U = 1   1 І - m-вимірний вектор керуючих впливів; A -


і-вимірний вектор змінних постійна матриця, що


задає властивості об'єкта розмірністю n х n ; B


постійна матриця виходу розмірністю l х n

Об'єкт управління задовольняє умову повної керованості, тобто існує невироджена матрицякерованості P


B


A(n-1) B


така, що rank(P) = n

Задача синтезу полягає в тому, щоб для заданого лінійного стаціонарного багатовимірного об'єкта управління побудувати регулятор, що забезпечує замкнутій системі задані статичні та динамічні характеристики.

Аналітичне вирішення. Більшість реальних об'єктів управління є складними й багатовимір­ними, тому останнім часом все більшої актуальності набуває теорія управління багатовимірними багатозв'язними системами. Під час синтезування таких систем завжди виникає складна задача розв' язування каналів й виключення впливів перехресних зв' язків.

Існує метод модального управління, поширений на багатовимірні системи, який ґрунтується на рівнянні Сильвестра. Цей метод дає змогу визначити вигляд керуючих впливів, який забезпечує системі бажаний вигляд перехідних процесів. Однак в результаті синтезу виникає статична помилка і цей метод не забезпечує остаточної компенсації впливу перехресних зв' язків у перехіднихпроцесах. Тому в цій статті розглянуто алгоритм синтезу багатовимірної багатозв'язної системи управління на базі методу Сильвестра, доповнений розрахунком матриці поправкових коефіцієнтів, яка забезпечує необхідну точність.

Як відомо, розв'язання задачі модального управління лінійним стаціонарним об'єктом полягає у розв'язанні алгебраїчного матричного рівняння типу Сильвестра з подальшим обчисленням матриці лінійних стаціонарних зворотних зв'язків К:

ЇВ * H = M * Г - A * M

r-1

(2>

[K = -H *M~

A, В - матриці, що описують досліджуваний об'єкт управління (1). Матриці Г, Н описують модель бажаної системи в просторі станів.

Матрицю Г вибирають так, щоб забезпечити необхідні показники якості бажаної САУ, отримуючи в моделі стандартні характеристичні поліноми і, відповідно, розподілення коренів на

комплексній площині коренів. У цій статті використовується біноміальне розподілення (s + C0q) n, де COq - кратний корінь. Матриця Н вибирається з умови повної спостережуваності бажаної моделі. Для багатовимірної системи рекомендуємо так вибирати матриці Г і Н:


o 1


.11

0

0

Матричне рівняння Сильвестра В * H = M * Г - A * M розв'язується відносно матриці М. При використанні спеціалізованого пакета Matlab можна використовувати функцію X = lyap(A,в',C'), яка дає змогу розв' язати рівняння Сильвестра виду:

A В + XB'+C' = 0 (3)

де A = A, В' =-Г, C' = В * H .

Оскільки вектор станів досліджуваного об'єкта невідомий, то для його відновлення викорис­товуємо спостерігаючий пристрій (індекс "n" у формулах), який описується такими формулами:

= Ц і w? ]

Kn = place(AT, CT,P) An=A-Kn*C Вп = \В   Kn] Cn=K Dn =[?]

Регулятор, що забезпечує синтез системи, описується системою (5), де E розмірністю n х n .


 

(4)

 

 

 

одинична матриця

Ap = A - Kn * C-[B   Kn ]*


K

[0

В

(5)

[В Kn]

Dn

-K

[E [0]

Для забезпечення необхідної точності системи виведемо аналітичну залежність для матриці поправкових коефіцієнтів розмірністю l х l виду:

k *ll k *ll

Оскільки в скорегованій системі за допомогою матриці К коефіцієнтів зворотного зв'язку виконується рівність det(s * I - A + В * K) = det(s * I - Г), то вираз для передатної матриці можна подати у вигляді (6):


1

(s + wo)


Kp


(6)

Kp - матриця коефіцієнтів підсилення розімкнутої системи, яка визначається виразом (7).

Kp


l1

[kp11

kp


(7)

kpij = b1 jci1 + ... + b(n-1)jci(n-1) + bnjcin , i = lК j = I m Для визначення матриці К* використовуватимемо формулу про кінцеве значення функції. Тоді можна записати таке:

lim Y(t) = lims * k* * h(s) * и(s) = nms * k* * ­


і----- * Kp * - * U = K * * * Kp * и

s

Враховуючи, що в результаті виконується синтез слідкуючої системи, то можна записати рівність:

K * * Kp * U * — = U w0


(8)

Нехай E - одинична матриця, тоді формула для матриці поправкових коефіцієнтів:

K * = Kp_1 * w0 * U_1 * U = Kp_1 * w0 * E


(9)звідки    виражаємо значення

Приклад. Для перевірки отриманих аналітичних виразів виконаємо синтез багатовимірної системи третього порядку, описаної такими матрицями: ~-1 A = 0.5 1.5

Задамося    параметрами    якості *„„,=0,5с,

w0


*пп 0.5


=12.54 . Відповідно, матриці бажаної моделі набудуть вигляду:

 

 

"-12.54

0

01

 

"0

0

11

Г=

0

-12.54

0

,H=

0

1

0

 

0

0

-12.54

 

1

0

0

Визначимо матрицю зворотних зв'язків К на підставі розв'язку рівняння Сильвестра за допомогою відповідної функції MatLab:

M = lyap(A,-Г, В * H)

" 0.647 - 4.0857 0

K = 4.8743   -1.4343 0 0.3417    2.4343 4.016

= -H * M _1

0    - 0.2152  0.0755 1

M

0       - 0.0340 0.2567 0.249    0.0389    - 0.1620

За наведеними формулами обчислимо матриці регулятора за допомогою MatLab:


 

"- 24.08

- 0.5

-1.5 1

 

 

Ap =

- 0.5

- 24.08

- 2

 

 

 

0

0-

-22.58

 

 

 

" -1 2.5

0  11.54 0.5

 

1.5

Bp =

- 3 0.5

0 0.5

11.54

2

 

1 0

2.5 0

0

 

10.04

[

"- 0.6457

4.0857

0

1

 

Cp=

- 4.8743

1.4343

0

 

 

 

- 0.3417

- 2.4343

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Н Б Репнікова - Синтез багатовимірної багатозв'язної системи управління з невідомим вектором станів