А Я Белецкий, Е А Белецкий - Синтез двоичных счетчиков грея - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ЕЛЕКТРОНІКА

 

 

 

 

УДК 519.711/.854

СИНТЕЗ ДВОИЧНЫХ СЧЕТЧИКОВ ГРЕЯ

А.Я. Белецкий, Е.А. Белецкий

Национальный авиационный университет, г. Киев

 

Приведена методика аналитического вычисления функций возбуждения JK -триггеров n - разрядных двоичных счетчиков Грея.

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Коды Грея, предложенные в 1953 году в ответ на запросы инженерной практики относительно построения оптимальных по критерию минимума ошибки неоднозначности преобразователей типа "угол-код" [1], на заре своего появления привлекли к себе внимание не только исследователей-математиков, но и широкого круга разработчиков разнообразной электронной аппаратуры. Отличительная особенность кодов Грея состоит в том, что в двоичном пространстве (или в двоичной системе счисления) при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего старшего или соседнего младшего числа происходит изменение цифр (1 на 0 или наоборот) только в одном разряде числа. Такие коды относят к группе двоичных кодов с единичным расстоянием по Хэммингу [2]. Код Грея не единственный в этой группе, но его применение в технике связи [3], вычислительной технике и цифровых динамических системах [4], цифровой обработки сигналов [5], теории помехоустойчивого кодирования [6] и в других областях становилось предпочтительным в силу ряда причин, среди которых отметим следующие. Во-первых, смена значений в каждом разряде при переходе от одной кодовой комбинации к другой происходит вдвое реже, чем в простом коде. Это свойство позволяет повысить быстродействие счетчиков, основанных на преобразованиях Грея, или при том же быстродействии достигать более высокой точности кодирования, чем с использованием простого кода. Во-вторых, при сложении двух соседних кодовых комбинаций по модулю два образуется число, содержащее всего лишь одну единицу, вне зависимости от числа разрядов исходной кодовой последовательности, что может быть использовано, в частности, для контроля работы счетчиков Грея.

Основная задача, достижение которой ставится в данной работе, состоит в разработке простых аналитических соотношений, необходимых для синтеза функций возбуждения JK -триггеров, выбранных в качестве элементов построения многоразрядных двоичных счетчиков Грея.

 

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

К алгоритмам функционирования двоичных счетчиков Грея приходим на основании достаточно простых логических рассуждений. Составим таблицу четырехразрядных кодов Грея (табл. 1), в которой приняты обозначения: Дсч - десятичные числа; Двч - двоичные числа; КГ - прямой код Грея, отвечающий выбранному Двч.
Введем ряд обозначений. Пусть G(i) - двоичный n -разрядный код Грея некоторого десятичного числа, который образован в счетчике Грея на i -м шаге, причем

G(i) = gn-1 gn-2 ... £Л-А-2 -V (1)

где g - бинарная величина, т. е. g є [0, 1]. Соотношением (1) задано, что первая единица находится в (k -1) -м разряде счетчика. Обозначим дополнительно   через   Di   число   единиц,   содержащихся   в двоичной

кодовой комбинации G(i).

Из анализа данных табл. 1 легко приходим к таким выводам относительно суммирующих счетчиков (к вычитающим счетчикам Грея обратимся несколько позже). Во-первых, если на некотором i -м шаге все разряды  счетчика  содержат  нечетное  число  единиц,   причем первая

единица кодовой комбинации G(i) находится в (k -1) -м разряде, то на

(i + 1) -м шаге состояние k -го разряда счетчика обновляется по правилу

gk+1) = gki) © 1, (2)

где © есть оператор сложения по mod2, а состояния остальных разрядов сохраняются неизменными. Верхние индексы в преобразовании (2) означают номер шага счета. И, во-вторых, если на i -м шаге параметр Di является нечетным числом, то в кодовой комбинации G(i+1)

происходит изменение только в нулевом разряде кода G(i), т.е.

преобразования в

(4)

 

g0i+1) = g0i) © 1. (3)

Выражения    (2)    и    (3)    позволяют записать суммирующем счетчике в виде системы равенств

G(i+1) =       © 10, если Di- четно ; s        [G^ © 1k, если Dt - нечетно ,

в которых нижний индекс s означает, что данный алгоритм относится к суммирующему счетчику Грея, а индексы 0 и  k  определяют номера

разрядов кода G(i), в которые на (i + 1) -м шаге добавляется (по схеме XOR) единица.

Легко убедиться в том (обратившись, например, к табл. 1), что для вычитающего счетчика Грея (здесь мы используем нижний индекс r )r<(i+i) -       © І0' если D- нечетно ; r    -|G() © 1k, если D- четно .

Соотношениями (2) - (5) мы оттенили важнейшую особенность счетчиков Грея, которая состоит в том, что вне зависимости от порядка разрядности n на каждом шаге счета происходит изменение состояния только в одном разряде счетчика, что обеспечивает возможность достичь существенно большее быстродействие, чем в счетчиках, основанных на простой двоичной системе счисления.


СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ СЧЕТЧИКОВ ГРЕЯ В  качестве элементов  памяти счетчиков  Грея  выберем широко используемые для этих целей JK -триггеры, матрица переходов которых отображена в табл. 2.


Воспользовавшись табл. 2, составим кодированную таблицу переходов (табл. 3) суммирующего двухразрядного счетчика Грея.

Карты Карно для функций возбуждения первого триггера показаны на рис. 1 и 2 .
О 1

 

ҐЇ1

0

 

-

2 2

 

ҐЇ1

0

 

-


■aSiРисунок 1


Рисунок 2В дальнейшем будем пользоваться правыми формами карт Карно без указания их осей координат. Минимальные дизъюнктивные нормальные формы (МДНФ) функций, отвечающие диаграммам, представленным на рис. 1 и 2, имеют видJ1 ­


2 ;


K1Аналогичным образом для второго триггера получимJ2 - 1 ;


K2 ­


1
Обратимся к функциям возбуждения JK -триггеров трехразрядных счетчиков Грея. Кодированная таблица переходов такого счетчика приведена в табл. 4.

2 2 2 Рисунок 3

Опираясь на данные табл. 4, составим карты Карно для функций возбуждения первого триггера трехразрядного суммирующего счетчика Грея.

 

 

 

2      2 2 Рисунок 4

Склеивая булевские переменные карт Карно, представленных на рис. 3 и 4, получимJ1 = 32 v 3 2 ;


К1 = 32 v 32


(6)(7)

Соотношения (6) легко могут быть свернуты, если воспользоваться известными в булевой алгебре эквивалентными преобразованиями

xy v xy = x © y ; xy v x y = x © y ,

первое из которых носит название операции неравнозначности, а второе - равнозначности.

На основании соотношений (6) и (7) получимJ1 = 3 © 2 ;


К1=3©2 .Для функций возбуждения второго триггера карты Карно выглядят следующим образом:

 

 

2      2 2 Рисунок 5

 

 

 

2 2 2 Рисунок 6Согласно рис. 5 и 6 имеемK =


31Для третьего тригер
Следовательно,J3 =


21 ;


K3 =


21 .Для установления закономерности формирования функций возбуждения JK -триггеров n -разрядных счетчиков вычислим эти функции для четырехразрядного двоичного суммирующего счетчика Грея классическим способом. Граф перехода состояний счетчика показан на рис. 9.0000


0001


ООН


0010


оно


0111


0101

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А Я Белецкий, Е А Белецкий - Перестановочные коды грея

А Я Белецкий, Е А Белецкий - Синтез двоичных счетчиков грея