С И Маевская, В В Журба, Р Н Абдулин - Сопровождающий трехгранник локсодромы кругового цилиндра винтовой линии - страница 1

Страницы:
1 

УДК 372.8.004.94

СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ЛОКСОДРОМЫ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА (ВИНТОВОЙ ЛИНИИ)

 

Маевская С.И., Журба В.В., Абдулин Р.Н.

Донецкий национальный технический университет

 

Сделан краткий обзор общих подходов к формулировке некоторых геометрических образов (моделей) в математике и механике. Построен алгоритм определения параметров ориентации естественного трехгранника для пространственных кривых типа «локсодрома» Работа выполнена путем компиляции известных знаний из аналитической и дифференциальной геометрий, со строгими ссылками на первоисточники. Добавлены иллюстрации, созданные авторами методами компьютерной графики с элементами анимации. Вступление.

В истории точных наук очень полезным оказался обмен между ними идеями, понятиями и методами. Математические методы «... совершенствуются и пополняются как в результате потребностей естественных наук, так и в силу внутренних законов самой математики [1, с.216]». В частности, математическое понятие движение «... сформировалось путем абстракции реальных (то есть механических - авт.) перемещений твердых тел в евклидовом пространстве. Движение принимается иногда в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии [2, т.2, с.20]». Примером может служить конгруэнтность - «отношение эквивалентности на множестве геометрических фигур (отрезков, углов и т.д.). <.. .> две фигуры называются конгруэнтными, или равными, если одна из них движением может быть переведена в другую [2, т.2, с. 1013]».

Второй пример - широко используемый в механике естественный (сопровождающий ) 3-гранник гладкой пространственной кривой. Его определению как механико-математического объекта, построению алгоритма определения параметров его ориентации (единичных векторов - ортов) и компьютерной визуализации посвящена данная работа.

Постановка задачи.

Среди множества интересных кривых, хорошо изученных геометрией (аналитической и дифференциальной) нас заинтересовал тип локсодрома (Л) - линия на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом а [2, т.3, с.447]. Обычно локсодрома описывается дифференциальным уравнением (ДУ). Например, ДУ локсодромы сферы (единичного радиуса - для простоты и без ущерба для общности), имеет вид [3, с.371]:dO

-ctga-dj, (1)

sinO

где ф и в - широта и долгота в их традиционном толковании.

Несложный, в квадратурах, интеграл дифференциального уравнения (1), разрешенный относительно одной из переменных, в, дает уравнение искомой кривой:

tg 0 = C-e<ctga) j, (2)

где параметр С (функция от ф0 и в0) определяет начальную точку М0 на спиральной траектории (2), навивающейся на один из полюсов сферы. По такой кривой двигался бы корабль на сферическом земном шаре, если бы курс корабля был бы неизменен по отношению к меридианам.

Аналогично можно получить дифференциальное уравнение локсодромы прямого конуса с образующей L, углом конусности а (при вершине) и углом в = const между образующей конуса и касательной к локсодроме (Рис.1), именно

—^—= sin a- ctgfi- dj (3) L-X

и его интеграл (полученный в квадратурах):

= L - (L - X0) e-(sinactgb) - j. (4)
В формулах (3) и (4) величины ф и £ , соответственно, - полярный угол и продольная координата произвольной точки М, отсчитываемая вдоль образующей от основания к вершине.

Наконец, сформулируем главную цель:

1) Описать последовательность вычисления единичных векторов (ортов), определяющих ориентацию сопровождающего трехгранника локсодромы [4, c.c.180, 185];

2) Организовать графическую демонстрацию результатов вычислений (включая анимацию).

Решение задачи и его результаты.

Далее рассмотрим более подробно простейшую из локсодром, больше известную как винтовая линия с постоянным шагом. Так выглядит линия, описываемая точкой М, которая движется по образующей прямого круглого цилиндра, вращающегося в то же время около своей оси так, что путь, проходимый точкой М по образующей, пропорционален углу поворота цилиндра (коэффициент пропорциональности b). Радиус цилиндра R.Минуя дифференциальное уравнение, можно получить уравнение изучаемой линии как функции независимой переменной s (дуговой координаты точки М) [5, с.511 или 4, с.с. 190-191]:

r(s) = cos(1-s)-e1 + sin(l-s)-e2 +1-b-s-e3, (5)

где

 

VR2 + b2

и { e1, e2, e3 } - базис основной системы отсчета.

Орты сопровождающего трехгранника (3-гранника Френе) -касательной, главной нормали и бинормали определяются формулами [4, с.185, фф. (265), (269), (260)]:

t(s) =ГЫ-г (7) i?4s)|

n(s) = -r^, (8) |?"(s)|

b (s) = t(s) Xn(s).

(9)

Из формул (5), (7) и (9) следует вывод о том, что «... соприкасающаяся плоскость образует с осью винтовой линии тот же постоянный угол, что и касательная» [5, с.с.521 и 513] - подтверждение того, что винтовая линия является локсодромой. Кстати, упомянутый угол равен

R

b = arccos(1 b) = arctg—. (10) b

На Рис.2. приведен фрагмент компьютерного счета по формулам (7), (8), ( 9) средствами математического пакета MathCad [6], а на Рис.3. - их графическая иллюстрация.

R := 5.0       b := 0.5

r1(s) := Diff_v(r, s, 1)

R- cos(s) '

( )      R ( )                                      r2(s) := Diff v(r, s, 2)

r(s) :=   R- sin(s)

v   b .s    J     r3(s) := Diff_v(r, s, 3)Численно: r1(f)

т(ф)

|гі(ф)|


 

 

 

4


 

( -0.71

: 0.7

v 0.1 J


 

 

(орт касательной)п(ф)


r2(f) |і2(ф)|


77

3


(орт главной нормали)Ь(ф) :=т(ф)х п(ф)


(орт бинормали)
Выполнена графическая иллюстрация с элементами анимации ортов трехгранника Френе локсодромы кругового цилиндра.

Полученные материалы можно предложить к использованию как вспомогательные при изучении соответствующих тем дифференциальной геометрии.

 

Литература

1. Ишлинский А.Ю. Математика и методы механики. - В кн.: История отечественной математики, т. 4, № 2, Киев: Наукова думка, 1970 г.

2. Математическая энциклопедия: Гл.ред. И.М.Виноградов, т. 2 Д -Коо, т.3 Коо - Од. - М.: - «Сов. Энциклопедия», 1979. - 1104 стб., ил., 1982, - 1184 стб., ил.

3. Л.Г.Лойцянский и А.И.Лурье. Курс теоретической механи-ки, т.1. 7-е изд. - М.: Гостехиздат. 1957г., 379с.

4. П.К.Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд.,испр. -М.: Едиториал УРСС, 2003. - 432 с.

5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: - 1964 г., 872 стр. с илл.

6. В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet. - М.: "Нолидж", 2000., - 512с., ил.

Страницы:
1 


Похожие статьи

С И Маевская, В В Журба, Р Н Абдулин - Сопровождающий трехгранник локсодромы кругового цилиндра винтовой линии