Ю В Коляда - Економічне партнерство математична модель та її якісний аналіз - страница 1

Страницы:
1  2 

економіко-математичні методи

Y (p) = Ф(р)[х (p) + Fo ],   Ф(р) =        , (9)

р + n

де Ф (p) — передавальна функція виробничої ланки.

Варіант моделі випуску продукції з врахуванням екзогенного методу не важко отримати, якщо оригінал вартості виробничих фондів (8) підставити в (6).

Література

1. ГалабурдаМ. К., Кулик А. Б. Проблеми оптимізації системи диференціального оподат­кування в Україні // Стратегія економічного розвитку України. — К.: КНЕУ, 2004. — Вип. № 15. — С. 44-49.

2. Кулик А. Б. Моделювання інвестиційної стратегії при взаємодії малих підприємств // Економіка: проблеми теорії та практики. — ДНУ, 2009. -Вип. 251, Т.ІІ. — С. 373-378.

3. Статистичний щорічник України за 2007 рік. Державний комітет статистики України. —

К., 2008.

4. Каданэр Э. Д. Динамическое моделирование экономических систем: Уч. пос.Пермь: ПГУ, 1990.

5. Мартыненко В. С. Операционное исчисление. К.: Вища школа, 1990.

Надійшла до редакції: 09.02.2010

УДК 330:51(075.8) Ю. В. Коляда, докторант,

кафедри економіко-математичного моделювання ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

ЕКОНОМІЧНЕ ПАРТНЕРСТВО: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТА ЇЇ ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ

Розглянуто сценарії можливої співпраці двох країн (союзів) на підґрунті «м'якого» моде­лювання. Розкрито адаптивну природу механізму взаємодії. Альтернатива доцільної поведінки визначається не стільки стартовими умовами, скільки коефіцієнтами матема­тичної моделі, серед яких визначальними є боротьба за якість продукції галузі та ступінь міжгалузевих зв'язків.

Рассмотрены сценарии возможного экономического сотрудничества двух стран (сою­зов) на основании «мягкого» моделирования. Раскрыта адаптивная природа механизма взаимодействия. Альтернатива целесообразного поведения определяется не столько стартовыми условиями, сколько коэффициентами математической модели, среда ко­торых определяющими есть борьба за качество продукции отрасли и степень межот­раслевых связей.

Scripts of possible{probable} economic cooperation of two countries (unions) on the basis of «soft» modelling are considered. The adaptive nature of the mechanism of interaction is opened. The alternative of expedient behaviour is determined not so much by starting conditions, how many factors of mathematical model which environment determining is struggle for quality of production of branch and a degree of interbranch communications.

Ключові слова: моделювання партнерської співпраці, математична модель, якісний аналіз, економічне тлумачення.

Ключевые слова: моделирование партнерского сотрудничества, математическая мо­дель, качественный анализ, экономическая интерпретация.

Key words: modelling of partner cooperation, mathematical model, the qualitative analysis, economic interpretation.

© Ю. В. Коляда, 2010

Вступ. В епоху глобалізації взаємного впливу між державами світу (щонаймен­ше на теренах країн пострадянського простору) представляє інтерес неупередже-ний погляд на економічну співпрацю між ними, тобто критичний аналіз кооперації, позбавлений нашарувань особистого чи групового (партійного) походження, також інших уподобань чи переконань влади. На даний момент для України питання еко­номічної взаємодії з кимсь іншим, наприклад Росією, стоїть досить гостро.

Вербального характеру пропозиції (думки і заклики) в економічній літературі висловлюються забагато — їх ціле розмаїття. Але наукових праць аналітичного плану з виваженими міркуваннями і рекомендаціями, як наслідок якісного та кіль­кісного комп'ютерного моделювання, поки що нема.

Між іншим, актуальність окресленого вище неминуща: проблема взаємовигідної і ефективної співпраці об' єктів господарювання завжди існує.

Постановка проблеми і спосіб її розв'язання. Метою дослідження виступає математичне відтворення процесу економічного партнерства двох країн та якісний аналіз математичної моделі (ММ), що включає наступне: намітити шляхи можли­вого розвитку подій, сформулювати вимоги щодо вибору керуючих параметрів і коефіцієнтів моделі, надати економічне тлумачення результатам моделювання, ре­альну альтернативу сценарію економічної кооперації.

Мета досягається досить поширеним прийомом запозичення або перенесення відомого в одній сфері наукового знання до іншої, як це за зазвичай відбувається в науці взагалі і економічній зокрема, починаючи із знаменитого спочатку в демо­графії рівняння Мальтуса. Останнім прикладом такого розповсюдження може слу­гувати стаття [1], згідно результату якої динаміка росту капіталу відтворюється рів­нянням Ферхюльста (1838 р.), відомим спершу в теорії росту популяцій у природі. Серед здобутків математичної біології також відшукалася подібна до розглядуваної нами проблеми задача.

Виклад основного матеріалу. Будучи подальшим розповсюдженням знаного в науці підходу Вольтерра—Лотки [3], математичні моделі (ММ) динаміки процесів макроекономіки [4] суттєво перекликаються з системами диференціальних рівнянь, що описують біологічні та економічні нелінійні процеси з урахуванням явищ кон­куренції, симбіозу тощо [3, 5].

Для двох конкуруючої взаємодії галузей економіки одного суспільства, спорід­нених своїм функціонуванням і кінцевою продукцією, справедливо записати рів­няння динаміки обсягів виробництва

x = sx - ax2 - fixy = f (x, y), у = ey - ay 2 - exy = f2 (x, y) де x = x(t) — обсяг виробництва однієї з галузей, а у = y(t) — відповідно іншої в

   dx . • dy

деякий момент часу t; x = — і y =--швидкість змінюваності обсягів продукції

dt dt

відповідної галузі; коефіцієнти: є відтворення кожної з галузей; a внутріш­ньої (у самій галузі) конкуренції; р відображає конкуренцію між галузями.

Динамічна система рівнянь (1) володіє стаціонарними точками: 1) тривіальною x = y = 0; 2) x = y = є/ (a + P); 3) x = є/a; y = 0; 4) x = 0, y = є/a розв'язками нелі­нійної алгебраїчної системи рівнянь, що отримується з (1) при умові x = y = 0 . Дій­сно, вона набуває вигляду:

|x(s - ax - py) = 0 [y(s - ay - fix) = 0,

звідки тривіальний розв' язок (x = y= 0) очевидний. Координати стаціонарної точки № 2 отримуються, розв'язуючи лінійну систему рівнянь

[ax + ву = є [fix + ay = є

за формулами Крамера.

Коли в першому рівнянні системи (2) невідома x = 0, то з другого рівняння ви­пливає у = є/a, тобто координати стаціонарної точки № 4. Аналогічним чином, ко­ли у = 0 у другому рівнянні системи (2), то з першого рівняння випливає x = є/а, тобто координати точки № 3. Між іншим, останній розв'язок легко записати в силу симетрії.

На фазовій площині стаціонарної точки зображено на рис. 1.

Рис. 1. Розташування стаціонарних точок Техніка дослідження стаціонарних точок на стійкість полягає в наступному [6]. Для ММ(1) спочатку записується матриця Якобі J = ^     (x = {x, у}; i, j = 1,2 ретно у нашому випадку):

dx.

конк-

J (•) = є - 2ax - Ру        - px - Ру       є - 2ау

-Px j

котра потім обчислюється в кожній із стаціонарних точок. Складається характерис­тичне рівняння det (J - XE) = 0, де X — спектр власних значень, E — одинична мат­риця. Конкретно в розглядуваному випадку характеристичне рівняння має вигляд:

(є - 2ax - Ру - X) - Px = 0

- Ру (є - 2ау - Px - X) '

Розкриваючи визначник, отримується рівняння

X2-X-SpJ + det J = 0, (3)

де слід матриці SpJ = є - 2ax - Ру + є - 2ау - Px є сума елементів головної діагоналі матриці Якобі; det J = (є - 2ax - Ру)(є - 2ау - Px) - Р2xy є числове значення визначника матриці Якобі, причому слід матриці та її детермінант обчислюються для кожної стаціонарної точки.

Залежно від коренів рівняння (3), тобто власних значень X1 і X 2, можливі наступ­ні варіанти рухів в околі стаціонарних точок: 1) стійкий режим вузлового типу, коли X1 і X2 дійсні і від' ємні (на рис. 1 точка 2); система здійснює аперіодичні рухи і прагне повернутися до точки рівноваги; 2) нестійкий вузол (на рис. 1 точка 1), ко­ли X1 > 0 і X 2; система віддаляється від рівноважного стану; 3) нестійкий режим сід-лового типу, коли величини X1 і X2 дійсні і протилежних знаків (на рис. 1 точки 3 і 4); 4) стійкий фокальний режим, коли корені X1 і X2 комплексні з від' ємною дійс­ною частиною; система здійснює стійкі періодичні коливання навколо точки рівноваги,що затухають (крива затягується); 5) нестійкий фокальний режим (крива траєкторії розкручується), коли дійсна частина коренів додатна; 6) стійкий режим типу центр, коли корені комплексні і нульовою дійсною частиною, тоді спостерігається пері­одичні коливання.

Перша стаціонарна точка нестійка при довільних додатних параметрах є, а, Р. Для умови Р < а нестійкими є стаціонарні точки № 3 і № 4, лише рівноважна точка № 2 стійка типу вузол. У випадку нерівності Р > а все відбувається навпаки, а саме: нестійка точка № 2 — типа сідла, рівноважні № 3 і № 4 стають стійкими типу вуз­ла; тобто одна із галузей на ринку витісняє іншу, причому перемагає та, у якої стар­тові умови були кращими.

На підґрунті розглянутого вище постає цілком слушне і навіть закономірне пи­тання: що буде у тому випадку, коли розглядати дві держави (два економічні сою­зи) в кожній з яких завжди знайдуться дві споріднені або близькі галузі виробницт­ва, причому на ринок збуту вони виходять майже з однаковою продукцією (асортиментом товарів)? яким чином вести себе кожній з сторін? чим і наскільки диктуються поведінка учасників? які фактори у розвитку подій є вирішальними? можливі сценарії взаємодії (антагоністичної, партнерської). Питання такого сорту не надумані, вони відображають реалії економічного життя — стосунки між Украї­ною і Росією на прикладі металургійного і коксохімічного виробництв, котрі тісно пов' язані між собою та значно конкурують на зовнішньому ринку. Для прикладу можна навести інші країни і виробничі галузі. Варто зауважити, що можуть фігуру­вати не тільки галузі виробництва, але також інші сфери людської діяльності.

Зрозуміла незаперечна роль математичного моделювання у пошуку адекватних відповідей на сформульовані самим життям питання. До речі, скористатися досить розповсюдженим економетричним моделюванням принципово неможливо, бо тре­ба володіти статистичною сукупністю, котра відсутня, як правило.

Нехай чисельне значення змінної x1 описує обсяги виробництва першої галузі однієї держави, а x2 — відповідно для іншої держави; змінні у1 та у2 — для другої галузі відповідно держав. Через сталу величину b позначається коефіцієнт міграції (вільного пересування) всередині кожної галузі для кожної з сторін — учасників процесу. Тоді рівняння динаміки обсягів виробництв для кожної з галузей обох сторін записуються

• •

x1 = єx1 - ax12 - Pxу1 - b(x - x2); x2 = єx2 - ax2 - Px2у2 + b(x1 - x2);

у1 =єу1 -ау1

-Px1 у1 - ь(у1 - у2);

(4)

у2 = єу2 - ау22 - Px2у2 + Ь(у1 - у2) ,

що є узагальненням ММ(1).

Для зручності проведення якісного аналізу приймається, що коефіцієнти є, a, Р сталі і однакові у всіх рівняннях. Хоча в дійсності це не так, але на малому інтерва­лі часу таке припущення цілком прийнятне. Цим самим виключається будь-яка дискримінація галузей в обох суспільствах та їх продукції на ринках збуту.

Розв' язуючи відповідну систему алгебраїчних рівнянь, знаходяться стаціонарні точки. Всього їх 16, з числа яких розглядаються ті, що підходять за змістом (коор­динати точок дійсні і невід' ємні). Перші чотири корені аналогічні розв' язкам сис­теми рівнянь (2), ураховуючи структуру ММ(4).

Наступні   два   корені   мають   вигляд:   для   стаціонарної   точки   № 5 —

Х=—(є-2b + л/(є-2b)M); x2 =(є-2b-л/(є-2b)M);  у1 = (є-2b-л/(є-2b)M); 2a 2a 2a

у2       (є-2b + V(-2b)M), 2аде M = є - 2b

а + Р а-Р

Для подальшої зручності введемо значення:  (є-2b) = F і

1

»/(є - 2b)M = G. Тоді стаціонарна точка № 6 має координати:  x1 = (F - G);

2а

x2 = !— (F + G); у1 = —!— (F + G); у2 = !— (F - G). Привертає увагу симетричність ко-

2а 2а 2а

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Ю В Коляда - Економічне партнерство математична модель та її якісний аналіз

Ю В Коляда - Моделювання соціально-економічних процесів обмінного типу 1 однопараметричні моделі

Ю В Коляда - Моделювання соціально-економічних процесів обмінного типу1 однопараметричні моделі

Ю В Коляда - Структурний портрет нелінійної економічної динаміки на підґрунті адаптивної математичної моделі

Ю В Коляда - Фазові та параметричні портрети ключових математичних моделей нелінійної економічної динаміки