В Фурман - Фазові функції розсіяння у кристалі металу - страница 1

Страницы:
1 

ВІСНИКЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія фізична. 1999. Bun. 32. С. 17-21

VISNYK LVIV UNIV. Ser.Physic. 1999. №.32. P.I7-21УДК 538.9; 539.2; 548 PACS numbers: 03.65.Nk

 

ФАЗОВІ ФУНКЦІЇ РОЗСІЯННЯ У КРИСТАЛІ МЕТАЛУ

 

В. Фурман

Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Драгоманова, 12, Львів, 79005

Знайдено узагальнені залежності для розрахунків характеристик розсіяння в широкій області в теорії металів. Ці формули можуть бути використані для розрахунку електронних властивостей металів і для ви­рішення проблем ядерної фізики елементарних частинок.

Ключові слова: розсіяння, метал, електронний.

Функціональна залежність амплітуди розсіяння /(к, к') повністю визначає критерії та спосіб побудови потенціалу електрон-іонної взаємодії (псевдопо-тенціал) у металах [1-3]. У разі побудови псевдопотенціалу перехідних металів однією із його складових є модельний псевдопотенціал, що описує стаціонарні стани іонних залишків [1], а його параметри знаходяться із умови існування полю­су парціальної амплітуди розсіяння [2] для енергії, що відповідає значенню спект­роскопічного терма -є„/. Псевдопотенціал металу, побудований на основі теорії розсіяння із врахуванням ефектів гібридизації [1] у перехідних металах та спін-орбітальної взаємодії у рідкісноземельних [3] добре відтворює експериментальні дані за результатами розрахунків.

Розглянемо розсіяння електрона у кристалі металу в наближенні центрально-симетричного поля, коли потенціал взаємодії залежить тільки від модуля відстані г. На великих віддалях від розсіюючого центру в стаціонарних процесах розсіяння хвильову функцію прийнято представляти у вигляді суперпозиції падаючої та роз­сіяної хвилі

*L+,w(r) = lk> + /(k,0)—;

г
У задачах розсіяння [4] амплітуда розсіяння /(к, к') через поліноми Лежандра у розкладі по парціальних хвилях/(k,0) =-!-X(2/ + 1)sin6'We'i'<*,p/


(COS0)визначається парціальними фазами розсіяння Ь£к).

Для знаходження радіальної частини хвильової Ч/і(к, г), як розв'язку рівняння Шредінгера

 

© Фурман В., 1999

dr2


1(1+1)


-U (г)


4>,(к,г) = 0; к2=2е


О)використовують різні підходи, аде найбільш вживаними є метод фазових функцій [5 -9] та метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (WKB метод) [10-14], що грун­туються на одному способі розв'язування диференціальних рівнянь - методі варіа­ції змінних. Якщо потенціал U(r) записати у вигляді суперпозиції

С/(г) = С/,(г) + С/2(г),

а для одного з потенціалів, наприклад Ufa), існують точні розв'язки рівняння ф/1,2)(А, г), то хвильову функцію Ч'/ік, г) можна представити через їх лінійну комбі­націю. Введемо дві функції А£к, г) та Ь{к, г) так [5], щоб

Ч», (*, г) = Д (*, г)(ф<" (*, r) + tg 5, (*, г)Ф<2) (*,г)), (2) а для похідної хвильової функції накладемо таку умову:^ Ч», (*, г) = А, (к, А 4 Ф,(" (*, r) + tg S, (к,г)^- Ф<2> (*, г)
аг                         \аг аг


(3)За методом фазових функцій [5] з (1) і (4) отримаємо узагальнене фазове рівняння: |-1ё5/(Л,г) = -^(ф<,)(*,0+1ё8,(А,г)Ф<2>(А,г))2, (4)

початковою умовою розв'язків якого є 8і(к, 0) а 0. Для знаходження граничного значення tg Ь£к, г) перепишемо вираз для хвильової функції Ч'іік, г) через функцію Гріна G(r, г') у такий спосібЧ», (к,г) = ф™ (*, r) + \иг (r ')G, (г,гУ¥, (к, r')dr',

о

щоб її парціальна компонента G^r, г') визначалась наступним чином:

     1 Ш2)(к,г')Ф?)(к,г),г<г' G,(r,r) = —<

к \ф\2)(к,г)Ф)'(к,г'), r>r'

через функції ф/1,2)(Л, г) та задовольняла рівняння:


(5)

 

 

(6)d1     /(/ + 1)

dr2 г2

G,(*,r) = 5(r-r'),


(7)Визначимо тангенс фази хвильової функції, розглядаючи амплітуду хвильової фу­нкції Ч?і(к, г) при г    ао як константу А/(к, г)г_>ю = 1 [4, 5]:

(*,       = Ф)" (*,#•) + tg 5, (*, г)Ф<2) (*, г); (8)

00

tgS,(*) = к<Ц(*,Г/2(Г'І(*,Г)£*- .

о

Якщо домножимо вираз для       г) в (5) на U-AfWkk О та проінтегруємо

00

/£/2(г)Ч»,2 =

о

 

о                                  о                  U J

то з урахуванням (6) - (8) і того, що Ч'/С ->• ») Ф/(1,(£, г), отримаємо для гранич­ного значення тангенса фази розсіяння співвідношення:tg8,(*,oo) = -

1 +


кг(г)(ф?(к,г))2dr
о________________

к2(г)Ф^(к,г)Ф^(к,г)аг


(9)яке переходить у перше борнівське наближення, якщо знехтувати інтегралом у знаменнику. Залежно від того, які потенціали Ui(r) чи U2(r), ми отримаємо відпові­дні набори Ф/(1)(£, г), Ф[2)(к, г) та відповідні фазові рівняння.

Для розрахунку фаз розсіяння потенціал металу знайдемо за оберненим Фур'є-зображенням екранованого формфактору W(k,q) = (k |ff|k+q) металу

wr\r) = £)™*W(bqWda. "о о ar

Приймаючи U2(r) = wre\r), a U\(r) = 0, отримуємо з функціями Ріккаті-Бессе-ля та Ріккаті-Ганкеля [15] Ф/(1,2)(£, r) -> ji(kr), п{кг) фазове рівняння для парціаль­ної фази розсіяння. Тоді для фази розсіяння

(10)

\-klf\k)

я,"Ч*)

tg5,(*) = -

визначатиметься інтегралами і/''2)(А:), які мають наступний вигляд:


для розрахунку фазових характеристик розсіяння значно ефективніші не тільки від борнівського наближення, але і простіші у використанні ніж прямий розрахунок фазового рівняння (4).

1.     Фурман В.В., Якібчук П.М. Псевдопотенціал у методі фазових функцій. Струк­тура модельного псевдопотенціалу перехідних та рідкісноземельних металів // Журн. фіз. доел. Т. 1, №1, 1996. С.134-147.

2.     Фурман В.В., Якібчук Л.М., Жовтанецький М.І. та ін. Нелокальний модельний псевдопотенціал в методі фазових функцій // Укр. фіз. журн. Т. 42, №5, 1997. С.628-638.

3.     Фурман В.В., Якібчук П.М., Вакарчук СО. та ін. Урахування спінорбітальної взаємодії для розрахунку формфакторів нелокального модельного потенціалу //Журн. фіз. досл. Т.2,№3, 1998. С.346-357.

4.     Ситенко ОТ. Теорія розсіяння. К.,1993. 335 С.

5.     Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М., 1988.

6.     Puente, Casas M, Plastino A. Fisher information and semiclassical methods // Physical Review A. Vol.59, 1999. P. 3211-3217.

7.     Weber T.A. Nonlocal potentials, isolated states, and Levinson's theorem//Journal of Mathematical Physics. 1999,40. P. 140-149.

8.     Portnoi M.E., Galbraith I. Levinson's theorem and scattering phase shift contributions to thepartition function of interacting gases in two dimensions // Physical Review B. Vol.58, 1998. P.3963-3971.

9.     LandM.C, HorwitzL.P. Off-shell phenomena in Coulomb scattering // Physics Letters A . Vol.239, 1998. P. 135-140.

10. Froman N.. Froman P.O. JWKB connection-formula problem revisited again via Borel summation // Journal of Mathematical Physics. Vol.39,1998. P. 4417-4429.

11. Hainz J., Grabert H. Centrifugal terms in the WKB approximation and semiclassical quantization of hydrogen // Physical Review A. Vol.60,1999. P. 1698-1701.

12. Lidar D.A. Atom Scattering from Disordered Surfaces in the Sudden Approxima­tion: Double Collisions Effects and Quantum Liquids // Surface Science. Vol. 411, 1998. P. 231-238.

13. Voros. Airy function (exact WKB results for potentials of odd degree) // Journal of Physics A. Vol.32, 1999. P.1301-1311.

14. Salasnich L., Sattin F. On the Convergence of the WKB Series for the Angular Momentum Operator//Joumal of Physics A. Vol.30, 1997. P.7597-7602.

15. Абрамович М.И., Стиган И. Справочник по специальным функциям с форму­лами, графиками и математическими таблицами. М„ 1979.

Градштейн И.С., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм и произведений М., 1971.SCATTERING PHASE FUNCTIONS IN THE METAL CRYSTAL

 

V. Fourman

Ivan Franko National University of Lviv, Dragomanova Str. 12 UA-79005 Lviv, Ukraine.

 

Generalized dependences for calculations of the scattering characteristics in the theory of metal at wide region are found. These formulae may be used for calculating of metal electronic properties and for solving of problems in nuclear physics or elementary particle physics.

 

Key words: scattering, metal, electronic.

 

Стаття надійшла до редколегії 29.09.98
Прийнята до друку                   23.11.98

Страницы:
1 


Похожие статьи

В Фурман - Термодинамічні умови формування конвективних потоків верхньої мантії землі

В Фурман - Кремінь як перша корисна копалина людей кам'яного віку на поділлі

В Фурман - Мінералогічні властивості крем'яної сировини для матеріалу знарядь палеоліту на поділлі

В Фурман - Визначення внеску некулошвської взаємодії у зонні характеристики металів на основі теоріїрозсіяння

В Фурман - Метод фазових функцій та wkb-наближення