М Приймак - Елементи однорідності для періодичних ланцюгівмаркова - страница 2

Страницы:
1  2 

Умовні ймовірності Pj (n) в сукупності утворюють матрицю

n{n) = \pj(я), і, j є X, n = 0,1,2,..., (4)

яку називають матрицею переходів (перехідних ймовірностей, ймовірностей переходів) ланцюга. Для матриці переходів (4) умовні ймовірності pjj (n)> 0, а сума

Матриця ||pj (и)|, що задовольняє останній умові, називається стохастичною матрицею.

Відзначимо, що замість терміну «умовна ймовірність» іноді використовують назви «умовна ймовірність переходу», «ймовірність переходу», «перехідна ймовірність», якщо не виникає непорозумінь, просто «ймовірність». Ми будемо дотримуватися термінів «ймовірність переходу» та «умовна ймовірність».

Факт, що при визначенні ланцюга Маркова суттєво використовується поняття деякої стохастичної системи S(t), проявляється в тому, що множину X = (1,2,...,і,...), яка фігурує в означенні ланцюга, часто називають фазовим простором чи простором станів ланцюга \i;n, n = 0,1,2,...}, набір ймовірностей pf (о) = P(^0 = і), і = 1,2,...,- початковим

розподілом станів, а умовні ймовірності pij (n) = P\§,n+X = j= і} - ймовірностями переходів із стану і в стан j . Із ланцюгів Маркова виділено декілька класів ланцюгів. Найголовніші з них - це однорідні ланцюги [11-13] та періодичні ланцюги [9].

Означення 2. Ланцюг Маркова  \i;n, n = 0,1,2,...}  називається однорідним, якщо

перехідні ймовірності pj (n) не залежать від n : pj (n) = pj, і, j є X .

З означення видно, що однорідний ланцюг визначається лише однією матрицею

переходів П = I|pц І.

Наведемо поняття періодичного ланцюга, вперше введеного в [9]. Означення 3. Ланцюг Маркова

[i;n}, n = 0,1,2,..., (5)

називається періодичним, якщо періодичними є його ймовірності переходів, тобто існує ціле L > 1, що

pj(n )=pj(n+4 иj є X, (6)

де і, j - стани, і, j є X.

Очевидно, що для періодичного ланцюга Маркова його матриці переходів П(я) = p (n) теж змінюються періодично з цим же періодом L :

П(я) = П(я + L), n = 0,1,.... (7) Стосовного останнього означення, то таку ж назву «періодичні ланцюги» має один із підкласів однорідних ланцюгів Маркова [13,14]. Щоб побачити повну відмінність між цим підкласом і періодичними ланцюгами, що розглядаються в цій роботі (означення 3), спочатку нагадаємо деякі поняття, пов'язані із однорідними ланцюгами, дотримуючись, в основному, [2,10-13].

Через pll) позначимо ймовірність переходу із стану і в стан j за r > 1 кроків. Стан j називається досяжним із стану і, якщо існує таке число r > 1, що p\j)> 0. Стан і називається періодичним з періодом т > 1, якщо p(j) = 0 для будь-якого r, не кратного т, і т - найменше із чисел, для якого p\p > 0 (тобто із стану і можна повернутися в цей же стан лише за т, 2т, 3т,... кроків).

Однорідний ланцюг Маркова називають періодичним [14], якщо всі його стани є періодичними з одним і тим же періодом т > 1 .

Як видно, наведене поняття періодичності однорідного ланцюга не має нічого спільного ні із класичним визначенням періодичної випадкової послідовності (для якої періодичними є її багатовимірні функції розподілу [2]), ні із визначенням періодичного ланцюга, для якого (згідно з означенням 3) періодичними є його матриці переходів.

Розглянемо деякі властивості періодичних ланцюгів Маркова з метою виявлення в них ознак однорідності та можливістю розробки на цій основі методів статистичного аналізу періодичних ланцюгів. Для цього попередньо введемо деякі зручні для нас позначення і поняття, які будуть використані пізніше.

Через позначимо множину чисел 0,..., k,...L -1, де L - період ланцюга:

< = {0,...,kL -1},

і будемо називати її -множиною фаз, окремі числа k цієї множини - фазами. Присутність в назві слова «фаза» викликане тим, що для періодичних з періодом T функцій, зокрема тригонометричних функцій, широко використовується поняття початкової фази - числа,

розміщеного на відрізку, довжиною T  є [0, T] або  є - ^, ^ . Крім цього, над

числами, пов'язаними із фазами, часто здійснюють арифметичні дії додавання чи віднімання за модулем, рівним періодові T , що в міру необхідності буде використано і в цій роботі. Для кожного фіксованого k із < -множини фаз сукупність чисел

<p(k) = {k + sL,...}, s = 0,1,...,

утворює решітку із кроком L, яку будемо називати <p^k) -решіткою. Якщо позначити

k + sL = fSk), s = 0,1,..., (8) де k = 0,1,..., L -1, тобто належить <p -множині фаз, то числа ) утворюють послідовність{t[k)} s = 0,1,..., значення елементів якої є координатами вузлів <р^к)-решітки. Об'єднання <p^k ) -решіток

9 = U <Pik)

k=1

назвемо < -решіткою. Очевидно, вузли < -решітки в сукупності є множиною цілих невід'ємних чисел Z0, тобто співпадають із областю визначення ланцюга Маркова. Як

приклад, на рисунку 1 зверху осі t точками помічені вузли (координати) -решітки, вузли одної із <р^к) -решіток позначені кружечками. Знизу осі для цих же точок використано позначення згідно з (8).

0      1     ...     k   k +1   ...   L-1   L   L +1 ... k + L k + L +1   ... 2L-1 2L

HI-оI-1II-оI-1-h— t

t (0)       t (1) t (k)   t (k+1) t (L-1)    t (0)    t (1) t (k) t (k+1) t (L-1)  10

_ (k)

Рисунок 1 - Вузли <p -решітки, позначені вертикальними рисочками, вузли -решітки, позначені кружечками, та координати цих вузлів

Відповідно до -множини фаз множину матриць переходів

(0),..., n(k),..., n(L - 1)}=П(<) (9) назвемо множиною матриць переходів або П<<)-множиною, а окремі матриці n(k) цієї

множини - фазовими матрицями.

Оскільки матриці переходів періодичного ланцюга згідно з (7) змінюються періодично, то, очевидно, що для будь-якого n > L виконується рівність

П(п) = n(n(mod L)),

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

М Приймак - Елементи однорідності для періодичних ланцюгівмаркова

М Приймак - Моделювання дискретних періодичних шумів з дискретними розподілами