И К Локтионов, Т С Шевченко - Универсальное свойство кривых третьего порядка - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 517.3

Универсальное свойство кривых третьего порядка И.К. Локтионов, Т.С. Шевченко

Донецкий национальный технический университет

Для кривых третьего порядка простейшими методами установлено универсальное свойство, связанное с наличием у этих кривых центра симмет­рии.

Рассмотрим кривую 3-го порядка, задаваемую уравнением 1     3     1 7 2

y = — ax + — bx + cx + d (1) 6 2

и покажем, что любая прямая, проходящая через точку перегиба кривой (1) и пересекающая её график в двух других точках M1 ; y), M2 ; У2), от­секает от неё фигуры равных площадей, и что, касательные, проведенные к этой кривой в точках M1    ; У1), M2     ; У2) имеют одинаковый наклон.

Найдем координаты точки перегиба P(xq, Уо) функции (1) из усло­вия y = 0

3 2
_   b              _5b - abc + 6a d

a 6a2

(2)

и введём новую систему координат UpV , начало которой расположено в точ­ке P(xo, У о), а направление осей совпадает с направлением осей старой

системы XoY. Как известно, связь между координатами точки в новой и старой системах устанавливается формулами

x = u + xo,      y = v + yo. (3)

Запишем теперь уравнение кривой (1), используя формулы (3)

v = -u + y (xo )• u , (4) де  y'{xQ) = axg /2 + йх0 + с (очевидно, в частном случае, когда у'{хо) = О

уравнение (4) принимает более простой вид V = au3/б). Поскольку функ­ция (4) является нечетной, то любая прямая, которая проходит через точку перегиба P(xo, Уо) и пересекает её график любых других точках, отсекает

от неё лунки одинаковых площадей.

Вычислим, наконец, угловые коэффициенты касательных к кривой

(4) в точках Mi, M2. Предварительно заметим, что координаты этих то­чек, в силу нечетности (4), связаны соотношениями  Uj = —U2, Vj = —V2, а

точка P является серединой отрезка M1M2. Угловой коэффициент каса­тельной к кривой (4) равен

к = 2 u + y(xo) (5)

и зависит от u чётным образом, а это означает, что к(Mi) = к(M2), т.е.

касательные к кривой (4) в точках Mj, M2 параллельны.

В заключение отметим, что в случае когда y (xo) = 0, корень хс уравнения

1    3    1 2

ax + — bx + сх + d = О 6 2

может быть легко найден. В системе UpV этому уравнению соответствует уравнение

a 3 6

где  uc = хс — Xo,   vc = — yо.   Из последнего равенства находим корень

 

 

 

V a


1.   Курош В.И. Курс высшей алгебры. М., Наука. 1973. - 455 с. УДК 622.831:599.3

Решение одной смешанной модельной сдвиговой задачи для полуплоскости

Онопчук Б.Н.

Донецкий национальный технический университет

В роботі розглянута модельна змішана задача для півплощини. Показано що в околі x = +l виникають розтягуючи напруження, які можуть привести до виник­нення перпендикулярних до границі площини тріщин.

Для горных специальностей важной является проблема определения давления в горном массиве. Такие задачи эффективно решаются с использованием теории функции комплексного переменного. В курсе высшей математике, читаемом в техническом вузе, вопрос о нахождении аналитической функции по значениям ее на границе рассматривается в объеме интегральной формулы Коши. Ниже рассмотрен один важный случай определения аналитической функции в области Imz>0 по значениям на границе полуплоскости с помощью формулы Келдыша-Седова. Этот подход дает возможность показать студентам горных специальностей наглядный и эффективный метод решения ряда задач геомеханики.

Пусть упругое изотропное тело занимает верхнюю полуплоскость Imz > 0;

Начало прямоугольной системы XOY поместим в некоторой точке 0 границы полуплоскости так, чтобы ось ОХ совпала с границей исследуемого тела. Грани-

n n

цу области обозначим через L. Пусть L=L'+L'', где L'= ^ LK , и L''= ^ LK ,

K=1 K=1

L''K=(aK к),

L"=(bk , ak+1), an+1=a1 .

Причём , проходя ось в положительном направлении, встречаем указанные точки в последовательности a1, b1, a2, b2,     an, bn. Пусть на границе известны нормальные напряжения

оy = p(x),x є L (1.1)

На части L' действуют касательные напряжения

txy =j(x),x є L' (1.2)

а на другой части границы L'' известны горизонтальные смещения

u + = u(x),xє L'' (1.3)

Считаем , что функция p (x), j(x) , u(x) удовлетворяют краевой задаче /1/.

Используя граничные условия (1.1-1.3) и комплексное представление компонент напряжений и компонент вектора перемещений в виде /2/

о x + іт xy = O(z) + O(z) - Q(x)

Ox - іт xy = O(z) + O(z) + Q(x) (1.4)

 

 

 

где W(x) = zF'(z) - Y(z),as = 3 - 4 v, v- коэффициент Пуассона, O(z) и Y(z) - комплексные потенциалы Колосова - Мусхелишвили ; приходим к краевой задаче для функций O(z) и £2(z)

2Re F(x) + Re W(x) = p(x) на L;

Im z W(x) = j(x) на L'

ReW(x) =       p(x) - -4j- u' на L'
ж +1           ж +1

Решение граничной задачи (1.5) дается формулой Келдыша - Седова /1/ч       ч    1 Гp(x)dx 2F(z) + Q(z) = Iлі r x - z

L

Q(z) = —---- |

----- p(x)----- — u

ж +1        ж +1

X(z)dx + | j(xMz)dx + iPn -1(z) x - z    l'    x - z c(z)

(1.6)

где c(z) = П .J(z - aK )(z - bK ) , П - знак произведения

K=1

Pn-1 (z) = C1zn 1 + C2zn 2 +... + Cn многочлен (n-1) - ой степени с произвольными действительными коэффициентами.

Постоянные C1,C2,.,Cn фигурирующие в решении (1.6) могут быть определены из условий

u(bj - u(aK) = І Re [(ж - 1)Ф + (x) - Q+(x)]dx (1.7)

 

где 0+(x), Q+(x) - граничные значения O(z), Q(z) на границе полуплоскости. Усло-вие(1.7) формирует систему линейных уравнений для определения C1,C2,.,Cn Перейдём к модельной задаче

Sy = 0,xє L

T xy = т o,x є l) u=0 |x|>l

На основе (1.5) решение (1.8) имеет вид 2F(z) + Q(z) = 0

Q(z) = ^=MSdx+^?

При вычислении интеграла делаем замену x=l-cos(t)

•л/l2 -x2 = 121 sin2(t)3t

-l

x - z        0 l cos(t) - z

x

а затем универсальную тригонометрическую подстановку u = tg

sin2 tdt        2 ¥        u2du                     \z-1

0 icost-z     z + l J0(u2 + c2)(1 + u2)2'     Vz + 1 разложим подинтегральную на простейшие дробь

u2             = M1u + N1 + M2u + N2 + M3u + N3

(u2 + c2)(1 + u2)2     u2 + c2        u2 +1       (u2 +1)2 и найдем коэффициент разложения

M1 = M2 = M3 = 0; N1 = —/-7;N2 = т/:77; N3 1

/2     i\2'    2      /2     i\2 '     3  2     і '

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

И К Локтионов, Т С Шевченко - Универсальное свойство кривых третьего порядка

И К Локтионов, Т С Шевченко - Универсальное свойство кривых третьего порядка