Автор неизвестен - Перетворення галілея - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6 

Загальним розв'язком рівнянь типу z" = —a z є будь-яка гармонічна функція, наприклад, синус. Значить, за цих умов для X можна записати такий розв'язок:  X = Aq sin(yjk / mt + j), до

якого входять дві константи: Aq і j Це константи інтегрування диференціального рівняння другого порядку. Перепишемо здобутий розв'язок для змінної X =x(t):

x = mg / k + Aq sin(-Jk/mt + j)

(1.2.12)

Для визначення констант інтегрування застосуємо початкові умови x(t = 0) = 0, V(t = 0) = Vq це початкова швидкість руху кінця мотузки, яка виникає внаслідок падіння муфти. Швидкість Vq   визначається   з   закону   збереження   механічної енергії:

mV2   2 = mgl;   Vq2 = 2gl.

Знайдемо вираз для швидкості руху в довільний момент часу: V = dx/ dt = A^yfkTm cos(y/k / mt + j). Скориставшись вказаними початковими умовами, маємо наступну систему рівнянь:

f x(t = 0) = 0 = mg / k + Aq sin( j); 1 V(t = 0) = Vq = A^k/m cos(j);

g2m2 / k2 = A2 sin2 j; VQ.m = A2kcos2 j.

(1.2.13)

Звідси знайдемо:

AQ = g2m2/k2 + mVQ /k = g^m^k * [1 + 2lk/(mg)] . (1.2.14)

Тепер визначимо момент часу t, коли кінчик мотузки припинить рух внаслідок її розтягування на максимальну величину:

V(t = t) = Q . V(t) = Q = A^k/m cos^k /mt + j). (1.2.15)

2   2, —2

Значить, p / 2 = m t + j , або t = 4m /k(p/2 j) . Тому 42

координата, що визначає положення муфти в момент часу t, має наступний аналітичний вираз:

x(t) = -^ + AQsm(-) =

k 2 k

1 +

1 +

2kl

(1.2.16)

Максимальна   деформація   нитки   настає,   коли муфта зупиняється. Таким чином, здобуваємо відповідь:

max(x) = x(t)-

k

, 2kl

1 +-

(1.2.17)

Звичайно, її можна здобути і у більш простий спосіб, скориставшись законом збереження механічної енергії. Прирівнявши потенціальну енергію муфти перед падінням до роботи, яку вона виконує проти сил пружності, розтягуючи нитку, можна   отримати   квадратне   рівняння   для   видовження x(t):

mg(l + x(t)) = kx(t)2 / 2 . Але розв'язком цього рівняння все одно буде вищезазначений вираз (1.2.17). Тому ця задача є чудовою нагодою для практики в галузі застосування знань, що їх здобуто на лекціях з математичного аналізу.

1.2.4. Перетворення Галілея

Перетворення Галілея показують, в який спосіб пов'язані між собою координати механічного об'єкта у різних інерціальних системах відліку. Питання про перетворення координат, якщо воно стосується тільки однієї інерціальної системи відліку, є чисто математичним і розв'язується методами аналітичної геометрії та математичного аналізу. Але питання про перетворення координат, що відносяться до різних інерціальних систем відліку, є питанням фізики. Воно може бути розв'язане тільки експериментальними засобами.

Найпростішим відносним рухом систем відліку є поступальний рівномірний рух. З численних дослідів відомо: "В усіх системах координат, які рухаються поступально та рівномірно відносно сфери нерухомих зірок та відносно одна одної, усімеханічні явища відбуваються однаково". Це твердження є принципом відносності Галілея. У подальшому цей принцип був визнаний справедливим і для інших явищ, наприклад, електромагнітних. Цей принцип є постулатом, оскільки, по-перше, він не є перевіреним з достатньою точністю; по-друге, досі не всі явища природи є нам відомими.

Нехай система відліку K є нерухомою, а система відліку K1

рухається відносно K зі швидкістю U . Вважаємо, що в момент часу t=Q системи відліку K та K' співпадали, тоді траєкторія руху матеріальної точки в системі K описується функцією r = r(t) , а в

системі K', відповідно, Г' = r Ut. Наступні формули називаються перетвореннями Галілея:

t'=t,    r1 = r Ut

v1 = v — U

(1.2.18) (1.2.19)

Перетворення Галілея показують:

- як за відомим часом, що тече в нерухомій системі відліку K, знайти час в іншій системі відліку K1, яка рухається

відносно першої з невеликою швидкістю U ;

- як за відомим положенням матеріальної точки відносно системи відліку K знайти положення цієї точки відносно K';

- як за відомою швидкістю u матеріальної точки відносно системи відліку K знайти швидкість цієї точки відносно K1.

Скористаємося перетвореннями Галілея для опису переходу з системи відліку K1 до системи K. Виходячи з принципу відносності

руху, можна сказати, що система K рухається відносно системи K1

зі швидкістю « —U ». Тому перехід від системи відліку K1 до системи K описується формулами (1.2.18) та (1.2.19), в яких слід

замінити: t1« t, r1«r, V « V 1, U ®—U :

t=t1,

r = r1 + Ut1 ,

V = V1 + U

(1.2.20)

Такий самий результат можна здобути з арифметичних міркувань внаслідок розв'язання рівнянь (1.2.18) та (1.2.19) відносно t, r і V , що підтверджує, що побудована Галілеєм теорія є внутрішньо

несуперечливою, самоузгодженою.

Зверніть увагу на те, що принцип відносності Галілея використовує припущення про те, що час змінюється однаково в різних системах відліку. Це є справедливим тільки для повільних рухів зі швидкістю V << c, що є значно меншою швидкості світла, які досліджує класична механіка. Для систем відліку, які рухаються з релятивістськими швидкостями, це не так: дійсно, в них час змінюється повільніше, ніж у нерухомих системах відліку.

1.2.5. Інваріанти перетворення Галілея

Коли певна фізична величина не змінює свого числового значення при перетворенні координат, то це значить, що вона має об' єктивне значення, яке не залежить від обраної системи відліку. Такі фізичні величини відображають властивості самих явищ, що вивчаються, а не їх співвідношення з обраною системою відліку. Величини, числові значення яких не змінюються при переході з однієї системи відліку до іншої системи відліку, називаються інваріантами перетворень.

До інваріантів перетворень Галілея належать: лінійні розміри механічного об' єкта, інтервал часу спостереження за об' єктом, прискорення механічного об' єкта. У цьому легко пересвідчитися:

1).      =](x<>) x<")2 + (у21) y'1))2 + (z(>> —z'1))2

=l(2) (1.2.21)

(x

(2KJ2) 2

+ x

2

(2)    J2)J^,J2) (2)2

)2 + (y[2J Уі)2 + (z

1

2

1

)

де l(1,2 ) довжини, що виміряні у системах відліку K1 та K2, відповідно, перша з яких, наприклад, є нерухомою, а друга -рухається рівномірно та прямолінійно зі швидкістю U .

2).

Dt(1) = t21) =Dt(2) = t22) 1(2);

3).   d2r (1)/dt2 = d2r (2)/dt2, (1.2.22) (1.2.23)

45де r(1),( 2 ) це радіуси-вектори матеріальної точки у системах

відліку   K1   та   K2 ,  відповідно.  Нехай  система відліку K1

рухається прямолінійно та рівномірно відносно K 2 зі швидкістю

U . Тоді, якщо обчислити похідну від 7(1) (2) (див. для порівняння

формули (1.2.18) та (1.2.19)) за часом, можна отримати зв'язок між швидкостями матеріальної точки, які обчислено в різних ( K 1 та

K2, відповідно) системах відліку:

V(1) = V(2) U . (1.2.24)

Експериментальна перевірка саме формули (1.2.24) і вказала на приблизний характер перетворень Галілея. Зазначимо, що відхилення експериментальних результатів від теоретичних, що визначаються за допомогою (1.2.24), є тим більшими, чим більшими є швидкості руху механічних об' єктів. Таким чином, це ще одне свідчення існування релятивістських обмежень на коло тих механічних явищ, які досліджує класична механіка.

1.2.6. Закон збереження імпульсу

Виходячи з другого та третього законів Ньютона, можна здобути закони збереження імпульсу та енергії. Цікаво, що існує також можливість пройти й зворотнім шляхом, тобто вивести закони Ньютона із законів збереження. За великим рахунком, це справа смаку: що обрати за аксіому, а які закони механіки виводити. Даний курс викладання механіки є традиційним, тобто відповідає історичній послідовності розвитку фізики.

Насправді, використовуючи більш складний математичний апарат, можна вивести і закони Ньютона, і закони збереження, виходячи з однорідності простору та часу. Однорідність простору означає, що закони фізики однакові в усьому просторі. А однорідність часу означає, що закони фізики не змінюються з часом. Експериментальним підтвердженням однорідності часу є існування універсальних фізичних констант.

Закон збереження імпульсу свідчить, що повний імпульс замкненої системи матеріальних точок залишається незмінним з часом. Повний імпульс - це є векторна сума імпульсів усіх частинок у замкненій системі. Доведемо закон збереження імпульсу на прикладі замкненої системи з двох матеріальних точок. За третім законом Ньютона маємо наступне співвідношення для сил, з якими

взаємодіють   ці   дві   матеріальні   точки:   F12 = —F21. Отже,

df / dt = —dP2 / dt, або d(P1 + P2 )/ dt = Q. Звідси маємо закон збереження повного імпульсу замкненої системи: Pn ° P1 + P2 = Const. Те саме є справедливим для N матеріальних точок:

N r

X Pj = Const. (1.2.25)

j=1

Страницы:
1  2  3  4  5  6 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа