Г М Фельдман - Примарные идеалы алгебры - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Выпуск 11

197(1

ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ АЛГЕБРЫ W+ Г. М. Фельдман

Пусть W+ банахова алгебра аналитических в единичном круге функ­ций f (z) с абсолютно сходящимися рядами Тейлора

(і)

и нормой

11/11 

к>0

В настоящей работе описываются примарные идеалы этой алгебры. Как известно, алгебра W+ является дискретным аналогом алгебры L+(R), примарные идеалы в которой были описаны В. П. Гурарием в работе [1].

Пространством максимальных идеалов алгебры W+ является замкнутый единичный круг |z|< 1.

Обозначим через М(г) максимальный идеал, соответствующий точке г.

При описании примарных идеалов W+ рассмотрим отдельно два случая: Примарные идеалы содержатся в максимальном, которому отвечает точка | z01 < 1.

2. Примарные идеалы содержатся в максимальном, которому отвечает точка j 201 = 1.

Случай 1. Пусть iz0j< 1. Введем з рассмотрение множества /,(2o)=[/eW+:/0)(2o)=0, / = 0, 1, ... k).

Очевидно, что Ik (z0) = (z zQ)k W+. Множества Ik (z0) образуют упорядо­ченную по включению цепочку примарных идеалов. Покажем, что эта цепочка максимальна, т. е. любой примарный идеал, содержащийся в М(г0), сов­падает с одним из Ik{z0). Пусть / = {fa} примарный идеал. Единственной точкой, в которой все fa обращаются в ноль, является г0. Это значит, что существует k такое, что

fa (г) = (г —20)*ф« (г),

где {фа} уже одновременно не обращаются в ноль ни в одной точке. Оче­видно также, что |ф4 образует идеал. Так как он не содержится ни в одном максимальном идеале, то

{фа} = IV + и I (z z0)fc W+, т. е. / = Ik (z0). Случай 2. Пусть z0 = еіЦ. Введем в рассмотрение множества

/. (0) = if Є W+ : 2 cke^gk = 0 e Bm, «},

k>0

109

—г через В [/г,« обозначен класс ограниченных последовательностей, таких,

г = ЫГ€51/2,« — ^Л5(2), Шлая функция порядка 1/2 типа < а такая, что

gk = Ag(k) (А = 0, 1,2, ...). Отметим теперь некоторые из свойств /«(8).

1. Отображение /(г) -> /(ге_г'°) осуществляет изоморфизм между /а(9) - /. (0) = /а. Это простое соображение позволяет в дальнейшем ограничиться ^смотрением /а-

2. замкнутый идеал, содержащийся в /И(1) = /0. Замкнутость Ia очевидна. Чтобы показать, что h идеал, достаточно проверить, что уй>0 zkf{z)£la, если f(z)ela. Заметим, что если {gk}b=o Ви2< к, то у« > 0 {gft+„}r=o/2, я, так как последовательность {gft+n}"=0 интерполи­: уется функцией Ла (г -f я), которая имеет тот же порядок и тип, что и функция Ag(z). Итак, 2 ckSk+n 0> л = 0> 5. 2, ... , но это в точности означает, что zkf (г) 6 h- Поскольку последовательность, тождественно рав-

: ная единице, принадлежит Вт aya, то yf Є h 2 ck ~ 0> T- e- ^ ^^1(1),

а так как целая функция порядка 1/2 минимального типа, ограниченная в точках (0, 1,2, ...}, есть константа, то /0=М(1).

3. Если a < Pj то /а=э/э, причем включение строгое.

4. Для каждой точки 2=t 1 и для каждого а существует / из /а такая, что / (г) ф 0.

Свойства 3 и 4 могут быть доказаны непосредственно, но мы получим их как простые следствия леммы 4.

Пусть g = {gk}"=0 ограниченная последовательность. Обозначим

Is = {fzW+:%ckgk+n = 0vn>0}. Положим   ih.    V cngk+n,    Hj (г) = Ц (|г|< 1) (2)

И

G+(2)= S&2~ft     (И>1). (3)

fes>o

Заметим теперь, что отношение Hi (z)/f (г) не зависит от / (г) е /г Действительно, пусть /х, Є /„.

/iW-S^V. /2(^)=S4V; fi (г) Hh (г) = ( 2 C<V) ( S ftV) = 2 ^V,

ft«0 &>o

- m

= V c<2) У Cil)a - У a       У r(i)r(2)

kXi      гг>0 6=0 a-\-q~tn-\-kпо

Г. М. Фельдман

Перестановка порядка суммирования здесь законна, так как последователь­ность {gk}^0 ограничена, а последовательности {с(к[)}к=0 и {с[2)}к=0 сумми­руемы.

т

Аналогично получим, что А® = 2 gk    2    с^с^, и таким образом,

к =0 p-\-g=m+k

А(^ = А\^. Мы получили f2HSi = fxHft, а отсюда немедленно следует, что отношение Hf(z)/f(z) не зависит от выбора / из Ig.

Лемма 1. Пусть g = {^}"=0 ограниченная последовательность, f б /?- Функция G-(z)

r,.[G4z), \z\>\, U[Z)~\Hf(z)/f(z), \z\<l,

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Г М Фельдман - Примарные идеалы алгебры