Косолапоею Ф, А О Константинова, О И Хорунжая - Характеристическая задача в работах пикара проблема обоснования метода - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 517.944(09)

Характеристическая задача в работах Пикара. Проблема обоснования метода

 

КосолапоеЮ.Ф., Константинова А.О., Хорунжая О.И.

Донецкий национальный технический университет

В статті піддається ґрунтовному аналізу спроба Пікара довести законність методу послідовних наближень для випадку характеристичної задачі для лінійного гіперболічного диференціального рівняння другого порядку з двома незалежними змінними і змінними коефіцієнтами. Доводиться надзвичайно далеко захована помилковість пікаріських міркувать.

 

В предыдущей статье мы изучали два варианта доказательства Пикаром законности метода последовательных приближений для решения характеристической задачи для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными и переменными коэффициентами. Первый вариант не вызывает возражений, так как основывается на рассуждениях, успешно осуществленных Пикаром в случае задачи Коши для такого же уравнения. Что касается второго варианта доказательства, то он связан с применением теории аналитических функций и является чрезвычайно интересным с научной точки зрения. Однако в рассуждениях Пикара нам, как представляется, удалось найти ошибку, настолько далеко спрятанную, что для ее обнаружения потребовалось провести очень скрупулезные исследования с выходом, в том числе, в теорию двойных рядов. Для удобства мы продолжаем нумерацию формул, начатую в предыдущей статье.

Итак, нам предстоит выяснить, удалось ли Пикару при решении задачи

(16)

Uy = k (ux + Uy + U) )
xy                y            }                         ( 16 )

U(xo,y) = 0, U(x,уо) = 0. J

установить не только разложимость решения в ряд (15), по степеням k (с коэффициентами, зависящими от переменных x, у ), но и равномерную сходимость (по x и у) его, а также рядов (17). Полагая

U = ek (x+y )v,                               ( 18 )

Пикар от задачи (16) переходит к аналогичной задаче

v   ={k2 + к V + Ме-к (x+у),, v(y) = 0, v(x, y0) = 0, J и применяет к ней свой излюбленный итерационный метод

(vo= Me^x+y, (v„= (к2 + кn = 1,2,...,

Vn (X0, У) = 0, Vn (X y0) = ^ П = 0,1,2,...

Если задать произвольный, но ограниченный отрезок [- к0, к0 ] значений к и ввести обозначение N = max|v0| при (x, y)e R, к є [- к0, к0 ], легко с помощью формулы (8) получить оценки (будем для простоты вместе с Пикаром считать

 

VI < N [(к2 + ^ |(v ) I < N [(к2 + кW (v ) I < N^+tti-
N              („l)2     'W-W-"      „і      АУ^Ц-[1]"      „і

Они, очевидно, устанавливают равномерную относительно x,y, к ((x,у)є R), к є [- к0, к0 ]) сходимость рядов

 

 

0

Z (v- )x ,                Z (v- )y ,                     ( 21 )

00

следовательно - разрешимость задачи (19), а на основании (18) - и задачи (16).

Пикар считает свое доказательство исчерпанным: каждый из членов рядов (20),(21) заявляет он, является голоморфной функцией от к , и ряды сходятся равномерно, каким бы ни было к «в произвольной конечной области плоскости этого переменного»[2]; интеграл v задачи (19) (сумма ряда (20)), а следовательно, и решение   задачи (16), а также производные Ux,Uy являются

целыми функциями от к, то есть представляются рядами (15), (17) с бесконечным (относительно к ) радиусом сходимости, что (по Пикару) и требовалось доказать.

Но можно ли считать доказательство Пикара, даже если оставить в стороне игнорирование им вопроса о непрерывном примыкании решения кзаданным на характеристиках функциям, достаточно полным и строгим? Сейчас мы увидим, что нельзя.

Каждая функция vn (n = 0,1,2,...) действительно разлагается в ряд по

степеням к . Можно даже доказать, что все эти ряды сходятся абсолютно и равномерно относительно x,y,к для (x,у)є R, к є [- к0,к0 ] при любом к0. Рассмотрим, например, функцию v0. На основании формулы (8) (в том же предположении x0= = y0 = 0) имеем:

v0 (x,y,к) = }}Ме-к(x+y)dxdy = М(1 - е-1" )(1 - е-ку ) =

0 0 к

= м Z (- 1)м-к'-1 Z (-1)j-1 —к'-1 = М Z (-1)'+j —к'+j-2

Здесь двойной ряд представлен в виде произведения двух абсолютно сходящихся к

I (1 - е   )  I (1 - е-ку) соответственно рядов и поэтому абсолютно сходится к функции

± (1 - е-)(1 - е-ку)

на множестве

A = {(x, y, к): -¥ < x < оо,-оо < y <        < к < ^} в частности, на замкнутом ограниченном множестве

B = {(x,y,к): (x,у)є R, к є [- к,,к0 ]}. Ввиду равномерной сходимости рядов-сомножителей на множествах

B1 ^JC; к) : x є [0, xb 1к є [- ko, к0 ]},     B2 ={(y, к) : y Є [0, yb 1к Є [- k0, к0 ]}

соответственно двойной ряд, как нетрудно заметить, сходится равномерно (и, конечно, абсолютно) на B . Находя теперь последовательно v1 ,v2,... с помощью

формулы (8) и используя соответствующие теоремы о почленном интегриро­вании степенных рядов, убеждаемся в равномерной и абсолютной сходимости на R всех рядов, являющихся разложениями функций vn (n = 0,1,2,...). Абсолютная сходимость позволяет путем перегруппировки слагаемых получить разложения для vn в виде степенных рядов относительно к (с коэффициентами, зависящими от x, y )

vB = M£ Рпл+і+2 {х, у)Є ,                      ( 22 )

і=п

где Рп п+,+2 {х, у) - многочлен степени п + і + 2 . Например, для функции v0 (при п = 0)

 

г0+2      \   Ч          ..(.       .     ~\

Ряд (22) сходится абсолютно и равномерно на множестве B , что и утверждалось. При этом он из двойного превратился в обычный с многочленами растущих степеней от х, у в качестве коэффициентов при степенях k .

Функция v, то есть решение задачи (19), определенное рядом (20), на основании формулы (22) изображается повторным рядом

v = M£ £ Р„п+2^                           ( 23 )

и, если мы желаем установить ее разложимость по степеням k , необходимо от (23) перейти к ряду

V = У fyP,+i+2 У = УУ Q2+2kS ,              ( 24 )

s=0 V і=0 / s=0

но это сопряжено с изменением порядка слагаемых в ряде (23), что, естественно, требует обоснования. А оно-то у Пикара и отсутствует. В частности, Пикар даже не пытается исследовать ряд (24) на абсолютную сходимость, обеспечивающую справедливость переместительного свойства. Без достаточно глубокого изучения свойств функций vn   нельзя доказать даже сходимость, не говоря уже о

равномерной сходимости (относительно х, у, k), ряда (24). Это кажется удивительным, если учесть абсолютную и равномерную сходимость рядов (20)[3], (22), но тем не менее это так. В частности, из сходимости рядов (22) и (20) следует сходимость ряда (23), однако их абсолютная сходимость такой же сходимости ряду (23) не обеспечивает, так как модуль суммы ряда (22) и сумма ряда из модулей его членов здесь не одно и то же ввиду того, что многочлены Рп,п+і+2 могут принимать отрицательные значения.

Итак, Пикар не доказал не только равномерную сходимость ряда (24) на множестве B , которая только и обеспечила бы в конечном итоге требуемую им равномерную сходимость рядов (15), (17), но даже обычную сходимость.

Более того, если бы Пикару даже удалось установить справедливость разложения (24) для всех k и всех {х, у R , он бы не достиг желаемой цели. В самом деле, как говорилось выше, ряд (24) сходился бы равномерно относительно k є [- k0, k0 ] для любого k0, но совсем не обязан был бы сходиться в B равномерно. Сказанное тем более относится к рядам, получаемым из (24) почленным дифференцированием по х или у.

Таким образом, следует признать, что путь доказательства разрешимости характеристической задачи (1), (2), избранный Пикаром в заметке [4], оказался нереализованным.

Представляет интерес вопрос, чем вызван отказ Пикара от метода, использованного в статье [З]. Нежеланием повторяться? Тогда можно было бы вообще не заниматься линейным случаем, сославшись на более раннюю работу и указав, каким образом следует исправить допущенные там незначительные неточности. Нам кажется, что на выбор Пикаром метода доказательства повлияли некоторые другие (и не только его собственные) исследования. Дело в том, что к моменту опубликования книги [2] вышло в свет несколько работ Шварца, Пикара и Пуанкаре, посвященных проблемам разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). В них использовались идеи и методы теории аналитических функций, в том числе исследовались разложения искомых функций по степеням некоторого параметра. Эти работы в дальнейшем получили большое развитие в трудах Пуанкаре и В. А. Стеклова и, в частности, привели к обоснованию Стекловым метода разделения переменных для доволько широкого класса уравнений. Не исключено поэтому, что на заре возникновения интересного и ка­завшегося весьма перспективным нового направления теории Пикар искал различные сферы приложения соответствующего аппарата.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Косолапоею Ф, А О Константинова, О И Хорунжая - Характеристическая задача в работах пикара проблема обоснования метода

Косолапоею Ф, А О Константинова, О И Хорунжая - Эмиль пикар и характеристическая задача для линейного уравнения второго порядка