Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Характеристическая задача для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара - страница 1

Страницы:
1  2 

Характеристическая задача для квазилинейного гиперболического уравнения в работах Пикара

 

Косолапое Ю. Ф., Мамичева В.Д

Донецкий национальный технический университет

 

В статті розглядається внесок Еміля Пікара в теорію характеристич­ної задачі для квазілінійного диференціального гіперболічного рівняння друго­го порядку в частинних похідних. Детально аналізуються як сильні сторони, так і не дуже помітні з першого погляду недоліки пікарівського досліджен­ня.

Первые четыре статьи нашего исследования творчества Пикара в области гиперболических уравнений с частными производными второго порядка [1 -4] были посвящены решению Пикаром [5, 6] задачи Коши и характеристиче­ской задачи для линейного уравнения второго порядка

Zxy = aZx + bZy + CZ                     ( 1 )

относительно искомой функции z(x,y). Коэффициенты уравнения a(x,y ),b(x,y),c(x,y) предполагались непрерывными в прямоугольнике R = {x, y): x0 £ x £ xB, y0 £ y £ yB } с левой нижней вершиной A(x0, y0). Если изучалась задача Коши [5], то на нехарактеристической кривой AB, допус­кающей представления как уравнением y= y(x), так и уравнением x= x(y), задавались условия Коши в «форме Пикара»

Zx\y=y(x ) = j{x\ Z\x= x(y )= f(y) Z(x0 , y0)= Z0    ( 2 )

с функциями j(x),f(y), непрерывными соответственно на отрезках [x0, xB ], [y0, yB ]. При рассмотрении характеристической задачи [5, 6] предпо­лагались  известными  значения  искомой  функции  на характеристиках

x = x0,y = y0

z(x y0 ) =        z(x0 ,y)= f(y\ j(x0) = f(y0) ,                   ( 3 )

причем функции j(x), f(y) предполагались непрерывными на [x0, xB ], [y0,yB ] и дифференцируемыми на (x0, xB), (y0, yB) соответственно.

Наряду с линейным случаем Пикар рассматривал [6] характеристическую задачу для квазилинейного уравнения

Zxy = F(x,y,Z,Zx,Zy )                             ( 4 )

Он ограничился (ради простоты) заданием нулевых значений искомой функ­ции на характеристиках x= 0, y=0(x0 = y0 =0)

z(x, 0) = 0,Z(0,y)=0,                       ( 5 )

а функцию F подчинил условию непрерывности на множестве G = {x,y, Z, u, v): (x,y R, |z| £ a, |u| £ b, |v| £ b} и условию Липшица по трем последним аргументам

|F(x,y, z', u',v') F(x,y, Z, u,v) < &j|z' Z + k2|u' U + k3|v' V ,
где 0 <
кі = const, i = 1, 2, 3 . Начав, как обычно, с последовательности задач
\                                              (zi)xy = F(x,y, 0,0,0),

(zn)xy = F(x,y, Zn—i, (zn—i)x, (zn—i)y),n = 2,3,...,         ( 6 )

Zn (x,0)=0,Zn (0,y) = 0,n = 1,2,3,..., разрешимых посредством формулы

x y

z = II f (x,y )dxdy,                          ( 7 )

x0 y0

 

xy

0y

он по существу указал путь доказательства сходимости итерационной после­довательности (zn), или, что то же, ряда

zi+ £ (zn Zn—i)                      ( 8 )

2

1 У Пикара, очевидно, по недосмотру утверждается, что решение задачи, если оно существует, должно, как и раньше, представляться рядом

£ zn.


искомому решению задачи[1].

Прежде всего в случае выполнения условий

Mpp'< a,Mp< b,Mp'< b                    ( 9 )

значения функций zn и их двух первых производных (zn )x, (zn )y не превос­ходят по абсолютной величине чисел a, b, b соответственно; здесь M - макси­мум модуля функции F в G, p, p - измерения произвольного прямоуголь­ника R , содержащегося в R , имеющего ту же левую нижнюю вершину A и стороны, лежащие на характеристиках x = 0, x = p, y = 0, y = p . Соответст­вующие 5-мерные точки

(X,У, Zn, (Zn )x, (Zn )y )

не выйдут тогда за пределы G, и к функции F приложимо условие Лип-шица. Члены ряда (8) представляют собой выраженные с помощью формулы (7) решения последовательности задач

\                   (zi)xy = F(x, y, 0,0,0),

z .)   = F (x, y, z ., (z .) , (z .)

(Z2 zi)xy = F(x,y, zi, (zi)x, (zi)y)F(x,y, 0, 0, 0), (z "

( 10 )

F(x,y, Zn—2, (zn—2L (zn—2)y ) n = 3, . Zi\x=0=0, Zi\y=0=0, ^    (zn—Zn—i) x=0=0, (zn—Zn—i\y=0=0,n = 2, 3,...

и вместе с двумя первыми производными по абсолютной величине не пре­восходят, в силу условия Липшица, решений и их первых производных по­следовательности задач

 

(un )xy = kiun—i + k2 (un—i )x + k3(un—i)y , n = 2, 3,...           ( 11 )

un (0, y) = 0, un (x, 0) = 0, n = 1,2, 3,... Задача свелась к доказательству сходимости рядов

£ un,£(un )x,£(u„ )y,                         ( 12 )

i       i i

которые являются мажорантными соответственно для ряда (8) и двух рядов, получающихся из него почленным дифференцированием по x и по у:

(zi )x + £ (zn — Zn—i )x , (zi )y + £ (zn — Zn—i )y.   ( 13 )

22 Исследование же сходимости рядов (12) не представляет, по Пикару, затруд­нений, в силу линейности уравнений (11), заменивших собой нелинейные уравнения (10). Пикар не указывает метода исследования, что ввиду его пре­дыдущей неудачи с линейной характеристической задачей (1), (3) несколько настораживает. Ведь от уравнений (11) мож-но, полагаяk = max(ki,k2,k3), перейти к рассмотренным ранее задачам, для которых ряды, по форме совпа­дающие с (12), будут мажорировать ряды (8), (13). Но, как мы видели, метод, примененный Пикаром в заметке [6] не привел его к строгому доказательству разрешимости исходной задачи. Между тем, поступая таким же образом, как и при рассмотрении задачи Коши (1)- (2), он мог легко прийти к цели, причем даже двумя способами - оценивая по модулю члены рядов (8), (13) или члены рядов (12). В первом случае, не требующем перехода к задачам (11), он бы мажорировал ряды (8), (13) геометрической прогрессией со знаменателем q = kipp + k2p' + k3p , так что измерения прямоугольника R' существования решения исходной задачи определялись бы условиями (9) и условием q < i .

Что касается рядов (12), связанных с задачами (11), то они также мажориру­ются геометрической прогрессией с тем же знаменателем. Какой из назван­ных путей - строгий, данный в статье [5], или нестрогий путь заметки [6] -избрал бы Пикар в данном случае, сказать трудно. Скорее всего, по крайней мере в заметке [6], - второй, что не дало бы ему возможности получить стро­гое доказательство.

Условие Липшица, которое выше накладывалось на функцию F , заведо­мо выполняется, если функция F(x, y, z,p,q) непрерывна в R при a = b и обладает равномерно ограниченными производными по трем последним ар­гументам. В этом случае, указывает Пикар, решение существует во всем пря­моугольнике R. В качестве примера он приводит характеристическую задачу для уравнения

Zxy = aZx + bZy + csinZ

(функции a(x, y), b(x, y), c(x, y) непрерывны в R), в частности, характеристи­ческую задачу для уравненияранее исследованную (также методом итераций) итальянским матема-тиком Бьянки [7] в связи с одной задачей теории поверхностей постоянной кривиз­ны. Следует, однако, отметить, что для существования ре-шения измерения a, b прямоугольника R должны удовлетворять условию

ссР + сс + РN,

где N - верхняя грань значений производных Fz, F, Fq. Поэтому лучше здесь говорить не об R, а о содержащемся в нем прямоугольнике

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Задача коши для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Пикар и общие вопросы теории гиперболических уравнений

Ю Ф Косолапое, В Д Мамичева - Характеристическая задача для квазилинейного гиперболического уравнения в работах пикара