общий подход - Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 532.4

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - ОБЩИЙ ПОДХОД

 

Локтионов И. К., Гусар Г. А.

Донецкий национальный технический университет

 

Рекуррентные формулы некоторых численных методов интегрирова­ния обыкновенных дифференциальных уравнений получены с использованием квадратурных формул прямоугольников, трапеций и парабол.

 

Известно, что одним из эффективных способов вывода рабочих формул методов Рунге-Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциаль­ных уравнений основан на геометрических построениях [1]. Однако, более есте­ственным, а поэтому, возможно, более удобным для восприятия представляется подход, основанный на применении квадратурных формул.

Методы Рунге-Кутта обладают рядом характерных свойств:

1) они не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют только вычис­ления значений f (x, y);

2) согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень p различна для различных методов и называется порядком метода;

3) значение ym+1 вычисляется по найденным значениям за некоторое число дей­ствий по одним и тем же формулам;

4) позволяют выполнять расчёты с переменным шагом;

5) все они (кроме метода Эйлера) имеют хорошую точность.

Недостатком всех методов является систематическое накопление ошибок - чем дальше значение x от начальной точки x0, тем больше отклонение приближён­ного решения от точного.

Предлагаемый подход к изложению численных методов решения задачи Коши заключается в следующем.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

(ДУ)

у' = f (x, y), (1) удовлетворяющее начальному условию y0 = y(x0) в точках xm+1 = xm + m h = 0, и -1, h > 0. ДУ (1) может быть преобразовано к интегральному уравне­нию

У(x) = Уо + f  /(x, y(x))dx, (2) с помощью которого определяются значения искомой функции в точках хт и

Хт+1

у(хт ) = ут = y0 + f т /(х y(x))dx , (3) y(xrn+1 ) = ут+1 = y0 + f       /(x, y (x))dx . (4)

В^ічитание из (4) (3) приводит к основному уравнению

ут+1 = ут + f       /(xy(x))dx , (5)

связывающему значения Ут и Ут+1 в двух соседних точках.

Численн^іе методы решения задачи Коши отличаются друг от друга способами

приближённого вычисления интеграла в правой части соотношения (5).

Предположим, что точка (xrn, ут) на интегральной кривой известна.

 

1) Метод Эйлера (метод ломаных).  Если подынтегральную функцию /(x, y) в (5) заменить её значением в точке (xrn, ут), то интеграл будет равен

f       / (x y )dx = / (Хт, ут ) f       dx = h / (, Ут ) .

Такая замена равносильна применению формулы левых прямоугольников при вычислении определённого интеграла (точка xrn - левая граница отрезка [xrn; xrn+1]). В результате из (5) получаем вычислительную схему Рунге-Кутта первого порядка - метод Эйлера, согласующийся с рядом Тейлора вплоть до членов °с h

ут+1 = ут + h ^ /      , ут ) . (6)

Погрешность метода на каждом шаге ос h2, однако глобальная погрешность, в силу систематического накопления ошибок на каждом шаге о h .

Рассмотренный метод можно усовершенствовать по крайней мере двумяспособами, которые связаны с формулой трапеций и формулой средних прямо­угольников.

2) Метода Эйлера-Коши. Одним из методов Рунге-Кутта второго по­рядка с коррекцией по средней производной является так называемый исправ­ленный метод Эйлера, который в литературе встречается также под названием второго улучшенного метода Эйлера и метода трапеций.

К вычислительной схеме метода приводит интерполирование подынте­гральной функции f (x, y) на отрезке [xm; xm+1 ] многочленом первой степени, т.е. представление её в виде

,, = f (X,rym ) + f     ^ f (Хт,Ут )(X - Xm ) , (7)

h

где значение ym+i вычисляется методом Эйлера (6).

Вычислив интеграл в правой части (5) с функцией (7) получим

 

 

где ym+1 = ym + h ^ f (xm, ym ) .

Подчеркнём, что интерполяция многочленом (7) геометрически приводит к за­мене интеграла в правой части (5) площадью трапеции.

3) Модифицированный метод Эйлера. Несколько более точное значе­ние ym+1 искомой функции в точке xm+1 может быть получено с помощью мо­дифицированного метода Эйлера (метод Рунге-Кутта второго порядка с коррек­цией в средней точке, первый улучшенный метод Эйлера, метод срединных то­чек).

В основе метода лежит интерполирование функции f(x, y) на отрезке [xm; xm+1 ] её значением в средней точке xm+^2 = xm + h/ 2,

ym+V2 = ym + ~2 f (xm, ym). Положив, как это делается в методе средних прямо­угольников, подынтегральную функцию в правой части равной её значению в средней точке отрезка [xm; xm+1 ]

m +V2, ym+1/2

после интегрирования (5) приходим к следующей вычислительной схеме

Ут+1   = Ут + П  f[ Xm +1, Ут + "J , Ут )j ■ (Ю)

Поскольку погрешность квадратурной формулы средних прямоугольни­ков вдвое меньше погрешности формулы трапеций, то значение искомой функ­ции ут+1, вычисляемое по формуле (10) точнее, чем соответствующее значение, определяемое методом Эйлера-Коши (8)

Отметим, что метод Эйлера-Коши (8) и модифицированный метод Эйлера (10) согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов °= к2

4) Значения неизвестной функции ут+1 можно ещё более уточнить, если подынтегральную функцию f (X, У) представить интерполяционным многочле­ном Ньютона^ Учитывая значения f(x,у) в точках (хт,ут), (хт+у2,Ут+1/2), (хт+1, Ут+1), на концах отрезка [хт; хт+1 ] и в его середине, получаем много­член второй степени по х :

f (X, У) = f т, Ут ) + ^  - Хт ) +      - Хт )(х - Хт2 ), (11)

к к

где Dfm = f т+12, Ут +1/2 ) - f т , Ут ) = fm+1/2 - fm ,

Dfm+1 = f (xm+1, Ут+1)- f т+1|2, Ут+1/2 ) = fm+1 - fm+1|2, D fm = Д/»!+1 - Dfm = fm+1 - 2fm+1j2 + fm ■

Вычисление интеграла (5) с функцией (11) приводит к формуле

Ут+1 = Ут +АУт = Ут + 7 (fm + 4fm+1/2 + fm+1 ), (12) 6

которая носит название канонической формулы парабол (Симпсона) Она имеет более высокую точность по сравнению с квадратурными формулами трапеций и средних прямоугольников и позволяет построить несколько вычислительных схем для нахождения Ут+1 по заданному Ут ■ Вычислительные схемы будут отличаться одна от другой способами определения значений fm+y2 и fm, вхо­дящих в формулу парабол^ Общей отличительной от «традиционных» методов -метода Эйлера и его модификаций,   чертой всех способов вычисления Ут+1

должна быть более высокая точности

Рассмотрим несколько возможных вариантов этих схем^ L Наиболее простой представляется следующая: методом Эйлера устанавлива­ются значения

3^+1/2 = Ут + "J f(xm , Ут ) , .^+1 = Ут + ¥(хт , Ут ) ,

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

общий подход - Оценки погрешностей квадратных формул

общий подход - Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

общий подход - Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений