Л Дідух - Енергетичний спектр електронів у вузьких енергетичних зонах нове наближення середнього поля - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

Дідух Л. Енергетичний спектр електронів у вузьких енергетичних зонах: нове наближення середнього поля. I. Двополюсний спектр в моделі Хаббарда // Вісник ТДТУ. - 2009. - Том 14. - №1. -ст.. 180-189. - (математичне моделювання. математика. фізика).

УДК 538.1; 539.2

Л. Дідух, докт. фіз.-мат. наук

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

ЕНЕРГЕТИЧНИЙ СПЕКТР ЕЛЕКТРОНІВ У ВУЗЬКИХ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ЗОНАХ: НОВЕ НАБЛИЖЕННЯ СЕРЕДНЬОГО ПОЛЯ. I. ДВОПОЛЮСНИЙ СПЕКТР В МОДЕЛІ ХАББАРДА

Запропоновано новий варіант наближення середнього поля в теорії сильно скорельованих електронних систем, описуваних моделлю Хаббарда та модифікованою формою полярної моделі кристала. У першій частині роботи розглянуто енергетичний спектр електронів у моделі Хаббарда в двополюсному наближенні. Отриманий спектр є температурно-залежним, точним в атомній і зонній границях, відтворює хартрі-фоківський спектр у випадку слабких внутрішньоатомних взаємодій та спектр електронів, розрахований за теорією збурень у випадку сильних внутрішньоатомних взаємодій, дозволяє описати перехід діелектрик-метал.

Ключові слова: вузькі зони провідності, наближення середнього поля, модель Хаббарда.

L. Didukh

ENERGY SPECTRUM OF ELECTRONS IN NARROW ENERGY BANDS: NEW MEAN-FIELD APPROXIMATION. I. TWO POLE APPROXIMATION IN HUBBARD MODEL

A new variant of mean-field approximation in the theory of strongly correlated electron systems described by the Hubbard model and the modified form ofpolar model of crystal is proposed. In the first part the energy spectrum of Hubbard model is found using a two-pole approximation. The obtained spectrum is temperature dependent, exact in atomic and band limits, applicable for a description of the metal-insulator transition. It also reproduces the Hartree-Fock result in the case of weak intraatomic interaction and the spectrum, obtained by perturbation theory, for the case of strong correlation.

Key words: narrow energy bands, mean-field approximation, Hubbard model.

1. ВСТУП

Хаббардом вперше було показано [1], що сильна внутрішньоатомна взаємодія електронів кардинально модифікує їх зонний енергетичний спектр: виникають дві енергетичні зони (хаббардівські зони), розділені енергетичною щілиною. У принципово важливому (при дослідженні переходу діелектрик-метал) випадку n=1 (n - середнє число електронів на вузол) спектр Хаббарда дається виразом

^-/♦^mI^/U^ (1)

(розглядається парамагнітний стан); тут  /  - хімічний потенціал,  t(k) - фур'є

компонента інтеграла переносу, U - величина кулонівського відштовхування двох електронів з протилежними спінами на вузлі, знак мінус відповідає нижній хаббардівській зоні, плюс - верхній хаббардівській зоні. Наближення, що дає спектр (1), відоме як наближення Хаббард-1 (Х-1); в англомовній літературі - Hubbard 1 (H-1).

Концепція хаббардівських зон виявилася надзвичайно плідною для інтерпретації експериментальних результатів, отриманих при дослідженні електричних і магнітних властивостей матеріалів з вузькими енергетичними зонами (насамперед, - оксидів, сульфідів та селенідів перехідних матеріалів [2]) - класу матеріалів з унікальними фізичними властивостями. Разом з цим, спектр (1) має серйозні вади, що сильно обмежує область застосовності наближення Х-1. Зокрема, спектр не описує перехід діелектрик-метал (енергетична щілина між дном верхньої зони і верхом нижньої зониіснує при будь-яких U Ф 0 ), спектр не є температурно-залежним (чого слід очікувати з фізичних міркувань).

Недоліки наближення Х-1 були частково усунуті в роботі [3] (наближення Х-3), де була запропонована більш розвинута процедура розщеплення ланцюжка рівнянь для одноелектронної функції Гріна. Було отримано, що перехід діелектрик-метал наступає за умови Uc / w«1,7 (Uc - критична величина кулонівської взаємодії, вище якої

речовина перебуває у діелектричному стані, w - напівширина „незбуреної" s-зони). Проте, навіть в діелектричній фазі, де наближення Х-3 є більш надійним, ніж у металічній, воно викликає ряд заперечень принципового плану [4-7].

Інші багаточисленні підходи до опису моделі Хаббарда (запропоновані протягом більш як трьох десятиліть) відображені в багатьох оглядах (див., наприклад, огляди [5­7]). Хоча тут були досягнуті і значні успіхи (особливо у випадках U >> w і w >> U ), можна констатувати: до середини 90-х років минулого століття не існувало послідовної теорії, яка в рамках однієї ідеології описувала модель Хаббарда при довільних співвідношеннях між конкуруючими величинами w і U.

Новий етап в дослідженні сильно скорельованих систем, пов'язаний із створенням (в основнму, - Джорджем, Котляром, Метцнером і Фолгардтом) теорії динамічного середнього поля (ТДСП; DMFT - в англомовній літературі). Прогрес тут досягнутий на шляху трансформації моделі Хаббарда у випадку dоо (d -розмірність простору) до аналога однодомішкової моделі Андерсона, в якій невзаємодіючі між собою електрони створюють динамічне середнє поле на „андерсонівському" центрі (див. огляди [8-10]. Ефективними тут виявилися не аналітичні підходи, а метод числового моделювання з залученням належного програмного забезпечення.

Відзначимо, що існуючі аналітичні підходи до опрацювання моделі Хаббарда (поза ТДСП) мають багато спільних рис з ТДСП. Так, базовий результат роботи [1] -існування хаббардівських зон - підтверджується ТДСП. Наближення Хаббард-3 в діелектричній області дає результати, близькі до ТДСП; в обох теоріях вихідна одновузлова електронна функція Гріна Gii(со) має одну і ту ж форму. Ще ближчим є

зв'язок між DMFT і наближенням GH3 [11]. Наближення Гутцвіллера [12] приводить до тих самих результатів, що і ТДСП в металічній області. В основі цих наближень (перелік їх та порівняльні характеристики з ТДСП можна було б розширити) достатньо розвинуті аналітичні методи, проте підходи тут суттєво різні: в наближеннях, близьких до Хаббард-3, - апарат функцій Гріна, в підході Гутцвіллера - варіаційний принцип, де розрахунок спінових конфігурацій ведеться класичним методом. В наближенні ж ТДСП властивості моделі Хаббарда і в діелектричній, і металічній фазах (при довільних співвідношеннях між w і U) описуються в межах єдиного базового підходу; в цьому основна цінність ТДСП [10].

Разом з цим, при розгляді властивостей систем з сильними електронними кореляціями на основі ТДСП методами числового моделювання, втрачаються привабливі риси аналітичних підходів. Так, наприклад, хаббардівські зони, як і залежності хаббардівських спектрів від w, U і від концентрації електронів, „проявляються" (для добре означеного стану мотт-хаббардівського діелектрика при U >> w ) при чисельних розрахунках; з точки зору узагальнюючих висновків (якісного плану) щодо властивостей важливого класу вузькозонних матеріалів - легованих мотт-хаббардівських діелектриків, такий підхід є менш привабливий, ніж відповідний аналіз на основі t-J моделі (чи інших споріднених підходів). Застосовність ТДСП до моделей, які відображали б електрон-діркову асиметрію, характерну для багатьох вузькозонних матеріалів, також зустрічає певні труднощі [13].

Можна зробити висновок: актуальною залишається розробка аналітичних методів дослідження систем з сильними електронними кореляціями, справедливими для довільних співвідношень між w і U і для довільних концентрацій електронів як в рамках ТДСП, так і поза нею.

У цьому контексті вкажемо на наближення, запропоновані в роботах [14, 15] (надалі - наближення-I) і в роботах [16, 17] (наближення II).

В наближенні I енергетичний спектр за умови n=1 в парамагнітному стані має

вигляд

E(k)=     + (1 -2d)t(k)+ -2 M 2д/U2 + (4dt(k))2 ; (2)

в наближенні II

E(k)=-/ + (1 - 2d)t(k)+ ^2 m _^u2 +12 (k); (3)

тут d - концентрація вузлів з двома електронами (двійок).

Недоліки хаббардівського спектру (1) відсутні у спектрах, заданих виразами (2) і (3). Важливо відзначити також, що спектри (2) і (3) не тільки описують переходи діелектрик-метал (при Uc = 2w у першому випадку) і при Uc «1,7w - у другому (при температурі T = 0), але і переходи із металічного стану в діелектричний при підвищенні температури, спостережувані, наприклад, в сполуках (V1-xCrx )2 O3 і NiS2

[2]. Зазначимо також, що дані наближення були застосовані не лише до моделі Хаббарда, але і до більш загальної моделі - модифікованої форми полярної моделі кристала [14, 16, 17], в якій врахована електрон-діркова асиметрія (вузькозонна модель з нееквівалентними хаббардівськими зонами), спричинена міжвузельною електрон-електронною взаємодією, що зумовлює перенос електронів. На основі підходів, запропонованих в роботах [14-16], вдається пояснити і низку інших особливостей фізичних властивостей вузькозонних матеріалів [18-21]. Разом з цим потрібно відзначити і певну обмеженість цих підходів при розгляді фізичних властивостей матеріалів з вузькими енергетичними зонами.

Хоча спектри (2) і (3) є точними в зонній і атомній границях (U — оо ), вони не відтворюють у випадку малих w / U спектр, отриманий на основі ефективного гамільтоніана [14] (t-J-гамільтоніана для напівзаповненої зони); спектри не містять доданка (незалежного від квазіімпульсу) ~ w2 /U, що відповідає за кінетичний обмін між найближчими сусідами. Зрозуміла важливість таких внесків у спектр при розгляді антиферомагнітного впорядкування. У випадку малих U /w , за умови, що система поляризована за спіном (щ Ф    ), спектри (2) і (3) модифікуються, проте не містять

характерних хартрі-фоківських внесків nJU і n^U. Одноелектронні функції Гріна, що

приводять до спектрів (2), (3), - двополюсні, квазічастинкові стани - незатухаючі; бажаний, зрозуміло, вихід за рамки цього наближення.

Запропонований далі підхід має на меті розширити область застосовності наближень, введених в роботах [14-17], і усунути відзначені вище недоліки цих наближень.

2. ГАМІЛЬТОНІАН. РІВНЯННЯ ДЛЯ ФУНКЦІЙ ГРІНА

Будемо виходити з гамільтоніана Хаббарда, записаного в представленні Xkl -операторів [14]:

H = H0 + H + H/; (4)

де

H0 = -/ (Xl + X\ + 2X2) + U^X2; (5)

H1 = Z t(ij)(xrX? + X2°XJ2); (6)

ijcr

H' = Z(t(ij)(Xt02 -X10X)2)+ e.c.), (7)тут j - спіновий індекс (j =Т,)), t(ij) - інтеграл переходу електрона між найближчими сусідами.

Подамо,  використовуючи зв'язок між електронними операторами і X kl

операторами [22],

a т = X т

p і p

X

2)

a т = X0

X

)2

a+1 =

a

p

X0 p + Xі2

одноелектронну функцію Гріна

у вигляді

GpS (E ) =

X

X

Т0

X

Рівняння для функції Гріна (E + /.)(( Xp

) 2

X

хТ°) + (xp2

X

2

X

0Т

X

2

(8)

(9)

(10)

0Т

X

Т0

X

Т0

X

Т0

+

+

X

Т0

(11)

де [A, B]- означає комутатор АВ-ВА.

Далі, опрацьовуючи рівняння (11), зробимо наступні кроки: 1. У згоді з проекційною процедурою приймемо, що

[ Х°Т, H 1]-=іХ(pi )х\

^0Т

(12)

неоператорний вираз.  Після  антикомутації  обох сторін рівняння з

де

оператором отримується рівняння для        ). Стандартний підхід [23], який

означує є(^>і) як c-число, полягає в усередненні операторних виразів у цьому рівнянні.

У нашому підході (див. також роботи [14-15]) неоператорний характер є^і)-величин стверджується заміною в рівнянні (отриманому з (12) після вказаної антикомутації)  Xkl   операторів - операторами народження і знищення вузла -

операторами Шубіна-Вонсовського a+k, оса за формулою

Xkl = а+каа (13)

і наступною заміною а-операторів c-числами [24]. Цим пропонована методика відрізняється від використовуваної в дусі ідеології Рот, де проводиться усереднення операторних виразів у рівнянні на визначення є(^>і).

Для випадку n=1 (n - середнє число електронів на вузол) і відсутності магнітного впорядкування

є/ (pi) = єр (pi) = є (pi) = (1 - 2d)t(pi), (14) де d - концентрація двійок.

2. У явному вигляді останній вираз у рівнянні (11) записується так:

Z t (pi і((х

) 2

X

Т0

X

Т0

ІФ p

Зважаючи на специфіку „гібридизаційного" функцію Гріна у виразі (15) представимо як

X

Т0

переносу, описуваного

XpXp

) 2

X

Т0

X

2

X

Т0

(15) першу

(16)

де Xp = XТ +

а дві останні як

p

p

p

p

s

p

s

p

s

p

s

s

s

s

s

+ <X +X0 >

s

p

2

p

X

Т0

де єТ (pi) визначається за тією ж процедурою, що і є1 (pi). За цих наближень вираз (15) набуває вигляду

-Z4(pi Х( х

2

X

Т0

Zt(pi) XpXt

2

X

Т0

(17)

(18)

парамагнітному стані єр (pi) = єр (pi) = є2 (pi) = -2dt (pi).

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Л Дідух - Енергетичний спектр електронів у вузьких енергетичних зонах нове наближення середнього поля

Л Дідух - Кореляційні ефекти у вузьких енергетичних зонах il магнітні та немагнітні типи електронноговпорядкування