Л Дідух, О Крамар, Ю Скоренький - Ефективний гамільтоніан періодичної моделі андерсона для опису систем з квантовими точками - страница 1

Страницы:
1  2  3 

Ефективний гамільтоніан періодичної моделі андерсона для опису систем з квантовими точками / ДідухЛ., Крамар О., Скоренький Ю. //Вісник ТНТУ. — 2010. — Том 15. — № 4. — С.168-177. — (математичне моделювання. математика. фізика).

УДК 538.1; 539.2

Л.Дідух, докт. фіз.-мат. наук; О.Крамар, канд. фіз.-мат. наук; Ю.Скоренький, канд. фіз.-мат. наук; Ю.Довгоп'ятий; Ю.Дрогобицький, канд. фіз.-мат. наук

Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя

ЕФЕКТИВНИЙ ГАМІЛЬТОНІАН ПЕРІОДИЧНОЇ МОДЕЛІ АНДЕРСОНА ДЛЯ ОПИСУ СИСТЕМ З КВАНТОВИМИ ТОЧКАМИ

Резюме. Із застосуванням методу канонічного перетворення отримано ефективний гамільтоніан моделі андерсон-габбардівського матеріалу, яка враховує основні типи взаємодій як у підсистемі локалізованих, так і в підсистемі колективізованих електронів, а також гібридизацію цих підсистем. Оператор канонічного перетворення підібрано таким чином, щоб розрізнити процеси, які відповідають за формування аналогів габбардівських підзон та процеси, які зумовлюють як посередній обмін між локалізованими магнітними моментами, так і взаємодію БКШ-типу в „зонній" підсистемі. Отриманий ефективний гамільтоніан дозволив класифікувати процеси непрямого обміну та непрямого переносу в системах з андерсон-габбардівськими центрами.

Ключові слова: періодична модель Андерсона, канонічне перетворення, системи з квантовими точками.

L. Didukh, O. Kramar, Yu. Skorenkyy, Yu. Dovhopyaty, Yu.

Drohobitskyy

EFFECTIVE HAMILTONIAN OF PERIODIC ANDERSON MODEL FOR DESCRIPTION OF SYSTEMS WITH QUANTUM DOTS

The summary. On the basis of the canonical transformation method the effective Hamiltonian of Anderson-Hubbard model taking into account the basic types of interactions in localized and itinerant electron subsystems as well as the hybridization of these subsystems has been obtained in this paper. The canonical transformation operator has been chosen ifform which separate processes of Hubbard subband analogues formation and and those responsible for the indirect exchange between the magnetic moments as well as BCS-type interaction in the itinerant subsystem. The obtained effective Hamiltonian allows to classify processes of indirect exchange and indirect hopping for the systems with Anderson-Hubbard centers.

Key words: periodic Anderson model, canonical transformation, systems with quantum dots.

Вступ. В останні десятиліття прогрес новітніх технологій пов'язується із синтезом нових матеріалів з унікальними електричними та магнітними властивостями. До найперспективніших матеріалів такого типу слід віднести системи з квантовими точками, в яких „атом" домішки знаходиться в матриці „вузькозонного" провідника. Спроби теоретичного опису електричних та магнітних властивостей „квантової точки" розпочато ще у піонерській роботі [1]. В роботах [2,3] запропоновано узагальнення одноцентрової моделі Андерсона [1] на випадок періодично розташованих андерсон-габбардівських центрів (періодична модель Андерсона за загальноприйнятою тепер термінологією). В рамках такої моделі було показано, що за умови сильної внутрішньоатомної взаємодії між локалізованими магнітними моментами виникають непряма (через зонну підсистему) обмінна взаємодія, пропорційна до четвертого степеня інтеграла гібридизації, і непрямий перенос носіїв струму в локалізованій підсистемі (пропорційний квадрату інтеграла гібридизації). В цій же моделі було показано можливість пояснення дробового атомного магнітного моменту (за рахунок гібридизації) в перехідних металах і спостережувані температурні залежності "Т2" і "Т32" для намагніченості. На сьогодні періодична модель Андерсона користуєтьсянадзвичайною увагою і є поряд з моделлю Габбарда основою для опису властивостей вузькозонних матеріалів. У роботах [4,5] на основі одно- та дводомішкової моделей Андерсона досліджувалася електропровідність систем із квантовими точками. При цьому у гамільтоніані в роботі [5] враховувалися процеси кулонівської взаємодії та гібридизації „зонних" і „локалізованих" рівнів та досліджувалася залежність провідності від величини кулонівської взаємодії між локалізованими електронами. За результатами роботи [4] можна зробити висновок, що магнітне впорядкування в системі зонних електронів відіграє важливу роль у спін-залежному транспорті крізь квантову точку.

Мета цієї роботи - вивести ефективний гамільтоніан моделі андерсон-габбардівського матеріалу, який враховує основні типи взаємодій як у підсистемі локалізованих, так і в підсистемі колективізованих електронів, а також гібридизацію цих підсистем і дозволяє класифікувати процеси непрямого обміну та непрямого переносу в системах з андерсон-габбардівськими центрами.

1. Модель андерсон-габбардівського вузькозонного матеріалу. Сформулюємо модель андерсон-габбардівського матеріалу, яка узагальнює моделі, запропоновані у роботах [2,6], і враховує особливості кореляційних ефектів у вузьких зонах. Гамільтоніан моделі без урахування орбітального виродження як "локалізованої" ("d'-підсистеми), так і "зонної" ("^"-підсистеми) візьмемо у вигляді

H = Ho + Явз, (1)

де

ka

ika ijk

i * j

Тут Sr - енергія електрона провідності з квазіімпульсом к; V(ik) i V(ijk,-k) -матричні елементи, які описують відповідно "одноелектронну" і "двоелектронну" гібридизацію "зонних" і "локалізованих" електронів; d+a, dia - оператори народження

і знищення електрона зі спіном a на /'-тому центрі у "йГ-стані; a+ , ar   - оператори

ka ka

народження і знищення електронів провідності зі спіном a і квазіімпульсом к . Hd описує підсистему "локалізованих" електронів з гамільтоніаном:

Hd = {Ed -MJZ d+adia (Madja ^ ja"a + efi) +

і a ija ija

1 1 (4)

r\    /    J        \^ /    iu     j<->      iu      ju r\

ijaa' ijaa'

де

P* І

- ефективний інтеграл переносу між найближчими сусідами у розглядуваній моделі.

Модельний гамільтоніан (4) враховує основні типи взаємодій у вузькій орбітально невиродженій зоні (міжвузловий перенос електронів - друга і третя суми у (4), кулонівське відштовхування на одному вузлі - четверта сума, міжатомну обмінну взаємодію - п'ята сума і міжатомну кулонівську взаємодію - остання сума), його можна застосувати до розгляду властивостей матеріалів із вузькими зонами провідності. Особливістю моделі, описуваної гамільтоніаном (4), є його специфічнаструктура, зумовлена наявністю трьох типів переходів електронів (і відповідно трьох типів інтегралів переносу), - "зонного" переносу -

{n)d+adja, (6)

корельованого переносу першого типу -

та корельованого переносу другого типу -

YJ'(T(ij)d+Tdjan-+ e.c). (8)

Врахування взаємодії, яка представлена останньою сумою у виразі (3), може бути аргументовано, зокрема тим, що взаємодія, близька за своєю природою до розглядуваної,

(j {ijnm )d+ <і+.± ant aA + (9)

ijn

яка описує двоелектронний перенос між аніоном і сусідніми катіонами (взаємодія 180°-типу), є важливою для стабілізації антиферомагнітного впорядкування в матеріалах із вузькими зонами провідності (тут і і j - найближчі катіонні вузли, n - аніонний вузол, розміщений між ними).

Hd у виразі (2) враховує взаємодії в d-підсистемі, зумовлені прямим перекриттям відповідних хвильових функцій. Представлення Hd у формі (4) може бути виправданим лише для випадку опису d-підсистеми 3d-металів (і, можливо, сполук типу оксидів ванадію і титану, де також можна чекати помітного прямого перекриття хвильових функцій сусідніх катіонів). Для сплавів перехідних металів із неперехідними, переважної більшості оксидів, сульфідів і селенідів перехідних металів, зокрема високотемпературних надпровідних матеріалів, сполук на основі рідкоземельних елементів, пряме перекриття хвильових функцій у підсистемі локалізованих електронів слабке, тому тут можна знехтувати всіма матричними елементами, які описують міжатомний перенос електронів та міжатомну взаємодію й записати

Hd = (Ed -fi d+adia + d+dAdti . (10)

ia i

Зауважимо щодо використовуваних тут термінів "локалізовані" електрони і "зонні" електрони. Якщо розглядається перехідний 3d-метал, то локалізована підсистема - 3d-електрони, а зонна підсистема - s-p-електрони (як і для розбавлених сплавів); для випадку, який реалізується в оксидах, локалізована підсистема - також 3d-електрони, а енергетична зона формується як 3d-підсистемою, так і 2/?-електронами кисневої підсистеми й, можливо, 4^-електронами катіонної підсистеми; у сполуках на основі рідкоземельних елементів локалізована підсистема - це /-електрони, а зонні стани формуються s-p-d-електронами.

В моделі, розглянутій вище, прийнято, що зонна підсистема описується в наближенні вільних електронів. Можливість опису підсистеми електронів у рамках стандартної зонної теорії блохівськими функціями не викликає сумнівів для випадку s-або /^-електронів у перехідних і рідкоземельних металах та їх сплавах і, можливо, ^-електронів у перехідних металах (хоча, мабуть, варто говорити про гібридизовані s—p—hg-стани через близькість енергій цих електронів у вільних атомах [7]). Проте існують класи речовин (де представлення однієї з підсистем у термінах локалізованих магнітних моментів цілком виправдане), для яких модельний гамільтоніан (1) незастосовний, бо зони провідності в таких матеріалах вузькі й тому не можуть бути описані на основі зонної теорії без урахування кореляційних ефектів. До таких речовин можна віднести сполуки типу SmS, тверді розчини типу Sm1-xReS (Re=Ga, Yb, Gd, Nd), 170системи з важкими ферміонами (CeAl3, CeCu2Si, CeCu6, UPt, UBe13 та інші, див. у цьому зв'язку огляд [8]) і т.і. Прикладом низьковимірної системи з важкими ферміонами може бути нещодавно синтезований методом молекулярної епітаксії шаруватий матеріал CeIn3, в якому можливі квантові переходи [9].

У згаданих вище матеріалах унікальність фізичних властивостей зумовлена, в основному, саме наявністю вузької зони провідності. Тому для опису фізичних властивостей таких речовин необхідно враховувати кореляційні ефекти в зоні провідності. Найпростіший і природний шлях узагальнення моделі, представленої гамільтоніаном (1), на випадок вузької зони провідності полягає у заміні

ka

де Hc має таку ж структуру, як і гамільтоніан, заданий виразом (4); гамільтоніан „локалізованої" підсистеми в даному випадку природно взяти у формі (10). Таким чином, для опису властивостей (c-^-підсистеми (на відміну від s-d-підсистеми, якій відповідає гамільтоніан (3)), можна виходити із гамільтоніана

H = Hc + Hd + Hcd. (12) Hcd є узагальненням s-d гібридизаційної взаємодії у s-d-моделі:

Hcd =2Z(V(>j Kdja+ e.c.)+ ZV^PKc+adpada + e.c). (13)

ija ijlpa

У (12), як і в s-d-гамільтоніані (1), не враховані міжцентрові обмінні взаємодії. Як буде показано далі, той або інший тип магнітного впорядкування в d-підсистемі стабілізується, в основному, за рахунок непрямих (викликаних гібридизаційною взаємодією) обмінних взаємодій та, можливо, за рахунок трансляційного механізму обміну в с-підсистемі.

2. „Полярна" модель вузькозонних матеріалів з андерсонівськими центрами. Особливість конфігураційного опису - представлення кулонівського відштовхування на одному центрі у діагональній формі й „перенесення" ефектів, пов'язаних з урахуванням внутрішньоатомних кореляцій, на процеси переносу. Як для випадку габбардівських центрів, що взаємодіють із сусідніми через електронні переходи, так і в системах з андерсонівськими центрами, гібридизаційне представлення (вперше введено при розгляді гібридизаційних s-d-моделей у роботах [2,6]) виявляється досить плідним і сьогодні широко використовується.

Перейдемо у гамільтоніані (12) від електронних d+a, dia -операторів до X

операторів [10,11]. Маємо

H = Ho + H + H2, (14)

де

i i ka

Hx = Ha + Hb, (16) H2 = Hc + Hd + He, (17)

при цьому

Ha =2Z(VaV fa ]c+a X°a + Є.с), (18)

ika

Hb =Z(V (ki ka^2 + Є4 (19)

ika

Hc = 2Е (V (ijk ,-k kt0 Xj0    c_a + e.c.), (20)

ijk

Hd = 2£ V (j*,-* )X? X 21 c_u     + e.c.), (21)

ijk

He = 2X(v {ijk,-kXXf0 X2ic_u ckt _ Xf Xc-a c^)+ ec). (22)

ijk

Введемо параметри, які характеризують відносну величину гібридизації, яка описується відповідно складовими Ha, Hb, Hc, Hd i He:

mi ш -m (23)

Er _ Ed     " ' Ed + U _ Er

I^M.-s£,_hj\ VMk)  )-3d(24)

2(EF _Ed)     cV       ' 2(Ed + U_EF)    dV '

V(ij,_kk)     Mk)• (25)

Якщо для одного із параметрів (і=а, b, c, d, e) у (14) виконується умова 3<<1, то гібридизаційну взаємодію, яка описується відповідним гамільтоніаном Hi, можна врахувати за допомогою теорії збурень (зручна форма якої формулюється саме завдяки конфігураційному опису). Виконання при цьому сильної нерівності типу Ed + U _ EF >> EF _ Ed    (або   протилежної)   дозволяє   знехтувати відповідними

процесами переносу у гамільтоніані (14). Ці висновки узгоджуються з оцінкою гібридизаційних матричних елементів у моделі сполук з важкими ферміонами, наведеною в монографії [12]. Нарешті, доцільність представлення гамільтоніанів

андерсонівського типу через Xkl -оператори зумовлена і зручністю математичного

опрацювання таких гамільтоніанів, зокрема, в методі функцій Гріна.

3. Канонічне перетворення та ефективний гамільтоніан. Згідно з ідеєю переходу до ефективного гамільтоніану приймемо, що параметри, які характеризують відносну величину гібридизації, задов ольняють ум ова м

 (ki )<< 1,  З, (ik )<< 1,   3c (k ,_kij )<< 1,

3d (ij ,_kk )<< 1,  3e (j,_kk) і здійснимо канонічне перетворен ня, яке виключає із гамільтоніана (14) складові першого порядку по V (ik ) і V (ijk ,_k ):

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Л Дідух, О Крамар, Ю Скоренький - Ефективний гамільтоніан періодичної моделі андерсона для опису систем з квантовими точками