О І Олємскои, І О Тттудл, С С Борисов - Загальні питання термодинаміки, статистичної фізики і квантової механіки - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ ТЕРМОДИНАМІКИ, СТАТИСТИЧНОЇ ФІЗИКИ І КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ

УМОВИ САМООРГАНІЗОВАНОЇ МОДУЛЯЦІЇ

О.І. ОЛЄМСКОЙ, І.О. ТТТУДЛ [1], С.С. БОРИСОВ[2]

удк 539.2 Інститут прикладної фізики НАН України

©2008 р. (Вуя. Петропавлівска, 58, Суми 40030; e-mail: alex@ufn.ru),

1 Сумський державний університет (Бул. Римського-Корсакова, 2, Суми 40007)

Досліджено умови народження граничного циклу, які забезпе­чують перехід нерівноважної системи у режим самоорганізо­ваної модуляції. Викладено схему, використання якої дозволяє представити рівняння самоузгодженої еволюції пари дійсних змінних одним рівнянням руху комплексного параметра по­рядку. Знайдено оптимальний базис, у якому його еволюція описується рівнянням Гінзбурга-Ландау, що має тільки ком­плексну нелінійність. Визначено умови переходу у режим са­моорганізованої модуляції.

мування статистичних станів, яким відповідає незмін­ний за часом локальний мінімум ефективного по­тенціалу, але і до утворення часових, просторових або просторово-часових дисипативних структур, ево­люція яких визначається набагато складнішою при­тягуючою множиною, ніж точка.

Часто утворення такого роду структур відбуваєть­ся за сценарієм біфуркації Хопфа, у результаті якої утворюється стійкий граничний цикл [5]. Оскільки при цьому еволюція системи зводиться до періодичної зміни величин, які параметризуют її поведінку, то можна говорити, що народження граничного циклу означає перехід системи у режим самоорганізованої модуляції.

Такий режим досліджували у рамках най­простішої схеми, яка дозволяє представити з єди­ної точки зору як фазові переходи, так і утворен­ня дисипативних структур [6]. Ця схема ґрунтуєть­ся на синергетичній моделі Лоренца-Хакена, у рам­ках якої самоузгоджена поведінка системи представ­ляється еволюцією параметра порядку, спряжено­го поля і управляючого параметра [7]. На відміну від звичайних синергетичних систем прояв само-рганізованої модуляції передбачає, що найбільший масштаб зміни часу має не одна, а пара степенів свободи. Якщо до них відноситься параметр по­рядку, швидкість зміни якого лінійно залежить від інших параметрів, то народження граничного ци­клу виявляється неможливим, і поведінка системи не відрізняється від термодинамічного перетворен­ня Н-

У зв'язку із сказаним постає актуальним дослі­дження умов народження граничного циклу, що за­безпечують перехід у режим самоорганізованої моду­ляції. Розгляду таких умов присвячена монографія [5], однак в силу зайвої формалізації вона досить складна для сприйняття. Крім того, виявляється, що знайдений у роботі [5] критерій народження гра­ничного циклу є настільки громіздким, що його ви­користання практично неможливе навіть для най­простіших систем. Тому ми проводимо послідовний розгляд умов переходу у режим самоорганізованої модуляції, закінчуючи розгляд чисельним розв'язком рівнянь руху, який підтверджує достовірність знайде­ного критерію.

Роботу побудовано таким чином. У розділі 2 ви­кладено схему, використання якої дозволяє предста­вити рівняння самоузгодженої еволюції пари дійсних змінних одним рівнянням руху комплексної змінної, в якому виділено лінійний доданок (в математич­ній літературі таке рівняння відносять до канонічної форми Пуанкаре). Розділ 3 присвячено вибору оп­тимального базису комплексного параметра поряд­ку, в якому його еволюція описується стандартним рівнянням Гінзбурга-Ландау, що має тільки кубічну нелінійність. У розділі 4 знайдено умови утворення граничного циклу, які досліджуються у розділі 5 для системи Лоренца, що відчуває переривчасте перетво­рення.

2.   Комплексне зображення рівнянь руху

Згідно з теоремою про центральну багатостатність [5], еволюція системи, що має п > 2 степенів свободи, мо­же бути зображена періодичними залежностями пари дійсних змінних Xi(t), Xzit). Тому задача зводиться до визначення умов, за яких рівняння руху цих змін­них

А 2 oj Х\ + АА2

(2)

F«,   F« =F«(X1,X2);

визначена дійсними параметрами А, иі. Дійсно, ділен­ня одного з цих рівнянь на друге з подальшим інте­груванням за умови А = 0 приводить до рівняння ко­ла Xf+X$ = const із сталою, що визначає його радіус. Звідси видно, що у загальному випадку рівняння (1) дають граничний цикл, якщо їх лінійна складова зво­диться до системи (2). Це означає, що у стаціонарно­му стані Хі = Хю, Х2 = Х20, де зникає залежність від часу, матриця Якобі

OF

ox

а

а, /3 = 1,2,

Хр = Хр0

набуває канонічної форми

А — и ш А

(3)

(4)

яка незважаючи на простоту має самий загальний вигляд. Дійсно, на діагональні компоненти матриці (4) накладається умова, щоб вони одночасно дорів­нювали нулю в критичній точці яка відповідає на­родженню граничного циклу. Тому вони можуть ро­зрізнятись тільки чисельним коефіцієнтом, від яко­го легко позбавитись за рахунок вибору одиниць виміру. Що стосується недіагональних компонент, то збіг їх абсолютних величин є наслідком умови Онзаге-ра на симетрію кінетичних коефіцієнтів у рівняннях (2), а вибір протилежних знаків забезпечує самоор­ганізацію системи.

Рівняння (1) зручно подати у векторній формі

(5)

використовуючи позначення

X =

Хг Х2

f =

(6)

А2

F(2\ =FW(X1,Xz)

(1)

приводять до розв язку, що відповідає граничному циклу (тут і далі крапка над символами означає ди­ференціювання за часом, праві частини рівнянь (1) відображають узагальнені сили, спряжені відповід­ним степеням свободи). Найпростіший приклад гра­ничного циклу дає система лінійних рівнянь Лоткі-Вольтера:

Хі = ААі — 10X2,

У рамках такого подання визначну роль відіграють власні значення А, А і вектори еа, е+ матриці Якобі (3), які задаються спряженими рівняннями

/3=1

:/ЗЄ/3

Леа

/3=1

А[)а

АеІ

Тут показник Ляпунова Л = А + їй)

(7)

(8)

ISSN 0372-4 00Х. Укр- фіз. журн. 2008. Т. 53, N 11визначається інкрементом А і частотою ш. У каноніч­ному випадку (4) власне значення (8) відповідає век­торам

1   ( 1

і

71(1 4

які задовольняють умовам нормування

2

е+е = (е|е) = ^ ejea = 1.

а=1

(9)

(10)

Для придания канонічного вигляду рівнянням (5) введемо псевдовектор

х = X - Хп

(Н)

відрахований від стаціонарного стану Хо, і нелінійну складову сили

f = f Ах.

У результаті (5) зводиться до вигляду х= Ax + f(x).

Визначимо комплексно-спряжені змінні

(12) (13)

Z = (е|ж) =

1

а=1

—= (Хі + іж2)

у/2

х   Ре. = ( ЖІРІЄ

(17)

останнє з яких є результатом комплексного спряжен­ня першого з урахуванням ермітовості оператора Р. Використовуючи вирази (15), (9), (4), легко переко­натись в основних властивостях оператора проекту­вання:

Р" = Р: Ре

РА = АР. (18)

З урахуванням останньої дії оператора (15) на рів­няння (13) з послідуючим множенням на (е| = е+ і додаванням за компонентами отримуємо канонічну форму Пуанкаре:

z = Az + v(z,z), v (z, z) = (e| P I/) = e+Pf, (19) в якій виділено лінійну складову узагальненої сили.

3.   Подання рівнянь руху у формі Гінзбурга—Ландау

Легко переконатись, що перехід від компонентного подання

х\ = F^ (хі,Х2),

2

__, ., - 1 і-     ■- \ ілл\    X2 = F(2){xi,x2) (20)

z = (x\e) = 2_^xaea =(хл-ix2), (14)

a=l

до канонічного рівняння руху для комплексної змш-

які є проекцією вектора стану (11) на власні вектори ної z = -^(жі+іжг), визначеної рівняннями (14),

(9) матриці (4). Вони отримані дією оператора про- (і7); досягається поданням правої частини (19) ком-

ектування плексною силою

Р = |е)(е| = Ц_|   I j (15) F = F(z,z) =

на початковий псевдовектор (11), записаний у компо­нентній формі (6): 1   Гр(і) {хі (г> 2)fX2 (Zj 2)) + iF(2) {хі (г> 2)fX2 (Zj f )}1 _

Fx=If    1   І )     = *і+^ (    1     нге. (21)

2 V -і   1 / V ж2 / 2      V -і

(16)    її нелінійна складова v = FAz подається рядом1

Помноживши це рівняння на е+, отримаємо матрич­ний вираз означень (14):

V(Z,Z)=      У      ^P;ZmZn + 0(\z\4),     \zf = ZZ

^ mini

2<ro+n<3

о / = (еІРІж) , (22)

'Ми не зупиняємось на причинах вибору верхніх меж підсумовування в (22), (ЗО), вважаючи їх інтуїтивно зрозумілими. Математичне пояснення такого вибору можна знайти в роботі [5].з коефіцієнтами _ dm+nv(z,z)

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

О І Олємскои, І О Тттудл, С С Борисов - Загальні питання термодинаміки, статистичної фізики і квантової механіки