О І Олємскои, І О Тттудл, С С Борисов - Загальні питання термодинаміки, статистичної фізики і квантової механіки - страница 3

Страницы:
1  2  3  4 

ли л

R>2 Г "21 2ЛЗл^-^Х2І,,Л-

(42)

V=( лі  ^L) (47)

приводить комплексну силу (21) до вигляду

Т = VF. (48)

У результаті знайдений в роботі [5] критерій утворен­ня граничного циклу виражається доволі громіздкою нерівністю

2и>о ^J^iJi + -^"122) + {^222 + ^112)] <

• ТІ

(і)

■г(2) _ Т{2) - 9Т{1] "її       -^22       е 12

(2)

22

Т{1) - т{1)

"її •'22

(49)    S = є-1 [Se - S(l + E2)} .

Тут на відміну від (44) нижні індекси вказують ди­ференціювання за компонентами перетвореної коор­динати у, а не початкової х.

5.   Самоорганізована модуляція системи Лоренця

Для підтвердження правомірності критерія (44) до­слідимо систему Лоренца, поведінка якої задається рівняннями еволюції напруги поля випромінювання Е, поляризації середовища Р і різниці заселеності рів­нів S [1]. В цьому випадку режим самоорганізованої модуляції можливий тільки за умови, що рівняння для напруги набуває нелінійний внесок, зумовлений дисперсією її часу релаксації [6,8]. В результаті по­ведінка системи описується рівняннями

тЕЕ = —Е + аЕР - (р(Е), ір(Е) =

тРР = ^P + apES;

tsS = (Se ^S)^ asEP

кЕ

(50)

Тут те, тр, tsмасштаби зміни величин, вказаних ін­дексами, а>е, ар, as - додатні константи зв'язку, к > 0 - параметр нелінійності, Ет - характерне значення напруги, Se - параметр накачки. Будемо вимірювати величини t, Е, Р, S у масштабах те, Es = (apas)-1^2, Ps = {a2EaPas)^1/2, Ss = (авйр)"1. Тоді рівняння (50) набувають вигляду

-Е + Р-ір(Е), ір(Е) =

аР= -Р + ES,

eS = (Se ^S)^ ЕР,

кЕ

1 + Е2/Е2'

(51)

де введено співвідношення характерних часів а = тр/тЕ, є = ts/te-

За виконання адіабатичної умови тр -С те ліву частину другого рівняння (51) можна покласти рів­ною нулю, в результаті чого поляризація виражаєть­ся рівністю Р = ES. Підставляючи її у рівняння, які лишилися (51), отримуємо систему

Е= -E(l-S)-tp(E),

(52)

Стаціонарні стани відповідають невпорядкованому

стану (0, Se) і впорядкованому (Eg, So), де

Е0

So

1 + ~ЕЩ~(^е Sc)

1/2

(1 + Е20) - 7(1 + Е20)2 - (1 - EfWe 1 Е^.

E2o = ^[(Se^l)^(l + k)E2],   Sc = 1 + k. (53)

При зовнішньому впливі, обмеженому інтервалом (S®,SC) з нижньою межею

S°c = 1 + Е2(к - 1) + 2ЕтЛ/к(1 -Щ),

(54)

ефективний потенціал має бар'єр, який приводить до переривного перетворення, а в разі закритичної на­качки Se > Sc фазовий перехід стає неперервним. Та­ка картина реалізується, якщо параметр нелінійності перевищує значення кто,п = Е2/(1 — Е2).

Як показує подальший розгляд, поведінка систе­ми визначається похідними функції (р(Е) у першому із рівнянь (51):

<р'(Е) = к

1 Е^11 (1 + Е2/Е2)2'

<Р"(Е) = -

(ЕІ'Ет)(3 - Е21'Е2;) Ет     (1 + Е2/Е2)3 '

<Р"'(Е) = -

6к 1-6(Е/ЕТ)2 + (Е/Ет)4 Е2        (1 + Е2/Е2)4

(55)

При цьому елементи матриці Якобі виражаються у вигляді

An = S - Ас, Ас = 1 + <р'(Е);   А12 = Е;

Л2і = -2e_1SЈ7;

^(l + E2

(56)

де роль змінних Аі, А2 відіграють величини Е, S, яким слід надати значення 0, Se у невпорядкованому стані і (53) у впорядкованому. У першому з них

Ац — Se Sc,   Ai2 — Л21 0, Л22

—є

(57)

111

^'"(ЕоУ, Fj

(2) 112

^2е"

(63)

Рис. 1. Фазова діаграма, що визначає діапазон стійкого гра­ничного циклу (заштрихована). Нижня неперервна лінія зада­на умовою Ф = 0, верхня - рівнянням С(А > 0) = 0; штрихові лінії визначаються умовою Qw = 0, пунктирна — рівнянням А = 0

Рівняння на власні значення (7) дає інкремент

\=±[(S-Ac)-e-1 (l + Ј2)]

і характерну частоту 1

w = -yJSe^E^S - [(S - Ас) +є-!(1 + Е2)} . Стаціонарний стан втрачає стійкість за умови є(5-Лс) > 1 + Е2,

а коливальна поведінка з'являється за 8eE2S> [e(S - Ас) + (1 + Е2)]2 .

(58)

(59)

(60)

(61)

Для невпорядкованого стану (0, Se) перша із цих умов набуває вигляду

(62)

а друга ніколи не виконується. Це означає, що гранич­ний цикл не може народжуватись із невпорядковано­го стану, і далі ми розглянемо тільки впорядкований.

Для перевірки критерія народження циклу (44) випишемо ненульові похідні узагальнених сил, що входять до нього:

Тоді з урахуванням (55) нерівність (44) набуває ви­гляду

,єк 1^6(Е0/ЕТ)2 + (Е0/ЕТ)4 Е (1 + Eq і Е^.) ^

< і.

(64)

Значення параметрів Se, к, за яких реалізується ця умова, наведено на рис. 1. Із нього видно, що гранич­ний цикл утворюється при значній накачці Se і вели­ких параметрах нелінійності к (згідно з [6], зростан­ня характерного значення напруги Ет розширює діа­пазон самоорганізованої модуляції). Характерно, що значення параметрів Se, к і Ет, за яких реалізується режим самоорганізованої модуляції, не завжди зада­ються умовою Ф = 0, яка згідно з (64) визначає втра­ту стійкості впорядкованого стану (на рис. 1 цій умові відповідає нижня неперервна лінія). Для великих к нижня межа народження граничного циклу (штри­хова лінія) визначається умовою $su) = 0, що забезпе­чує коливальну поведінку з частотою. З іншого боку, незважаючи на стійкість впорядкованого стану з ін-крементом А > 0 вище пунктирної лінії може реалі­зуватись режим самоорганізованої модуляції, в який впорядкована система переходить за сценарієм фазо­вого переходу першого роду. В цьому випадку верхня межа граничного циклу визначається умовою С = 0 при А > 0, яка накладається на параметр нелінійності (42),що задається за додатного значення інкремента (58).

Для підтвердження правомірності нерівності (64) було проведено чисельний розв'язок рівнянь (52) при значеннях параметрів, що відповідають точкам a-f на рисі. Вибір цих точок визначається такими умовами (к, Ет = const):

а) А < 0,   Su; ф 0,   Ф > 0;

Ь) А > 0,   Su; ф 0,   Ф < 0;

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

О І Олємскои, І О Тттудл, С С Борисов - Загальні питання термодинаміки, статистичної фізики і квантової механіки