Т В Блудова, Н П Щекань - Коротко про розвиток числа - страница 1

Страницы:
1  2 

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ

УДК 519.21 Т. В. Блудова, д-р екон. наук, професор,

Н. П. Щекань, асистент, кафедра вищої математики ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана»

КОРОТКО ПРО РОЗВИТОК ЧИСЛА

Відчути мову числа дається не кожному. Збагнути суть його можуть лише вибрані і одержимі, бо, заговоривши, воно стає прозорливим проводирем на незліченних роздоріжжях науки.

М. Сорока (нар. 1935 р.) — український журналіст

У статті розглядається еволюція історичного розвитку поняття числа, його алгебраїчне зображення і розширення на множини цілих, дійсних і комплексних чисел. Приведено прізвища видатних математиків, завдяки яким ми маємо сучасну форму множин чисел та їх зображень.

В статье рассматривается эволюция исторического развития понятия числа, его алгеб­раическое изображение и расширение на множестве целых, действительных и ком­плексных чисел. Приведено фамилии выдающихся математиков, благодаря которым мы имеем современную форму множеств чисел и их изображение.

Ключові слова: натуральні числа, цілі числа, раціональні, ірраціональні числа, ква-терніони, комплексні числа.

Ключевые слова: натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа, кватернионы, комплексные числа.

Keywords: natural, rational, irrational, kvanternions, complex interegs.

Створення в XVII ст. математичного аналізу, основою якого є поняття неперер­вності, що обумовлює його застосування в безмежній області дослідження непере­рвних природних процесів, започаткувало розвиток математичної науки. Матема­тичний аналіз (диференціальне та інтегральне числення) створили одночасно і не­залежно один від одного англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон (1643-1727) і німецький математик, фізик і філософ Готфрід Вільгем Лейб-ніц (1646-1716), який є також творцем комбінаторно-дискретного аналізу, предме­том якого являється символічна логіка. Створенню математичного аналізу сприяло дослідження в геометрії засобами алгебри із застосуванням методу координат і, в основному, послідовне розширення поняття числа.

«Число, як і всяке математичне поняття, є відображенням у нашій свідомості де­яких відношень реального світу», — писав радянський математик О.Я. Хінчин (1894-1959). Поняття про число у нашій свідомості формується в результаті абст­ракції лічби та вимірювання реальних об'єктів. У процесі лічби виникла множина натуральних чисел:

N = {1,2,3,... },

на якій є замкненими тільки дії додавання та множення. Цікавий вислів німецького математика Р. Дедекінда (1831-1916): «Натуральні числа — це вільні витвори люд-

© Т. В. Блудова, Н. П. Щекань, 2010ського розуму». Для виконання дії віднімання натуральних чисел множина N роз­ширюється, вводяться число нуль і цілі від'ємні числа — це множина цілих чисел:

Z = {0, ±1, ±2, ±3,    ±п, ... },

на якій не замкнена дія ділення. Німецький математик Г. Мінковський (1864-1909) вдало підкреслив: «Цілі числа — першоджерело математики».

Для виконання дії ділення цілих чисел множина Z розширюється введенням ра­ціональних чисел (ділення на нуль не має смислу):

Q = {Р: Р є Z, q є N1.

Додатні і від'ємні числа вперше в історії розглядались біля двох тисяч років то­му в Китаї у восьмій книзі праці «Математика у дев'яти книгах». У V-VI ст. від'ємні числа поширились в індійській математиці; вважають, що індійці ввели число нуль. В Європі від'ємні числа вперше (1484) використав французький мате­матик Н. Шюке (1445-1500) у трактаті «Наука про числа». Сучасні позначення до­датних і від'ємних чисел знаками «+» (плюс), «-» (мінус) ввів у кінці XV CT. німе­цький математик Я. Відман (1460-1498). В Європі від'ємні числа стали використовуватися в науці після створення аналітичної геометрії французькими математиками Р. Декартом (1596-1660) і П. Ферма (1601-1665).

Додатні дроби були відомі вже стародавнім цивілізаціям Вавілона та Єгипту. Від'ємні раціональні числа були введені в Італії в епоху Відродження. Загальне ви­знання від'ємних чисел відбулось на початку XIX ст., коли була побудована теорія додатних та від'ємних чисел; початок теорії покладено німецькими математиками Г. Грассманом (1809-1877), Г. Гельмгольцом (1821-1894) і французьким математи­ком Ж. Таннері (1848-1910).

Існують несумірні відрізки: якщо довжину одного з таких відрізків прийняти за одиницю виміру, то інший з них, що вимірюється цією одиницею, не виражається раціональним числом; наприклад, діагональ квадрата і його сторона, прийнята за одиницю довжини, несумірні. «Відношення несумірних величин неможливо вста­новити, оскільки в них немає спільної міри, за допомогою якої вдалося б їх порів­няти», — зазначав французький філософ Н. Мальбранш (1638-1715). Вимірювання несумірних величин, обчислення таких операцій, як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь приводить до подальшого поши­рення чисел, введенням ірраціональних чисел. В аналізі ірраціональним числом на­зивається неперіодичний нескінченний десятковий дріб.

Множина раціональних та ірраціональних чисел називається множиною дійсних чисел.

У геометричній інтерпретації між точками числової осі та дійсними числами іс­нує взаємно однозначна відповідність; вона є властивістю повноти множини дійс­них чисел. З цією властивістю зв'язаний увесь розвиток математичного аналізу.

Дійсні числа ще поділяються на алгебраїчні, якщо вони є розв'язком алгебраїч­них рівнянь з цілими коефіцієнтами. Зокрема, ірраціональні числа, які є коренями з раціональних чисел, — числа алгебраїчні. Всі неалгебраїчні числа називаються трансцендентними (лат. transcendents — що виходить за межу).

Французький математик Ж. Ліувілль (1809-1892) довів (1851) існування транс­цендентних чисел і вперше побудував конкретні класи цих чисел, користуючись методом побудови їх у вигляді нескінченних ланцюгових дробів. Після досліджень Ж. Ліувілля німецький математик Г. Кантор (1845-1918), творець теорії множин, привів просте доведення трансцендентних чисел. Він довів, що множина всіх алгеб­раїчних чисел зчисленна (множина зчисленна, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел), а множина всіх дійсних чисел є незчисленною. Звідси випли­ває, що існує незчисленна множина дійсних трансцендентних чисел.

Французький математик Ш. Ерміт (1822-1901) довів (1873) трансцендентність числа е =2,7182818... .

Німецький математик Ф. Лінденман (1852-1939) довів (1882) трансцендентність числа п = 3,14159... .

Протягом двадцяти п'яти століть витрачено багато зусиль на розв'язання задачі про квадратуру круга: циркулем і лінійкою побудувати квадрат, рівновеликий да­ному кругу. Нарешті було доведено про неможливість її розв'язання, оскільки площа круга одиничного радіуса дорівнює трансцендентному числу п.

Російський математик О. Гельфонд (1906-1968) довів (1936) сьому проблему Гільберта, одну з двадцяти трьох нерозв'язаних проблем у математиці на рубежі XX ст., які поставив (1900) німецький математик Д. Гільберт (1862-1943) на II Міжнародному математичному конгресі, трансцендентність числа аа, a ф 0, ± 1 є алгебраїчне число, со — алгебраїчне раціональне число. Звідси, як наслідок, дістає­мо: десяткові логарифми натуральних чисел, які не є цілими степенями числа 10, є числами трансцендентними. Це має велике значення в науці: десятковими логариф­мами користуються більше трьохсот років, але природу трансцендентності цього класу чисел вдалося розкрити і довести тільки у 40-х роках XX ст.

Після того, коли у працях Б. Больцмана (1781-1848), О. Коші (1789-1857) і К. Вейєрштрасса (1815-1897) було визначено строге означення границі та інших ос­новних понять математичного аналізу, стала можливість побудови теорії дійсних чисел.

У 1872 p. P. Дедекінд (1831-1916) і незалежно від нього, дещо пізніше, Г. Кантор, К. Вейєрштрасс, беручи за основу множину раціональних чисел, побудували теорію дійсних чисел. Оригінальну теорію дійсних чисел побудував (1946) видатний російсь­кий математик A.M. Колмогоров (1903-1987) на основі теорії цілих чисел.

Розширення множини дійсних чисел, яке пов'язане з появою комплексних чи­сел, було обумовлене внутрішньою логікою розвитку математики: в алгебрі у зв'язку з добуванням квадратного кореня з від'ємних чисел та розв'язанням кубіч­них рівнянь привело у XVI ст. до системи нових чисел вигляду a + bV-T; b є R .

Л. Ейлер (1707-1783) у книзі: «Вступ до математичного аналізу» (1746) ввів по­значення V= i та прийняв назву: і — уявна [maginarius] — уявний) одиниця, запропоновану Р. Декартом. Л. Ейлер розглядає нові уявні числа вигляду a + bi; a, b є R , як символи, що не мають ніякого смислу, на які індуктивно поши­рюються всі правила дій та їх властивостей з дійсними числами.

Початок розвитку уявних чисел прослідкувати нелегко. Вважається, що вперше вони з'явились у XVI ст. у працях італійських математиків Д. Кардано (1501-1576) у книзі «Велике мистецтво або про правила алгебри» (1545) та Р. Бомбеллі (1526­1572) у книзі «Алгебра» (1572), де приводяться правила дій над уявними числами та їх застосування до дослідження незвідного випадку кубічного рівняння.

Минуло майже двісті років після введення уявних чисел в алгебру і як вони діс­тали широке поширення у математиці та застосуванні, коли німецький математик К. Гаусс (1777-1855) дав їм геометричну інтерпретацію за допомогою точок евклі-дової площини.

Ще до К. Гаусса інтерпретацію уявних чисел геометричними образами встано­вили англійський математик Д. Валліс (1616-1703) у праці «Історичне і практичне керівництво алгебри» (1685) та німецький математик Г. Кюн (1690-1769), який на­магався (1750-1751) побудувати теорію уявних чисел.

Геометричне тлумачення уявних чисел та арифметичних дій над ними дали: дат­чанин К. Вессель (1745-1818) у книзі «Досвід аналітичного представлення напря­мів» (1799) (тлумачення природи уявних чисел та дій над ними К. Весселем біля двохсот років тому є основою сучасного поняття комплексних чисел, хоча праця К. Весселя залишилася непомітною серед математиків протягом ста років і за цей час його тлумачення про уявні числа відкривались заново в працях інших матема­тиків), швейцарець Ж. Арган (1768-1822) у книзі «Досвід деякого зображення уяв­них чисел у геометричних побудовах» (1806), француз М. Бюе (1748-1826), англі­єць Д. Уоррен (1796-1852) та ін.

Проте К. Гаусс, незалежно від К. Весселя, Ж. Аргана та ін., наприкінці XVIII ст. створює на евклідовій площині геометричну інтерпретацію уявних чисел у праці «Теорія біквадратних величин» (1799) і пізніше в праці «Арифметичні теорії ком­плексних чисел» (1806, 1825, 1831), де, розглядаючи спосіб інтерпретації уявних чисел, назвав їх вперше комплексними числами (лат. complexus — об'єднання) і за­стосував геометричне тлумачення комплексних чисел до розв'язання проблемних геометричних задач, зокрема, про розв'язність побудови правильних многокутни­ків; він поклав початок застосування комплексних чисел.

Уявні числа через їх геометричну інтерпретацію на евклідовій площині дістали реальне тлумачення, з'явились подальшим поширенням множини дійсних чисел і перестали бути уявлюваними. Аналогічно, як і геометрія Лобачевського дістала на­укове визнання та подальший розвиток тоді, коли була побудована її модель геоме­тричної інтерпретації на евклідовій площині (модель (1863) італійського математи­ка Бельтрамі (1835-1900) і модель (1882) французького математика А. Пуанкаре (1854-1912).

Розв'язання квадратного рівняння привело до комплексних чисел вигляду a ± bi. Тому вважали, що для розв'язання рівнянь степеня n > 3, потрібно вводить все нові й нові числа, відмінні від а ± Ьі, тобто комплексні числа a ± bi не єдині.

Голландський математик А. Жирар (1595-1632) уперше (1629) в книзі «Новий вступ до алгебри» та Р. Декарт у «Геометрії» у третій книзі «Про природу рівнянь» (1637) висловили твердження близьке основній теоремі алгебри: число дійсних і комплексних коренів будь-якого алгебраїчного рівняння дорівнює його степені.

Французький математик Ж. д'Аламбер (1717-1783) довів (1741), що будь-яке алгебраїчне рівняння має хоча б один комплексний корінь.

Л. Ейлер дав (1749) чітке формулювання основної теореми алгебри: будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на множники першого та другого степеня з дійсними коефіцієнтами.

К. Гаусс довів основну теорему алгебри; він неодноразово (1803-1817) повертав­ся до доведення цієї теореми і привів не менше шести різних її доведень.

У працях Л. Ейлера, Ж. д'Аламбера та К. Гаусса було доведено, що при будь-яких алгебраїчних та інших математичних діях дістаємо комплексні числа вигляду a ± bi; a, b є R . Цим було доведено, що розширення множини дійсних чисел є множи­на комплексних чисел, на якій будь-які алгебраїчні і трансцендентні дії є замкненими.

До середини XIX ст. установився реальний зміст про комплексні числа і з'явилось намагання подальшого їх узагальнення на тривимірний простір.

Цю проблему поставив ще К. Вессель, але не зміг її розв'язати; її розв'язав (1843) ірландський математик У.Р. Гамільтон (1805-1865). Він розглядає систему чисел а з чотирма одиницями: одна дійсна і0=1 і три уявних і, j, к, яка визначається упорядкованою четвіркою дійсних чисел — a0, a1; a2, a3 є R : a = a0i0 + a1i + a2j + a3k, і назвав її кватерніонами (лат. quatern — чотири). Гамільтон на множині кватерніо-нів описав означення арифметичних дій. Проте кватерніони не є подальшим роз­ширенням комплексних чисел, оскільки в численні кватерніонів не виконується комутативний закон для дії множення.

Числова система — числення кватерніонів — знайшла широке застосування в геометрії, механіці, теоретичній фізиці. Достатньо вказати, що шотландський фізик і математик Дж. К. Максвелл (1831-1879) у кватерніонах записав (1860-1865) свої відомі рівняння (рівняння Максвелла), які явились основою теорії електромагнети­зму. Максвелл писав: «Винахід кватерніонів — крок уперед до розуміння величин, зв'язаних з простором; він рівний за своїм значенням з винаходом Декарта системи координат». Французький фізик і математик А. Пуанкаре (1854-1912) писав: «По­ява кватерніонів дала могутній поштовх розвиткові алгебри; виходячи від них, нау­ка рушила шляхом узагальнення поняття числа, прийшовши до концепції матриціта лінійного оператора, які пронизують сучасну математику. Це була революція в арифметиці, подібна тій, яку зробив Лобачевський у геометрії».

Необхідно відмітити, що Ейлер користувався (1748) в задачах механіки твердого тіла і теорії чисел математичним апаратом, подібним теорії кватерніонів. У чернет­ках Гаусса знайдено нарис «Мутація простору трьох вимірів» (1819), у якому він розглядає систему чисел, як упорядковану четвірку дійсних чисел і дії над ними, які по суті не відрізняються від гамільтонових.

Угорський математик Янош Больяї (1802-1860) подав (1837) працю на конкурс, оголошений лейпцігським ученим товариством на тему «Удосконалення теорії комплексних чисел», у якій будує теорію комплексних чисел, випереджаючи гаміль-тонівську побудову (1843) кватерніонів. Я. Больяї у своїй праці «Appendix» (1832) прийшов до відкриття неевклідової геометрії незалежно від Лобачевського (1829) і Гаусса (дослідження Гаусса по неевклідовій геометрії — її відкриття не були опуб­ліковані, їх виявили тільки після його смерті у переписці з німецькими математи­ками у листах (1819) Швейкарту (1780-1859), (1824) Таурінусу (1794-1874), (1829) Бесселю (1784-1846), а також у зошитах його архіву.

Три генія — Лобачевський, Больяй, Гаусс — незалежно один від одного, дослід­жуючи різними шляхами, відкрили неевклідову геометрію. Після Евкліда протягом двох тисяч років математики марно докладали зусиль на доведення п'ятого посту­лату евклідової геометрії як теореми. Далі Евкліда не зрушились. Дійсно, як прос­то, коли вже відкрито!

Зокрема, числення кватерніонів тільки з трьома одиницями i, j, k вигляду a = a1i + a2 j + a3k є сучасним векторним численням, яке за ініціативою американсь­кого фізика Дж. Гіббса (1839-1903) й англійського фізика О. Хевісайда (1850-1925) стали розглядати без посилання на кватерніони.

Відкриття кватерніонів явилось імпульсом для створення ряду важливих розді­лів сучасної математики, зокрема, теорії матриць, багатовимірної геометрії та ін. «Поява кватерніонів дала могутній поштовх розвиткові алгебри; виходячи від них, наука рушила шляхом узагальнення поняття числа, прийшовши до концепції мат­риці та лінійного оператора, які пронизують сучасну математику. Це була револю­ція в арифметиці, подібна до тієї, яку зробив Лобачевський в геометрії», — писав французький математик А. Пуанкаре (1854-1912).

Усередині XIX ст. почали розглядатися числові системи чисел а з (п+1)-ою оди­ницями: і0 = 1 та i1, i2, ... , in — уявні одиниці, які записуються за допомогою упоряд­кованих дійсних чисел a0, a1, a2,an у вигляді a = a0i0 + a1i1 + a2i2 +... + anin, їх назва­ли гіперкомплексними (п + 1)-го рангу; за цим означенням, зокрема, комплексні числа і кватерніони є гіперкомплексними числами відповідно 2-го і 4-го рангу.

Англійський математик А. Келі (1821-1895), який відвідував лекції Гамільтона по кватерніонам, побудував (1845) гіперкомплексні числа 8-го рангу (тепер їх на­зивають числами Келі), які назвав октавами (лат. octo — вісім), описав дії над цими числами, причому для множення цих чисел не виконуються закони комутативності та асоціативності.

Після створення кватерніонів і октав стала можливість будувати числові систе­ми гіперкомплексних чисел у вигляді упорядкованих рядків з упорядкованими чис­лами в кожному з них, які виявились плідними для застосування.

А. Келі побудував (1858) числову систему нової природи: не рядків, а прямокут­них, зокрема квадратних, таблиць складених з упорядкованих дійсних чисел, вони дістали назву матриць. Він описав відомі тепер дії з матрицями, установив зв'язок між матрицями, комплексними числами, кватерніонами. Матриці широко застосо­вуються в усіх областях науки і техніки.

У другій половині XIX ст. своїми дослідженнями К. Вейєрштрасс, Ф. Фробеніус (1849-1917), Ч. Пірс (1839-1914) довели, що будь-яке розширення комплексних чисел зв'язане з невиконанням законів арифметичних дій.

Таким чином, єдиним розширенням дійсних чисел з виконанням арифметичних законів: комутативності, асоціативності та дистрибутивності є комплексні числа. Множина дійсних чисел є підмножина множини комплексних чисел.

З розвитком теорії комплексних чисел почала розвиватись теорія функцій ком­плексної змінної, основи її закладено у XVII ст. в основному працями Л. Ейлера. Подальший її розвиток зв'язаний з працями О. Коші, Б. Рімана (1826-1866), К. Вейєрштрасса.

Значний внесок у розвиток теорії функцій комплексної змінної і її застосування зробили російські математики І.І. Сомов (1815-1876), Ю. В. Сохоцький (1842­1927), М.Є. Жуковський (1847-1921), М.Я. Сонін (1815-1876), С.В. Ковалевська (1850-1891), С.А. Чаплигін (1869-1942), В. І. Смірнов (1887-1974), І.І. Прівалов (1891-1941), М. І. Мусхелшгвші (1891-1976), М О. Лаврентьєв (1900-1980), Г. М. Голузін (1906-1952), М.В. Келдиш (1911-1978), Д.Є. Меньшов (1892­1988)таін.

Фундаментальні дослідження в розвитку теорії аналітичних функцій здійснили українські математики М.В. Остроградський (1802-1862), М.С. Ващенко-Захарченко (1825-1912), В.П. Єрмаков (1845-1922), Б.Я. Букреєв (1859-1962), С.Н. Бернштейн (1890-1968), Ю.Д. Соколов (1896-1971), О.С. Смогоржевський (1896-1969), Й.З. Штокало (1897-1987), М.П. Кравчук (1892-1942), Н.І. Ахієзер (1901-1980), М.М. Боголюбов (1909-1992), В.А. Зморович (1909-1994), Г.М. По-ложій (1914-1968), П.Ф. Фільчаков (1916-1978), М.Г. Крейн, В.К. Дзядик, М.О. Давидов, Н.О. Пахарєва, Н.О. Вірченко, І.І. Ляшко, B.C. Чемерис, В.І. Лаврик, Л.С. Дундученко, Н.І. Нагнибіда та багато ін.

Теорія функції комплексної змінної знаходить численні застосування в аеро-, гід­ромеханіці, теорії пружності, електротехніці, атомній фізиці, у різних розділах те­оретичної математики, таких як аналітична теорія чисел, диференціальні рівняння та ін.

Широке застосування теорії функції комплексної змінної зумовлюється виклю­чним значенням комплексних чисел у математиці.

Закінчуючи про розвиток числа, хочеться привести вислів семи давньогрецьких мудреців (список мудреців навів Платон у своєму діалозі «Протагор» у 4 ст. до н.е., це — Піттак з Мітіліні (о. Лесбос), Солон Афінський, Клеобул з Лінда (о. Родос), Біант Приєнський, Місон Хенейський, Фалес Мілетський, Хілон зі Спарти): «При­рода числа є те, що дає пізнання, скеровує і навчає кожного стосовно всього, що для нього сумнівне і невідоме. Справді, якби не було числа і його сутності, то ні для кого не було б нічого ясного ані в речах самих по собі, ані в їхніх взаємних сто­сунках... Можна помітити, що природа і сила числа діє не тільки в божественних речах, але також повсюди в усіх людських справах і стосунках, у всіх технічних мистецтвах і в музиці».

Література

1. Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биогр. слов. справ. — 2-е изд., перераб. и доп. К.: Рад.школа, 1987. — 656 с.

2. Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. М.: Просвеще­ние, 1975. — 158 с.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Т В Блудова, Н П Щекань - Коротко про розвиток числа