С А Гриднев - Задача качения эллипсоида по поверхности геликоида - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6 

УДК 531.01

С.А. Гриднев, В.Н. Стрельников г. Краматорск

ЗАДАЧА КАЧЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА ПО ПОВЕРХНОСТИ ГЕЛИКОИДА

Получена система дифференциальных уравнений, описывающих качение эллипсоида по по­верхности геликоида в поле силы тяжести. Задача решена для неголономной связи одноточечного контакта идеально шероховатых поверхностей. В качестве обобщенных координат приняты угловые величины, описывающие положение точки контакта, и углы Эйлера, определяющие по­ложение эллипсоида на винтовой поверхности. Обоснованы начальные и граничные условия.

Ключевые слова: эллипсоид, геликоид, поверхность, кривизна, образующая.

Задача качения тела по поверхности является одной из задач механики неголо-номных систем [1 - 3]. Для решения задач подобного класса П. Аппелем [4], П. В. Воро-цом [5], И. Ценовым [6, 7], С. А. Чаплыгиным [8] были получены специальные уравне­ния, решены ряд задач об устойчивости движения колесных систем: шасси самолета [9], скаты автомобиля, колеса локомотива, а также задачи качения различных тел: качение шара и эллипсоида по плоскости [10], движение шара в цилиндре и конусе.

В данной работе использованы уравнения Аппеля, получены дифференциальные уравнения, описывающие качение эллипсоида по винтовой поверхности.

Определим положение текущей точки контакта М эллипсоида с поверхностью ге­ликоида в инерционной системе координат x y z (рис. 1)

h

xM = cos a cos p ctg v, 2n

h

yM = cos a sin p ctg v, 2n

zm = т~ (p + sin a ctg v), 2n

(1)

где a - угол наклона образующей поверхности геликоида к плоскости перпендикуляр­ной его оси; h - шаг винта; p - полярная координата; v - угловая координата.

Точка М является началом подвижной системы координат X Y Z . Ось X направ­лена по образующей геликоида и проходит через точку М, ось Z по нормали к поверх­ности, так, что образует острый угол с осью z.

В центре масс эллипсоида С расположим системы координат X' Y' Z' и x* y* z * . При этом X' // X, Y' // Y, Z' // Z, ось z* направим по оси симметрии эллипсоида, а ось x* расположим перпендикулярно осям Z' и z * так, чтобы кратчайшим угол поворота от Z' к z * , при наблюдении со стороны положительного направления оси x*, был ост­рым. Связь между ортами i *, j *, k * системы x* y* z* и ортами <?1, <?2, Є3 определяет­ся углами Эйлера в, у/, p* (рис. 2). Угол собственного вращения p* является цикличе­ской координатой.

Вектор MC расположен в плоскости Z' C z*

_       as2 sin в cos в sin w _    as2 sine cose cosy _      _  Г    2 . 2

Tmc =-, — Є1--■ — Є2 + ae^1 -s sin Є, (2)

V1 -s2sin2 в V1 -s2sin2 в

где a - длина большой полуоси эллипсоида;   s - эксцентриситет.

Рис. 1. Положение точки контакта относительно неподвижных координат

Определим радиус - вектор rc в разложении по ортам инерциальной системы ко­ординатах x y z

h a xc = cos a cos p ctg v + .

2n V1 -s2sin2 в

(in p sin v - sin a cos p cos v) +

as 2

2

V1 -s2sin2 в |sinвcosв [cos a cos p sin у + cos у (sin p cosv+

+ sin a cos p sinv)]- sin2 в (sin p sin v - sin a cos pcos v

cos a sin pctg v- a (cos p sin v + sin a sin p cos v))) -s2 sin2 в +

2n

2

as sin в cos в

лА -s2sin2 в cos a sin p sin у - cos у (cos p cos v - sin a sin p sin v

(p + sin a ctg v)+ a cos a cos v V1 -s2 sin2 в +

2n ' sii

V1 -s2sin2 в

as2 sin в cos

sin a sin у - cos a cos у sin

v).

(3)

Дифференцируя по времени выражения (3), найдем составляющие вектора скоро­сти и вектора ускорения центра масс эллипсоида, точки С

Vc = aVc = aAx  p + aAx v + aAx в) + aAx  у,

x x p v в у

Vc = aVc = aAy  p + aAy vv + aAy в + aAy  у,

Vc = aVc = aAz  p + aAz  v + aAz  в + aAz  у,

z z p v в у

(4)

+

+

в

p

V

у

Рис. 2. Положение эллипсоида на поверхности геликоида

где коэффициенты при p, v, в, у определяются по формулам h . 1        л, 2

Axp=

p

-cosa sinp ctgv +-

^(1 - s 2 sin2 в) (cos p sin v +

2na '   "     л/1 -s2sin2 в

+ sina sinp cosv)-s2 sinв cosв [cos a sin p sin у- cos у (cos p cos v -

- cos a sin p sin v)]), A~x v, Ax в, A~x у, Ay , AAy , Ay , AAy

Az

Ax в , Ax у , Ay p , Ay v , Ay в , Ay у , Az p

в у p v в у

~ s2 sinв cosв / . 4 Az   =  . (sinacosу + cosa sin v sin у).

у    V1 -s2sin2 в

Составляющие вектора ускорения центра масс эллипсоида

ac = Vc = aAx p + aAx v) + aAx в + aAx у +

x x p v в у

+ aAx p+ aAx    + aAx в+ aAx у ,

p

у

+ aAy p+ aAy    + aAy в+ aAy у

y

у,

p ' v

aC = VC = aAz p + aAz v + aAz в+ aAz у +

Страницы:
1  2  3  4  5  6 


Похожие статьи

С А Гриднев - Задача качения эллипсоида по поверхности геликоида