А Ю Рашковслий - Задача дирихле в классе плюригармонических функций в обобщенном единичном круге - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 517.575

А. Ю. РАШКОВСлИЙ

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В КЛАССЕ ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОБОБЩЕННОМ ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ

Пусть Un единичный поликруг в Сп, Тп его остов, 0(t) нормированная мера Лебега на Тп, P(z,c) ядро Пуассона для

Un(z£Un, t£Tn), РШ(г)= У P(z, £)ф(£) — интеграл Пуассона меры (jl на Тп.

Известна следующая теорема Y. Рудина [I]:

Теорема 1. Пусть F(£)полунепрерывная снизу положитель­ная функция на Тп, /rgZ1(7VI). Тогда существует сингулярная мера \>0 на Тп такая, что P[Fda dX] является плюригар-монической функцией в Un.

В [2] содержится подобный результат для единичного шара в Сп.

Настоящая  работа  посвящена   доказательству аналогичного

утверждения для обобщенного единичного круга D[1]'.

Пусть 2 квадратная матрица порядка п, составленная из я2 комплексных чисел; ее можно рассматривать как точку в С"2. Матрицу, сопряженную к г, будем обозначать г[2].

Обобщенным единичным кругом называется область Dn в С"2! Dh = {z: Iz[3]z > 0}. Приведем некоторые предварительные сведе­ния об этой области (см. [3, 5, 6]).

1. Границей Шилова области Dn является множество унитар[4] ных матриц порядка п: Un = {t: Z,% = І).

2. Ядро Пуассона области D„ имеет вид

Если [Л комплексная борелевская мера на Un, то интеграл Пуассона меры \± будем записывать в виде Р [\х] (z) = J P(z,

Qd\l{Q. Пусть 0 нормированная мера Хаара на Uп. Если f^L1(c/rt), то Р [Fda] будем обозначать просто Р [F].

3. Если F g A (Dn) (т. е. F голоморфна в Dn и непрерывна в Dn), то F(z) = P[F}(z) (z£Dn).

4. Если F = Р    , то F     -> ц (£ £ Un) в слабой топологии

г->-1

мер.

Если ф = Gdo + dk, где GgL1 (£/„), а А, сингулярная (отно­сительно меры 0) мера на Un,разложение Лебега меры fx, то F имеет допустимый предел[5], равный G(£), для почти всех

5. Пусть Tf(c,) унитарное представление порядка Nf группы

Un с сигнатурой / = (/lt f2.....fn)^Zn, т. е. f,-£Z (/=1, ....

п)> fi > fi >■ • • • > fn- Тогда совокупность {7^ (£)} (для всех сиг­натур /) образует полную систему попарно неэквивалентных непри­водимых унитарных представлений группы Un.

6. Пусть Tf(t) имеет в каком-либо базисе вид.

Tf{l) = (&(Є))3=і; положим фЙО = (Nfytiv(Q. Тогда {q&(£)}

4[6] 93образуют полную ортонормированную систему в L2(Un). Всякая непрерывная функция на Uп может быть равномерно аппроксими­рована линейными комбинациями вида ~У.а); ср,-/ (?) (теорема ПетераВейля).

7. Пусть Z'l = {f£Zn:fn> 0}. Если /£Z*, 1 < і, j «s Nh т0 ф[/ (?) есть однородный полином степени || /1| = | f11 -f ... -f I / |. Любая функция F, голоморфная в Dn, может быть разложена в ряд

F(z)= S    2 аУа{г) (z£Dn). f& г',/=І

8. P(z, s)= £   S Ф?/(2)Ф?/(«,

A^Z" I'"' = 1

где Ф?;- (2) = P [ф?,-] (г). Ряд сходится равномерно в области Drn = = {z:r/ г*г > 0} (0<r< 1).

Опираясь на эти факты, перейдем к доказательству результа­тов, полученных в настоящей работе.

Пусть jx мера на Un; коэффициенты Фурье мерьі_цотноси­тельно системы {ф,-/ (с,)} будем обозначать Д (/; і, /) = f ф£; (?) d\i (?).

Теорема 2. Функция F = Р [ц,] голоморфна в Dn тогда и только

тогда, когда \i(f; і, j) = 0 V f § Z%, I < і, ] < Nf (1).

Доказательство. Пусть F = P [ц] голоморфна в Dn, 0 < г < 1. Тогда Fr (?) = F (г?) есть сумма равномерно сходяще­гося  в  Dn ряда У]     2    4/фу(?),   поэтому   ^r(/;   t, /) = 0

V / ^ Z", 1 < г, / < Afy. Выберем последовательность r^-v 1 такую, что  />   слабо сходится к ц при k-^-oo. Тогда і, j) =

^limFr (/; t, /), т. e.        t, /) = 0 при / <J Z?,  1 < i, / < Л/,.

Обратно, пусть выполнимо соотношение (1). Тогда

Поскольку ряд равномерно сходится в области Dn, а Фы (г) ана-

литичны при AgZ", то F(z) аналитична в Dn, что и завершает доказательство.

Пусть Z1 = {/ 6    ; < 0} и положим 7„ = Zn+ (J ZI.

Теорема 3. Пусть действительная мера на Un. Тогда Р = р [jji] является плюригармонической функцией в Dn тогда и только тогда, когда р,(/; г, j) = 0 для V f § Yn, 1 < і, j < < Nf (2).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

Для дальнейшего нам понадобится следующая конструкция. Пусть М целое положительное число. Положим # = {££ £ Un: (det Z)M = Ц- Очевидно, что Н компактная подгруппа Un;) пусть \lh ее мера  Хаара. Назовем сигнатуры f = (}г,.... , fn

и g = (gl.....gn) Я-эквивалентными {fHg),  если существует

k£Z: fj-gf^kM (/=1, ... , п).

Лемма.

/ tr\ „г m а„        J 1 - есл" /Яё"> [7] =     / = £ ф«7 (О Фа/ (С) <Ч[8] (6) = \ 0, б противном случае н

Доказательство. Очевидно, что все Т{ являются непри­водимыми унитарными представлениями группы Я. Покажем, что если f и g не Я-эквивалентны, то неэквивалентны и представле­ния Tf и Tg группы Я.

Пусть Tf Tg, т. е. существует невырожденный оператор Л такой, что 7>(t) = A^Tgit) А{Ч$£Н).

Возьмем произвольную диагональную матрицу 0 £ Я, 0 = = [eies . . . , et6«]. Тогда спектры 7>(в) и Тг(0)

и

,  і(р5в14-РІ(в,+. • ■ +Рпвп)     f(pi6H~ ■+P,fin) НрТв1+--+Р^вп)х

, " , . . . , с |

, '(?1ві+<7|вг+- ••+?^в„)      і(«?Є1+---+'?ДЄп) '(9?1в1+--.+?Й1вга)г

соответственно,   где   m = Nf = Ng,   (р{, pit)веса Tf,

(q{, . . . , qh) веса Ts (j = 1, . .. , m). Поскольку представления Tf (O) и Ts(@) эквивалентны, то совпадают и их спектры. Пусть (q[, . . . , qrn) = {qx, . . . , <?„) — старший вес Tg. Тогда я..еНч^+-+^п) = ецр[^+...+р^п)_ Так как это справедливо для

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А Ю Рашковслий - Задача дирихле в классе плюригармонических функций в обобщенном единичном круге