В А Литовченко - Задача коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с негладкимисимволами - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22 

УДК 517.956.4

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С НЕГЛАДКИМИ

СИМВОЛАМИ CAUCHY PROBLEM FOR ONE CLASS OF PARABOLIC PSEUDO-DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH ROUGH SYMBOL

В.А.Литовченко ( V.A.LITOVCHENKO)

Аннотация. В классе обобщенных функций конечного порядка установлена коррект­ная разрешимость задачи Коши для параболических псевдодифференциальных систем, символы которых являются негладкими функциями в фиксированной точке h є М™, по­рожденными однородными порядка 7 > 0 функциями, зависящими от времени; а также доказана теорема о свойстве локализации решения этой задачи.

Введение

Первые исследования задачи Коши для простейших (модельных) псевдодифференци­альных уравнений с однородными символами были осуществлены С.Д.Эйдельманом и Я.М.Дринем еще в начале 80-х годов прошлого века [1]. Вскоре они рассмотрели уравне­ния более общего вида и получили ряд важных результатов, связанных с разрешимостью задачи Коши в классах гельдеровых функций, шоудеровскими оценками и свойством ста­билизации решений [2-4]. Точное асимптотическое поведение фундаментального решения в окрестности бесконечно удаленных точек, которое оказалось не экспоненциальным, как в случае дифференциальных уравнений, а степенным, было установлено М.В.Федорюком [5].

Следует отметить, что методика исследования свойств фундаментального решения, ис­пользуемая в указанных работах, своей спецификой накладывает ограничения на порядок однородности 7 главного символа уравнения: 7 > 1.

Применяя новый метод к исследованию свойств параметрикса задачи Коши для линей­ного параболического псевдодифференциального уравнения с символами определенной гладкости вне начала координат, зависящими от времени и пространственной переменной (который базируется на использовании элементов теории обобщенных функций и гар­монического анализа), истолковывая при этом псевдодифференциальный оператор как гиперсингулярный интеграл, Кочубей А.Н. впервые получил точные оценки параметрик­са в случае, когда размерность пространства больше единицы и 7 > 1, а также доказал существование (а в некоторых случаях и единственность) решения задачи Коши в классе непрерывных ограниченных функций [6].

В случае обобщенных начальных данных (конечного порядка) задача Коши исследова­лась в [7, 8], при этом была установлена ее разрешимость (в частности - корректная для финитных обобщенных функций), а также принцип локализации. Но, к сожалению, эти результаты не совсем правильно обоснованы. Дело в том, что в указанных работах при исследовании существенным образом используется критерий сходимости в пространстве Ф:

Ф = W Є C°°(Rn) \vk Є Z\3c > 0Vx Є Мп : \Dkxф)\ < c(1 + \\x\\)-{n+\k\+Y)};

p

\*\\* = І11! і E(1 + \\x\\)n+1+lY, DkMx)\ } ,   V Є ФЄ Z+

l=0 \k\=l

1991 Mathematics Subject Classification. 34K10.

Key words and phrases, задача Коши, псевдодифференциальные системы, негладкие символы, сверты-ватели, обобщенные функции, матрицант.

(элементы данного пространства при ЦжЦ +оо характеризуются асимптотикой фун­даментального решения, установленной в [5]; здесь || || - эвклидовая норма в Жп, \k\ = k\ + • • • + kn, k Є Z+, a C00(L) - совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций на множестве L): а также факт п. ютностп пространства D финитных функций из C°(Ш.п) в пространстве Ф. Оказывается, что ни сформулированный в [8] критерий сходимости, ни плотность D в Ф не имеют места.

D не мо^кет быть плотным в Ф одномерным случаем). Рассмотрим для этого функцию

p(x) = (1 + x2)~(l+l)/2,   x Є R,y> 0.

По индукции, легко убедиться в том, что производные этой функции имеют вид

Dkp(x) = Pk(x)(1 + x2y(k+(Y+l)/2\   x Є R,k Є Z+,

где Pk() - полином степени k. Следовательно, конечны все полунормы ЦрЦр, p Є Z+ и функция ^принадлежит простр анству Ф. С другой стороны, для любой функции f Є D выполняется неравенство

p

lP(x) - f (x)llp > lim    £(1 + \x\)k+'+Y\Dkx(p(x) f (x))\

k=0

lim [Y(1 + \x\)k+'+Y (1 + x2)~(k+(Y+1)/2)\Pk (x)\) = 6> 0,

\k=0

при этом 8 не зависит от f.

Ф

в соответствии с ним не трудно убедиться, что для каждого элемента ір Є Ф последователь­ность {п(^)р(^),и > 1} С D, где г/ - бесконечно дифференцируемая финитная функция такая, что n(x) = 1, \x\ < 1, стремится к р при v +ос, по топологии пространства Ф (т.е. D = Ф).

Что касается систем псевдодифференциальных уравнений с однородными символами, то автору известны только работы С.Д.Эйдельмана и Я.М.Дриня [9, 10], в которых пе­реносятся результаты А.Н.Кочубея (фактически без доказательств, не считая схемы) на случай параболических систем уравнений, рассмотренных в [6], а также диссертацион­ная работа Р.Я.Дриня [11] (выполненная несколько позже под руководством Эйдельмана С.Д.), одним из результатов которой считается доказательство оценок фундаментальной матрицы решений для простейшего случая систем из [10]: постоянный символ псевдодиф­ференцирования; отсутствие младших членов.

Таким образом, на сегодня в теории задач Коши для псевдодифференциальных урав­нений (систем) с негладкими символами остаются еще проблемными следующие вопросы:

1) развитие методики исследования свойств фундаментальной матрицы решения для линейных параболических псевдодифференциальных систем с однородными символами;

2) решение задачи Коши для таких систем в случае 0 < 7 < 1;

3) строгое обоснование результатов, полученных в [7] и распространение их на случай параболических систем с негладкими символами.

Изучению этих вопросов и посвящена настоящая статья.

Отметим основное содержание работы. В п. 1 описаны пространства основных и обоб­щенных функций, используемых в дальнейшем при решении задачи Коши для линейных параболических систем псевдодифференциальных уравнений, символами которых есть функции вида aY(• — h), ще aY(•) - однородная функция измерения 7 > 0 определен­ной гладкости, зависящая от параметра t Є (0; T], a h произвольным образом фикси­рованная точка пространства Rn; изучены их свойства полноты и совершенства, а также доказан критерий сходимости. Исследование свойств фундаментальной матрицы решений и установление корректной разрешимости задачи Коши в классе начальных обобщенных функций медленного роста, выполнены в п. 2. При этом существенным образом исполь­зуется идея А.Н.Кочубея, реализованная им при исследовании параметрикса [6], а такжеэлементы теории матрицанта [12]. Следует отметить, что, хотя линейной подстановкой x h = y исходная задача Коши сводится к соответствующей задаче с однородными сим­волами, поэтому особого интереса с точки зрения техники исследования не представляет, но в случае смещения "акцента" негладкости символов с начала координат в другую точку пространства, существенно изменяются функциональные свойства фундаментальной мат­рицы решений. Оказывается, что ее степенной порядок убывания на бесконечности оста­ется уже неизменным при дифференцировании по пространственной переменной (сравни с асимптотикой, полученной в [5]). В третьем пункте изучается вопрос локального усиле­ния сходимости решения задачи Коши при приближении его к начальной гиперплоскости: доказывается принцип локализации.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22 


Похожие статьи

В А Литовченко - Задача коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с негладкимисимволами