Г В Завізіон, І Г Ключник - Задача коші нелінійної системи диференціальних рівнянь із запізненням - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2012, № 1

УДК 517.928

ЗАДАЧА КОШІ НЕЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ

Г. В. Завізіон, І. Г. Ключник

Кіровоградський державний педагогічний університет ім. В. Винниченка, м. Кіровоград

Побудовано асимптотичний розв'язок нелінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням.

Ключові слова: задача Коші, сингулярно збурена система диференціальних рівнянь, асимптотичний розв'язок, змінне запізнення.

Вступ. Сингулярно збурені системи диференціальних рівнянь із запізненням вивчаються в різних напрямках. Так в [1] пропонуються методи асимптотичного інтегрування лінійних сингулярно збурених систем із запізненням, а в [2] метод кроків з [1] застосовується до лінійних інтегро-диференціальних сис­тем рівнянь з сталим запізненням і виродженою матрицю при похідній. Питання існування розв'язку і обґрунтування методу усереднення для багаточастотних крайових задач з сталим запізненням для сингу­лярно збурених систем вивчалися в [3]. В [4] досліджуються питання існування інтегральних многовидів в лінійних сингулярно збурених диференціально-різнецевих рівнянях. За допомогою примежових функ­цій в [5] інтегруються нелінійні диференціально-різнецеві рівняння з малим запізненням. Самі проміжко­ві функції задовольняють автономну нелінійну систему диференціальних рівнянь або лінійну неоднорід­ну систему диференціальних рівнянь.

В даній статті розглядається нелінійна сингулярно збурена система диференціальних рівнянь з змінним запізненням. Будуються асимптотичні розв'язки, вигляд яких залежить від кратності коренів характеристичного рівняння і метод дає можливість в явному вигляді записати потрібну кількість на­ближень розв'язку. Пропонується спосіб побудови асимптотичного розв'язку задачі Коші нелінійної си­нгулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із змінним запізненням у випадку простих коренів характеристичного рівняння.

Асимптотичний розв'язок. Розглянемо систему диференціальних рівнянь вигляду

dx

є— = f (t, x(t, є), x(tsA(t), є), є), (1) dt

з початковою умовою

x(0, є) = x0

де    є(0 <є<єо)    -   малий   параметр,    t є [0; L], A (t)    -   скалярна функція, x(t, є), y = x(tєА^), є), x0 n - вимірні вектори. Припускаємо виконання умов:

1) вектор f (t, x, y, є) має розвинення

со

f (t, x, у,є) = г (t, x, y),

i=0

і вектори f (t, x, y) (i = 0,1...) мають нескінченну кількість частинних похідних за змінними t, x, y і функція A(t) > 0, tєА^) > 0, Vt є [0; L];

2) існує ізольований корінь x(t ) рівняння

f0(t, x (t), x (t)) = 0,

при цьому функція x (t) нескінченно -диференційовна на відрізку [0; L] і x0 x (0) = є/З (є), (3 (є) об­межена при є 0, а також fOy (t, x (t), x (t)) = 0;

3) корені Xj (t) (i = 1, n) характеристичного рівняння

det|| fOx (t, x(t), x(t))Я- E\ = 0

різні, а також виконується нерівності Re Xj (t) <—(< 0, Vt є [0; L], де E n X n одинична матриця; f'ox(t,x(t),x(t)), fOx(t,x(t),x(t)) (a = 0,1...) матриці, які складені з частинних похідних від компонент вектора fa(t, x, y) по компонентам відповідно векторів x і y, при x = x (t), y = y (t).

Теорема. Якщо виконуються умови 1-3, то формальний розв'язок задачі Коші (1), (2) має вигляд

(2)

f (t, x, у,є),

© x(t, є) = v(t, є, є) + £ щ (t, є) Пі (t, є, є) (3)

і=1

де v(t,є,є), щ (t,є) - n - вимірні вектори, Пі (t,є,є)   - скалярні функції, які мають розвинення

сс с

щ (t, є) = £ є5+luis (t), Пі (t, є, є) = £ є5 Пjs (t, є), v(t, є, є) = V0 (t) +    (t) + £ є\ (t, є), (4)

s=0 s=0 s=2

Пі (t, є, є) задовольняють диференціальні рівняння

є П is (t, є) = Лі (t) П is (t, є) + 4 (t, є), (5)

X (t), %i,s (t, є) - скалярні функції.

Доведення. Скориставшись (3), (4) розвинемо за степенями параметра є вектор n n

f (t, v(t, є, є) + £ щ (t, є) П і (t, є, є), v(t — єА^), є, є) + £ щ (t — єА^), є) Пі (t — єА^), є, є), є) =

і=1 і=1

= £ єаа«(^ V0(t), V0(t єA(t)) + £ (fx (t, V0(t), V0(t — єА^))^—s (t) +

a=0 s=0

n a—1—s

i,a—1—s—j

(t, є)) + f'y (t, V0 (t), V0 (t — єА^ )))(Va— s (t — єА^), є) +

i=1 j=1 n a—1 —s

+ ££ Uij (tєА(0) Пi,a—1—s—j (t — єА^), є)) +      (t, є) + g2a (t, e)), (6)

i=1 j=1

де (t, є) = (t, V/ (t), V/ (t — єА^))), (t, є) = g2a (t, V/ (t), V/ (t — єА^)), pn (t, є), pn (t — єА^)) -многочлени степеня a відносно вказаних аргументів, причому другий многочлен не містить одночлена нулевого степеня відносно аргументів p/1 (t, є), p/1 (t — єА^), є)(/ = 1, a, /1 = 0, a2); під рц (t, є) ро­зуміють аргументи вигляду Uj (t) Пі /1—j (t, є)(j = 0, /1), а під p/1 (t — єА^), є) розуміємо аргумент ви­гляду Ujj (t — єА^))Пі /1—j(t — єA(t),є). Підставляючи (3)-(6) в (1) і зрівнюючи вирази, які містять

Пі (t, є, є), Пі (t — єА^), є, є), і які їх не містять, одержимо рівняння

nn

єv,(t, є) = f (t, V(t, є) + £ Ui (t, є) Пі (t, є, є), V(t — єA(t), є) + £ щ (t — єА^), є) Пі (t — єA(t), є), (7)

і=1 і=1

n

є£ (( fOx (t, V0 (t), V0(t ^(t )))Ui0 (t) —     (t) Xi (t)) П io(t, є)) +

і=1

со n

£ є" [£ [(f0x (t, V0(t), V0(t єA(t))Ui,s—1 (t) — Ui,s—1 (t)Xi (t)) +

s=2 i=1

s—1

+fix (t, V0 (t), V0(t — єA(t))Ui,s—2 (t) + u;,s—2 (t)) + £ fjx (t, V0 (t),V0 (t ^(t))Uj,s1—j (t)) Пі0 (t, є) +

j=2

+[ fiy (t, V0 (t), V0(t — єA(t ))щ ,s—2 (t — єA(t))) + s—1s—1 + £ fj,y(t,V0(t),V0(t ^(t))Uj,s—1—j(t єА(0))Пі0(t — єA(t),є) + £ Ujj(t)^—1—j(t,є)]) +

j=2j=0

с s—1 n s—1—j

+g 2s (t, є)]] + £££є'< [ £ fL (t, V0 (t), V0 (t ^(t ))Uj, s—1—kj (t) + Uji, s—2—j (t) ) Пу- (t, є) +

s=2 j=1 i=1       k=0

s—1—j

+ £ fkx (t, V)(t),V0(t ^(t))Uj,s—1—kj(t — єА^),є)(t єА^),є)] = 0, (8)

k=0де

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Г В Завізіон, І Г Ключник - Асимптотичний метод дослідження коливної системи з імпульсами

Г В Завізіон, І Г Ключник - Задача коші нелінійної системи диференціальних рівнянь із запізненням