Р В Фільц, М Н Лябук - Закони комутації як питання дидактики теорії електричних кіл - страница 1

Страницы:
1  2  3 

комплекс аналізу режимів і процесів електроенергетичних систем // Технічна електродинаміка. -1998. - Спец. вип. - С. 56-61. 3. Лоханин Е.К. Применение метода компенсирующих ЭДС для расчета режимов энергосистем // Электричество. - 1995. - № 2. 4. Скрипник О.І. Аналіз статичної стійкості енергетичних систем // Фізичний збірник НТШ. Т. 3. - 1998. - С. 464-477.

УДК 621.3

Р.В. Фільц, М.Н. Лябук

Луцький державний технічний університет

ЗАКОНИ КОМУТАЦІЇ ЯК ПИТАННЯ ДИДАКТИКИ ТЕОРІЇ

ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

© Фільц Р.В., ЛябукМ.Н., 2008

Для законів комутації наведено математичне обґрунтування. Показано спосіб визначення стану кола після комутації у випадках, коли закони комутації ігноруються.

The laws of commutation in electric circuits have been proved mathematically. The algorithm of electrical circuit initial conditions calculation in cases, when laws of commutation are ignored, has been developed.

Задачі дослідження. Задачами дослідження є обґрунтування законів комутації на математичному рівні й опрацювання методу визначення початкового стану електричного кола після комутації, коли закони комутації ігноруються.

Аналіз останніх досліджень. У теорії перехідних процесів в електричних колах розглянуто такі твердження:

А. Струм у навої не може змінюватися миттєво (інакше - струм у навої є неперервною функцією часу);

Б. Напруга на конденсаторі не може змінюватися миттєво (інакше - напруга на конденсаторі є неперервною функцією часу).

Прийнято вважати, що рівноцінними з твердженнями А, Б є, відповідно, твердження:

А1. Потокозчеплення навою не може змінюватися миттєво (інакше - потокозчеплення навою є неперервною функцією часу);

Б1. Заряд конденсатора не може змінюватися миттєво (інакше - заряд конденсатора є неперервною функцією часу).

Ці твердження називають у підручниках з теоретичних основ електротехніки законами комутації (англійський термін - law of commutation, німецький - Schaltgesetz, російський - закон коммутации, польський - prawo komutacji).

Закони комутації в більшості підручників обґрунтовують на фізичному рівні таким способом

[1-4].

А. Якщо в моменті t = t- струм iL (t) у навої становив iL (t-) = i-, а в моменті t = t+ = t- +At

він дорівнював би iL (t+) = iL(t~+At) = i+Ф iL-, то при At ® 0 похідна ^L (t) = lim ^——^була б

dt     at®o At

... . , r diL (t)

нескінченно великою і, відповідно, нескінченно великою була б індукована напруга uL = L- на

dt

затискачах навою. З фізичного погляду це неможливо, оскільки виникне пробій ізоляції між затискачами навою, який відкриє шлях для струму в навої через іскровий (дуговий) розряд, і тоді струм у навої залишиться неперервною функцією часу.

А1. Якщо в моменті t = t   потокозчеплення y{t) навою становило y{t ) = цг , а в моменті

t = t + = Г +At воно дорівнювало б ц(t +) = ц(Г + At) = ц + Ф \ц~, то при At ® 0 індукована в навої

di/г (t) ц+ - ці~ .

напруга uL =-= lim- була б нескінченно великою. З фізичного погляду це неможливо,

dt     at®o At

оскільки виникне пробій ізоляції між затискачами навою, який відкриває шлях для струму в навої, внаслідок чого струм у навої і, відповідно, потокозчеплення навою ц = Li залишаться неперервними функціями часу.

Б. Якщо в моменті t = t- напруга uC (t)  на конденсаторі становила u-, а в моменті

duC (t)   u- - uC

t = t = t +At вона дорівнювала б uC = uC (t + At) Ф u-, то при At ® 0 похідна

dtAt

duC (t)

була б нескінченно великою і, відповідно, нескінченно великим був би струм iC (t) = C-, що

dt

протікав би через конденсатор. З фізичного погляду це неможливо, оскільки провідники, що з'єднують конденсатор з джерелом, завжди мають деякий опір, який і обмежить струм до скінченної величини, отже, напруга на конденсаторі не може змінитися миттєво.

Б1. Якщо в моменті t = t- заряд q(t) конденсатора становив q~, а в моменті t = t + = t- +At

він дорівнював би q+ = q(t- + At) Ф q-, то при At ® 0 струм i(t) = <dq^t) = q-— конденсатора був

dtAt

би нескінченно великим. З фізичного погляду це неможливо, оскільки провідники, що з'єднують конденсатор з джерелом, завжди мають деякий опір, який і обмежить струм до скінченної величини, отже, заряд конденсатора не може змінитися миттєво.

У деяких підручниках закони комутації обґрунтовуються на підставі енергетичних співвідно­шень таким способом.

А, А1. Якщо в моменті t = t- енергія WL (t) магнітного поля навою становила W£ = L(i- )2/2 = = - )2 / 2L, а в моменті t = t + = t- +At вона дорівнювала б W+ = L(i + )2 /2 = (ц + )2 /2L Ф W£, то при

At ® 0 потужність — WL (t), яку споживав би навій від джерела, була б нескінченно великою, що з dt

фізичного погляду неможливо, оскільки реальне джерело має скінченну потужність.

Б, Б1. Якщо в моменті t= t- енергія WC(t) електричного поля конденсатора становила

W-= C(uC)2/2 = (q-)2/2C, а в моменті t = t+= t~+At вона дорівнювала б WC+= C(uC)2/2 =

= (q+ )2/2C Ф WC, то при At ® 0 потужність — WC (t), яку споживав би конденсатор від джерела,

dt

була б нескінченно великою, що з фізичного погляду неможливо, оскільки реальне джерело має скінченну потужність.

Легко зауважити, що ці обґрунтування є доведеннями від супротивного: якщо припустити, що твердження А, А1, Б, Б1 не виконуються, то це суперечитиме фізиці. Однак вони не є математичними доведеннями.

Виклад основного матеріалу. Коли виникає потреба застосування законів комутації? Розрахунок перехідних процесів в електричних колах зводять здебільшого до розв'язування задачі Коші, тобто до розв'язування системи диференційних та алгебраїчних рівнянь (яка, як відомо, описує множину всіх можливих перехідних процесів у цьому колі) разом з початковою умовою (яка виділяє з цієї множини єдиний шуканий перехідний процес). Наприклад, для кола, зображеного на рис. 1, перехідний процес, зумовлений деякою комутацією в колі, описується задачею Коші, тобто системою диференційних та алгебраїчних рівнянь

i    = c ^ .   uL (t) = L di(t);

dtdt (1)

uR (t) + ul (t) + u- (t) - uA (t) = 0;   uR (t) = Ri(t) разом з початковою умовою

uC (t +) = u-; i(t +) = i +, (2)

де R, L, C - відомі числа; un (t) - відома функція; uR (t), uL (t), uC (t), i(t) - невідомі функції. Початкові значення u-, i+ визначають на підставі законів комутації: якщо в моменті t = t- (тобто безпосередньо перед комутацією) значення функцій uC (t), i(t) дорівнювали, відповідно, uC-, i-, то в моменті t= t+ (тобто безпосередньо після комутації) вони залишаються незмінними, тобто

+     -     +    - (3)

i(t) R    L C

<ZH-?nnrv-||-|

т\   uR(t) uL(t)

&un(t) u-(t)

Рис. 1. Електричне коло

Математичне обґрунтування законів комутації. Альтернативою до задачі Коші є опис перехідних процесів як системи інтегральних та алгебраїчних рівнянь. Наприклад, для кола, зображеного на рис. 1, перехідний процес описується системою рівнянь

uC (t) = — [ i(t )dt + u-;   i(t) = — [ uL (t )dt + i +; (4)

uR (t) + uL (t) + uC (t) - uR (t) = 0;   uR (t) = Ri (t). (5)

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Р В Фільц, М Н Лябук - Закони комутації як питання дидактики теорії електричних кіл