А Работніков - Залежність збитку страхової компанії від коливань смертності - страница 1

Страницы:
1  2 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Сер. прикл. матем. та інформ.

2007. Вип. 13. C. 197-208

VISNYKLVIV UNIV Ser. Appl. Math. Comp. Sci. 2007. No 13. P. 197-208

УДК 519.86

ЗАЛЕЖНІСТЬ ЗБИТКУ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ ВІД КОЛИВАНЬ СМЕРТНОСТІ

А. Работніков

Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: mstat@franko. lviv.ua

Розглянуто залежність розподілу загального збитку страхової компанії за портфелем договорів страхування на випадок смерті. Смертність апроксимовано аналітичним законом. Отримано точкові оцінки параметрів закону на підставі актуальних нині таблиць смертності. Побудовано та реалізовано з застосуванням ЕОМ модель, яка за допомогою метода Монте-Карло дає змогу знаходити розподіл загального збитку, враховуючи прогнози щодо можливої відмінності реальних показників смертності від прогнозованих.

Ключові слова: страхування життя, метод Монте-Карло, закон Гомперца, збиток страхової компанії.

Страхові компанії, що працюють на ринку страхування життя, є дуже чутливими до змін у демографічній ситуації. Про це свідчить, наприклад, нещодавні труднощі пенсійної системи Німеччини, які були прямим наслідком збільшення середньої тривалості життя мешканців. Тому страхові компанії та органи державного нагляду приділяють багато уваги модифікуванню таблиць смертності, використовуваних у разі розрахунку тарифів і резервів.

Розглянемо процес модифікації смертності, отриманої з актуальних сьогодні таблиць смертності та дослідимо вплив такої модифікації на діяльність страхової компанії. У цьому разі модифікацію застосуємо як до таблиць смертності, згідно з якими розраховують тарифи, так і до смертності, яка безпосередньо впливає на майбутній час життя застрахованих. Застосування методів Монте-Карло дає змогу наближено отримувати розподіли випадкових величин, аналітичний вигляд яких не є відомим, зокрема загального збитку страхової компанії за різних рівнів модифікації.

Нижче наведено базові поняття та факти, а також проаналізовано поняття смертності. Визначено, як наблизити відому зі статистичних таблиць смертність аналітичною функцією, як функцію розподілу майбутнього часу життя виразити через смертність у загальному та частинному випадках. Окрім того, уведено процедуру модифікації та вивчено її вплив на функцію розподілу майбутнього часу життя. Описано побудовану модель і зазначено, які з наведених нижче фактів будемо використовувати безпосередньо під час обчислювань і яку це дасть перевагу.

Комп'ютерна реалізація моделі виконана за допомогою програми MATLAB.

2. ГОЛОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ТА ДОПОМІЖНІ ФАКТИ

Для розрахунку страхових тарифів та резервів потрібно знати ймовірність того, що певна особа проживе щонайменше n років, або ймовірність протилежної події - що ця особа помре протягом найближчих n років. Для особи у віці x років

© Работніков А., 2007

1. ВСТУПтакі ймовірності позначають p та nqx відповідно. При п _ 1 використовують позначення px та qx. Якщо п, x є N та п + x <со (со - граничний вік таблиць смертності), ми можемо знайти їх з таблиць смертності:

p _ lX+П q _ lX        lX+П (1)

nPx ~    J     > ri4x ~        J ' Vі/

x x

де lx - це кількість осіб, що дожили до віку x.

У випадку, коли п N або x N, знайти ці ймовірності безпосередньо з таблиць не можна, і потрібні додаткові припущення щодо lx для x N. Традиційно для розрахунку тарифів користуються припущенням про лінійність lx: lx+a_(1 -a)h +alx+a,xє N, «є (0,1) .

Далі позначатимемо дисконтувальний множник v. Маємо для нього вираз v_(l + i) 1, де i - річна ставка доходу. Окрім того, будемо використовувати S, інтенсивність доходу: S _ In(1 + i).

За допомогою наведених означень можемо навести формули для розрахунку страхових нетто-тарифів. Їх розраховують на підставі принципу еквівалентності: оцінена актуарна вартість зобов'язань страховика та страхувальника щодо сплати нетто-премій мають бути однаковими. У разі сплати страхувальником нетто-премій у вигляді ануїтету (серії регулярних послідовних платежів) та страхуванні тільки на випадок смерті маємо рівність AS _ Pa , у якій A - актуарна вартість зобов'язань страховика на одиницю страхової суми; S - страхова сума; P - сума премій, які сплачують за одиницю часу (за рік); a - актуарна вартість зобов'язань страхувальника щодо сплати ануїтету зі сплатою одиниці грошей за одиницю часу. Наведемо формули для розрахунку цих величин у випадку цілого віку та цілого терміну страхування.

Нехай вік особи, для якої розраховуємо тариф, становить x років, термін страхування - п років, а термін сплати внесків - m років. Тоді

Вартість одиничного ануїтету, який сплачують протягом m років на початку кожного року (пренумерандо), визначають за формулою

a _ Ljpx, (3)

а такого, який сплачують наприкінці року (постнумерандо), - за формулою

Будемо далі вважати, що сплата внесків є неперервною. Вартість такого ануїтету зазвичай апроксимують так:

Страхову премію (суму премій, що підлягають сплаті за одиницю часу) визначають зі співвідношення P _ TS, у якому T - страховий тариф. Тому

T

(5)

P A

Sa

Нам також потрібне означення збитку страховика. Наприклад, tLx - це різниця між актуарними вартостями майбутніх страхових виплат та внесків, що будуть сплачені, за умови, що застрахована в x років особа помре саме через t років та за одиничної страхової суми. Будемо далі розглядати страхування тільки на випадок смерті на термін n років з неперервною сплатою внесків протягом терміну страхування та страховою виплатою на момент смерті. Тож для збитку маємо вираз

/ - T f 'vsds. J о

t < n

-T f nvsds, о

t > n

(6)

3. СМЕРТНІСТЬ. РОЗПОДІЛ ЗАЛИШКОВОГО ЧАСУ ЖИТТЯ.

Розглядатимемо життя людини як випадковий процес з двома станами: перший - людина жива, другий - людина мертва. У цьому разі інтенсивність переходу особи з першого стану до другого будемо називати смертністю та позначати /it, де t - вік особи; другий стан є незворотним. Оцінкою для /it+0 5, де

t є N, є qt. Далі для досліджень ми хотіли б мати якусь зручну форму залежності / від t . У цій ситуації скористаємося аналітичним законом розподілу Гомперца (Gompertz), що має вигляд /і, — Aexp(Bt). Тут A і B - параметри, які потрібно оцінити. Для цього скористаємося тим, що

A exp (B (t + 0.5))«/t+05 « qt, t0,6)-1. (7)

Прологарифмуємо, отримаємо

ln (A) + B (t + 0.5)» ln (qt), t 0,6-1. (8)

Тепер можемо оцінити ln (A) та B методом найменших квадратів. Будемо користуватися не всіма відомими значеннями qt, а лише тими, для яких 25 < t < 90 ,

оскільки інші проміжки віку не є суттєвими для страхування життя.

На підставі даних, наведених у довіднику «Таблиці смертності та очікуваної тривалості життя. Україна, 2001-2002 роки. Міські поселення та сільська місцевість.», отримаємо такі параметри:

Стать

ln (A)

A

B

Чоловіча

-7,269594

0,000696

0,064406

Жіноча

-9,362747

0,00008586

0,08543859

Для того, щоб можна було переконатися у якості такої апроксимації, на рис. 1 показано графіки із спостережуваною та апроксимованою смертністю.

Зазначимо, що нас не цікавить похибка, а лише той факт, що функції однаково поводяться, оскільки використаємо аналітичний закон водночас для розрахунку тарифів та для симуляції смертності.

■Смертність, чол. ■Оцінка смертності, чол. Смертність, жін. Оцінка смертності, жін.

Рис. 1. Порівняння фактичної смертності зі смертністю, наближеною аналітичним законом.

Далі для аналітичного розподілу знайдемо деякі характеристики тривалості життя. Нехай x - фіксований вік, ц,г має вигляд A exp (Bt). Знайдемо tpx:

,px = exp1Msds) = exp(-\l+'Aexp(Bs)ds) = exp(-B(eB(x+t) -eBx)). (9)

Тоді tqx, очевидно, матиме вигляд

,qx = 1 - exp(-A (eB(x+t)- eBx)). (10)

Оскільки tqx є фактично ймовірністю того, що до смерті залишилося менше ніж t років, то фактично ми отримали функцію розподілу часу до смерті. Знайдемо функцію, обернену для функції розподілу:

b(x+')

-In (1-

B (x +1)

In (e -In (1­,qx,

In (e г ІП (1­,qx.

Як відомо, час до смерті t має той самий розподіл, що і величина

In (eBx - A In (1 - U)

(11)

x, (12)

де U - випадкова величина, рівномірно розподілена на сегменті [0;1]. Отже, ми

отримали розподіл залишкового часу життя особи будь-якого віку за умови, що смертність описувана законом Гомперца. Проте страхова компанія повинна зважати на можливі коливання рівня смертності (у цій моделі - коливання параметрів A та B ), оскільки існує багато чинників, під впливом яких рівень смертності може суттєво змінитися. З огляду на це страхова компанія повинна змоделювати коливання смертності та їхні наслідки і на підставі отриманих даних обрати для розрахунків  таку  смертність,  що  забезпечила  б  бажаний  рівень надійності.

Традиційно модифікація смертності полягає у тому, що смертність множать на сталий коефіцієнт, який називається рівнем модифікації.

Розглянемо тепер, які наслідки матиме модифікація смертності у моделі, що розглядаємо. Позначимо коефіцієнт модифікації через а, модифіковану смертність -jiat, а ймовірності смерті та дожиття, відповідно, - atqx та atpx. Маємо

Ма,, =ам, = Л)- exp (Bt), (13)

і

T

= U T, (14)

a,q, = і -(,p, T = і -(і - a T. (15)

З (12) та (13) випливає, що час до смерті має розподіл

ln(,Bx ^^Brln(1 - U))) - x .(16)

Формула розрахунку тарифу T для страхування особи у віці x років тільки на випадок смерті терміном на n років за умови, що внески застрахована особа сплачує безперервно протягом усього терміну страхування, має вигляд

:{{0 а, spx а, sqx -Vds^.^j J а, spx -Vdsj' . (17)

Інтеграли в (17) ми не змогли знайти, та на підставі, наприклад, вигляду (9) робимо висновок, що це навряд чи взагалі можливо. Тому за допомогою (10) та (15) побудуємо таблицю смертності з відповідним рівнем модифікації та скористаємося формулою, яку застосовують страхові компанії для розрахунку тарифів за таблицями смертності на практиці.

4. МОДЕЛЬ

Наведемо приклад, як саме страхова компанія може використати факти, що описані вище. Нехай маємо множину застрахованих осіб і бажаємо проаналізувати розподіл майбутнього збитку та залежність такого розподілу від фактичного розміру , при чому для розрахунку тарифів також застосована модифікація смертності.

Будемо використовувати метод Монте-Карло. Можемо розглянути достатньо велику кількість реалізацій залишкового часу життя t для членів цієї множини, побудувавши їх за допомогою генератора рівномірно розподілених випадкових величин та формули (16). Далі, підставляючи t у вираз (6) для tLx, зможемо

отримати, наприклад, середній збиток та кількість реалізацій, для яких загальний збиток є не додатним. Отримаємо таким способом оцінки для середнього збитку та ймовірності незбитковості цієї множини. Формула (16) дає змогу робити це з використанням різних значень для симуляції смертності. Нам не потрібно буде кожного разу генерувати t , а лише підставляти рівномірно розподілені величини та відповідне значення t у формулу (16). Окрім зручності та швидкості реалізації це дає нам ще одну перевагу: формула (16) дає змогу змінювати смертність плавно, тому кожна окрема реалізація випадкової величини є строго монотонною зі зростанням рівня модифікації.

5. РЕАЛІЗАЦІЯ МОДЕЛІ

Розглянемо множину осіб, застрахованих тільки на випадок смерті терміном на 10 років. У реальній ситуації страхова компанія скористалася б наявним портфелем; ми згенерували множину з такими параметрами:

Кількість осіб - 3 000. Стать - чоловіча з ймовірністю 0,5 або жіноча - також з ймовірністю 0,5. Вік рівномірно розподілений між 20 та 60 роками. Страхова сума рівномірно розподілена між 1 000 та 10 000. Рівень модифікації тарифів а1аг - 1,05.

Крок рівня модифікації смертності для генерації часу життя Аатог, - 0,01. Інтервал, у

якому змінюється  атог, -  [0,95; 1,15]. Згенерували 100 реалізацій процесу. В

результаті отримали такі графіки (рис. 2):

Для порівняння на рис. 3 показано приклад того, як виглядають аналогічні графіки у випадку, коли не використовували формули (16).

Цілком природно, що відображений на рис. 2 збиток у різних реалізаціях суттєво відрізняється. Розглянемо, як збиток реагує на зміну атШ. Скористаємося

скінченними різницями для того, щоб наблизити да . Результат зображено на рис. 4.

Бачимо, що на графіках є неадекватного розміру піки. Це пов'язано з тим, що в міру того, як зростає атШ, щораз більше персон з множини у цій конкретній

реалізації вмирають саме протягом терміну дії договору страхування. Оскільки множина порівняно невелика, то смерть кожного члена множини досить сильно впливає на збиток у реалізації. Іншими словами, хоча ця модель дає змогу плавно змінювати майбутній час життя, збиток є функцією розривною, як видно з (6). Тому будемо згладжувати результат.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А Работніков - Залежність збитку страхової компанії від коливань смертності