Г И Дринфельд - Записки научно-исследовательского института математики и механики - страница 1

Страницы:
1  2 

ЗАПИСКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. А. М. ГОРЬКОГО __И ХАРЬКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА

1 9 4 9 Том XXI

О МЕРЕ ГРУПП ЛИ Г. И. Дринфельд

(Харьков)

§ 1. Н. Г. Чеботарёв [1], [2] показал возможность и целесооб­разность рассмотрения меры (объёма) группы Ли-в виде интеграла

^х*. ... xn)dx1dx2...dxn, (1)

подчинённого требованию инвариантности относительно преобразова-жий группы, но ограничился рассмотрением просто-транзитивных групп, доказав, в частности, что такие группы обладают единствен­ным (с точностью до постоянного множителя) интегральным инва­риантом (1).

Таким образом осталась вне рассмотрения такая столь важная кратне-транзитивная группа, как группа эвклидовых движений, оче­видно имеющая объём. С другой стороны, легко привести примеры кратно-транзитивных групп, не имеющих объёма в смысле Н. Г. Че­ботарёва.

В связи с этим, мы намерены дополнить исследования Н. Г. Чебо­тарёва указанием тех дополнительных, необходимых и достаточных условий, при которых кратно-транзитивная группа обладаёт объёмом. Попутно мы полностью выясним вопрос о существовании интеграль­ных инвариантов n-го порядка у интранзитивной группы.

Упомянутые выше условия представляются, на первый взгляд, весьма ограничительными, но, как показывают рассмотрения парагра­фа 4, наличие объёма у кратно-транзитивной группы не представляет слишком редкое явление. Впрочем, рассмотрения параграфі 4 имеют самостоятельное значение, о котором будет сказано в своём месте.

В параграфе 3 приводится известное утверждение, п^еволяющее свести решение вопроса о существовании объёма у любой группы данной структуры к решению этого вопроса для одной какой-либо группы этой структуры.

Так как это утверждение важно для рассмотрений параграфа 4, и, кроме того, оно в известной мере дополняет и само определение меры как интегрального инварианта, то мы сочли полезным прове­рить его правильность непосредственными вычислениями.

§ 2. Цля того чтобы интеграл (I) был интегральным инвариантом группы G/ с йнфинитезимальными операторами

Xk(f) = SkifT '      к = 1,2,... г,

(2)необходимы и достаточны условия [3]:

Хк(М)+М~-0)      к = 1,2,...г, (3)

(при суммировании по индексу, встречающемуся вверху и внизу, знак суммы опускается).

Если

=0,      k = l,2,...r, (4)

дх1

то, очевидно, всегда существует решение

М = const

системы уравнений (3) — единственное в случае транзитивной группы и только в этом случае. В дальнейшем мы будем предполагать, что хотя бы одно из тождеств (4) не имеет места.

Введя обозначение lnM==N, мы заменим систему уравнений, (3) системой однородных уравнений:

Uk(z) = Xk(z)-(^)- = 0,

к = 1,2,... г, (5)

для которой составим скобки Пуассона. Тогда получим: (Ut,Ura)=(Xk,Xm)+ (Sn)^-Ekl_)_, k,m=,,2,...,<6,

Так как операторы (2) являются операторами группы, то

(Xk,Xm) = C^mXs(f),        k,m,s = l,2,...r, (7)

где C£m структурные константы. Из (7) следуют тождества

диференцирование которых по Xі с дальнейшим суммированием по значку і^Лфиводит к тождествам:

$ki¥¥7SfflW_ kffl й1" (8)

Из (6) и (8) следует

(Uk,Um) = C^mUs(f),        k,m,s=l,2,...r (9) Если группа Gr просто-транзитивна, то r = n и ранг, матрицы

Н = ||'М ' о°)

равен п. Следовательно, в этом случае, уравнения системы (5), в силу (9), образуют полную систему линейно-несвязанных уравнений с числомпеременных, равным п + 1. Система имеет решение, отличное от тривиального, и притом (с точностью до постоянного множителя) единственное. Это решение содержит аргумент N, так как в против­ном случае система уравнений, полученных приравниванием нулю операторов (2), имела бы нетривиальное решение, что невозможно, если ранг матрицы (10) равен п.

Отсюда следует существование единственного (с точностью до постоянного множителя) решения у системы уравнений (3), то есть существование интегрального инварианта меры просто-транзитивной группы Gn>.

Обратимся к рассмотрению кратно- транзитивной группы. В этом случае г > п и ранг матрицы (10) равен п.

Выделим из совокупности операторов (2) п линейно-несвязанных операторов и обозначим их (изменив, в случае надобности, нумера­цию) через Xt (f), 1 = 1,2, ...п, остальное операторы обозначим через

Yl(f) = 71ij "£г 1 = 1,2,;.'.г-п.. (И)

Тогда имеем

Yj(f) = P;xv(f),      j = l,2,...r-n.

где для каждого j хоть одно р? не постоянная величина. Система (5) состоит тогда из двух систем

/<?•«„, \ дг

Ys(z)'~\^"i^N=0'      s=b2,...r-n. (52> Систему уравнений (52), на основании (11) заменим системой

.^«>:й(^)|-^(рЭ|-о. ->.v..r-n.

*

Последняя, на'основании уравнений (5j), приводится к системе-уравнений

Если имеют место тождества

xv(PsH°'        s = l, 2, . . . r-n, (12)

то мы имеем только систему (5j) и, как в предыдущем случае просто-транзитивной группы, существует, с точностью до постоянного мно­жителя, единственный интегральный инвариант (1) —мера группы. Если же хоть одно из тождеств (12) не имеет места, то из(53) следует-

4 Записки, т. XXI.а тогда из (5і) ,

Xk(z)=,0,       к = 1,2, ...n,

z = const

и, если не .имеют места тождества (4), интегральный инвариант не существует.

Нам остаётся рассмотреть случай интранзитивной группы. Пред­варительно заметим, что если интеграл (1) — интегральный инвариант такой группы, то интеграл

/*(?!,... ?s) Mdx1 dx2... dx" , (13)

где <fi,... 9S абсолютные инварианты группы и я произвольная функция, тоже является интегральным инвариантом этой группы. Наоборот, если интеграл (1) и интеграл'

являются интегральными инвариантами одной и той же группы Gr, то

Mj =ср М,

где ср абсолютный инвариант группы. Наше замечание почти непо­средственно вытекает из условий (3) и того факта, что функция <• является абсолютным инвариантом группы тогда и только тогда, когда і,меют место тождества

: Xk(<p) = 0,       к = 1, 2,... г.

Если г<п и ранг матрицы (10) равен г, то, как легко следует из рассмотрения систем (3), (5) и только что сделанного замечания, группа Gr имеет бесконечное число интегральных инвариантов, кото­рые можно записать в виде (12), если интеграл (1) является одним из интегральных инвариантов и s = п г.

Если ранг матрицы (10) равен q(q<r), то, полагая линейно-несвязанными операторы Xi (f), і = 1, 2, ... q и обозначая остальные операторы через Yj (f), мы можем рассуждать, как и в случае кратно-транзитивной группы. Таким образом, и в случае интранзитивной группы, если не имеют места условия (4) и нарушается хоть одно из тождеств

Х,(рД = 0,        8 = 1,2,...r-q, !;(12,) где р^ определены из равенств

rs(f) = p^Xv(f),

то интегральный инвариант не существует. Если же соблюдается хоть одна из совокупностей тождеств (4), (12ї), то интегральные инва­рианты существуют и могут быть записаны в виде (13). Резюмируя, имеем следующие утверждения:

Теорема 1 (Н. Г. Чеботарёв). Просто-транзитивная группа имеет единственный (с точностью до постс>янного множителя) интегральны* инвариант (1). Как показал Н. Г. Чеботарёв [2], в некоторой области

О мере групп. Ли

сохраняется знак плотности М и, следовательно, за счёт постоянного множителя, интеграл (1) будет положительным. Поэтому его можно принять в качестве меры (объёма) группы.

Теорема 2. Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы группа имела интегральный инвариант

единственный, если группа транзитивна и не единственный, в случае интранзитивной группы.

Теорема 3. Если ранг матрицы (10) меньше г и хоть одно из тождеств (4) не имеет места, то для существования интегрального инварианта (1) необходимы и достаточны условия (12) или (12!). В случае транзитивной. группы имеем единственный интегральный инвариант, в случае интранзитивной группы общий вид интегрального инварианта даётся формулой (13), где s = n q, q ранг матрицы (Ш).

По поводу последних двух теорем сделаем сразу же следующее замечание. Можно всегда найти неособую замену координат, при которой интеграл (1)ф I) переходит в интеграл (14) и наоборот. При такой замене координат группа Gr заменяется подобной груп­пой G/. Как это следует из теоремы 4, доказываемой в следующем параграфе, если интеграл (1) является интегральным инвариантом группы Gr, то интеграл (14) является интегральным инвариантом группы G/.

Отсюда следует, что если не заданы конечные преобразования группы или её инфинитезимальные операторы, а заданы лишь струк­турные константы, то теоремы 2 и 3, в известном смысле, эквивалентны.

§ 3. Если положить

(14)

(15)

ks= 1, 2, ... п,

(16)

где

1ki = [Xk (»')]•

Скобки [ ] означают, что в функции

выполнена замена (15); впредь мы их будем опускать. Преобразование (15) предполагается неособым

Операторы (16) определяют группу Q\, подобную группе Gr , структурные константы этих групп одинаковы.

Легко проверить, что если интеграл (1) является интегральным инвариантом группы Gr, то интеграл

JiVUdu^.-du" (17)

является интегральным инвариантом группы G*.

Действительно, предположим справедливость тождеств (3). Так как имеют место формулы

дх_г

dus ~::

J = TTA?>       s = l,2,...n, г, s \, 2,... n,

dxr J

п

s= 1

то

Yffl (MJ) 4 MJ ^ = Xm (MJ) + jm 2 5-f ^ дх1 ^ дх} du1

= Xra(MJ) + JM^-[^^ + U^-k}==

1. j

= JXm(M) + MXm(J) + JM^ + JM^g xra (g

=m {xm и)+1! x4 у)} - м Iх, № -2 4«-(&)) - *

і і Таким образом доказано утверждение:

* Теорема 4. Две подобные группы одновременно имеют или не имеют интегральные инварианты п-го порядка. Интегральные инварианты одной группы получаются из интегральных инвариантов второй группы с помощью соответствующей замены переменных.

Сделаем ещё следующее замечание. Как известнб [4], совокуп­ности операторов

Xk(f), k = l,2,...r, (2>>

a<Xt(f),      k = l,2,...r, (3dгде ак— постоянные и определитель |.ак| фО, определяют ^одну и ту же группу. Из условий инвариантности (3) немедленно следует

Тёорема 5. Существование и значение интегрального инварианта "группы не зависит от того, задана ли группа операторами (2) или операторами, (22).

§ 4. Ещё Пуанкаре отметил, что определяя вероятность попада­ния точки в некоторую область S как интеграл

jMdxdy (18)

(s)

мы должны, прежде всего, потребовать, чтобы интегоал (18) был инвариантным по. отношению к некоторой группе преобразований, связанной с механизмом, осуществляющим случайное событие. Однако большинство современных авторов и, в особенности, те, кто занимается интегральной геометрией, ограничиваются рассмотрением эвклидрвой группы движений и, соответственно с этим, определяют вероят­ность (18) интегралом

Jdxdy, W

являющимся единственным интегральным инвариантом второго порядка группы эвклидовых движений.

Нам кажется, что ни в теории вероятнойстей, ни тем более в инте­гральной геометрии нет оснований ограничиваться рассмотрением эвклидовой группы движений и пренебрегать, например, группой дви­жений Минковского. Поэтому нам представляется совершенно есте­ственной следующая общая задача: рассмотреть все возможные „дви­жения" на плоскости, образующие группу, и установить, какие из них ' допускают интегральный инвариант второго порядка (положительный). Решение этой задачи означало бы указание тех „движений", для кото­рых имеет смысл понятие о вероятности попадания точки в некоторую область.

Таблица 1

Тип

с1

12

с\

12

с3

с1

13

с2

13'

с3

13

с1

23

2

с

. 23

1 с3

23

 

I

1

0

0

0

2

0

0

0

1

_

II

0

0

0

1

0

0

0

с

0

 

III

0

0

0

1

0

0

0

1

0

IV

0

0

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Г И Дринфельд - Записки научно-исследовательского института математики и механики

Г И Дринфельд - О некоторых основных формулах интегральной

Г И Дринфельд - О некоторых основных формулах интегральной геометрии

Г И Дринфельд - Несколько теорем об интегральных инвариантах