С Шахно, Г Ярмола - Застосування двопараметричних різницевих методів для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2011. Вип. 17. C. 37-46

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2011. Is. 17. P. 37-46

УДК 517.948

ЗАСТОСУВАННЯ ДВОПАРАМЕТРИЧНИХ РІЗНИЦЕВИХ МЕТОДІВ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

С. Шахно, Г. Ярмола

Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, Львів, 79000, e-mail: kom@franko.lviv.ua

Запропоновано двопараметричні однокроковий і двокроковий методи типу хорд для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь. Вивчено напівлокальну збіжність однокрокового методу у випадку, коли поділені різниці першого порядку задовольняють умову Ліпшиця з константою L . На тестових задачах проведено числове дослідження та зроблено порівняння отриманих результатів.

Ключові слова: нелінійне інтегральне рівняння, ітераційний процес, поділена різниця першого порядку, умова Ліпшиця.

1. ВСТУП

Нехай задано нелінійне операторне рівняння

F (x) = 0, (1) де оператор F визначений в опуклій відкритій множині D банахового простору X зі значеннями в банаховому просторі Y . Для розв'язування рівняння (1) часто застосовують класичний метод Ньютона з квадратичною швидкістю збіжності, який в обчислювальній формулі потребує аналітично заданих похідних. Також широко застосовують різницеві методи, які використовують поділені різниці першого

порядку. Найпростіший різницевий метод - метод хорд з порядком збіжності —.

Його досліджували багато авторів [6, 11, 12]. Менш відомим різницевим методом є метод лінійної інтерполяції Курчатова [3, 13], порядок збіжності якого, як і методу Ньютона, квадратичний. У [8 - 10] вивчено збіжність методу типу хорд з одним параметром. Багато авторів досліджували двокрокові модифікації відомих методів,

зокрема диференціальний метод з порядком збіжності 1+ V2 [1, 16], різницевий

метод з порядком збіжності 1 + [2, 14, 15] і двокроковий варіант методу Курчатова. У [4] досліджено комбінований варіант методу Ньютона-Канторовича для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь.

У праці [7] ми дослідили локальну збіжність двопараметричного методу типу хорд у випадку, коли поділені різниці задовольняють узагальнену умову Ліпшиця з усередненим L . Цей метод набув вигляду

xk+1 = xk -F,vk)-1 F(xk), k = 0, 1, 2,..., (2)

де F(uk,vk) - поділена різниця першого порядку оператора F за точками uk та vk ,

uk = xk + an (xk-1 - xk), vk = xk + bk (xk-1 - xk), ak e bk e [0;1]. При певному

виборі параметрів ak, bk отримаємо вищезгадані методи. Також в [7] введено двокрокову модифікацію методу типу хорд

© Шахно С., Ярмола Г., 2011

xk+1 = xk - F(uk,vk )l F(xkX

yk+l = xk+i -F(uk,vk)-1 F(xk+1\ k = 0 \, 2,..., де  Uk = xk + ak (yk - xk h   vk = xk + bk (yk - xk h   ak є bk є [ОЦЬ Метод (3)

містить деякі відомі методи [1, 2, 14 - 16].

Мета нашої праці - вивчити напівлокальну збіжність однокрокового методу (2), розглянути застосування двопараметричних методів (2) і (3) для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь, подати результати проведених чисельних експериментів.

2. НАПІВЛОКАЛЬНА ЗБІЖНІСТЬ ОДНОКРОКОВОГО МЕТОДУ (2)

Дослідження напівлокальної збіжності методу (2) проведено у випадку, коли поділені різниці першого порядку для оператора F задовольняють умову Ліпшиця. Обмежений лінійний оператор F (x, y) називається поділеною різницею першого порядку для оператора F за точками x та y (x Ф y), якщо виконується рівність

F (x, y )(x - y ) = F (x)-F (y).

Теорема 1. Нехай x0 є D - початкове наближення, ^0 = {x є D : ||x - x01| < R}. Припустимо, що виконуються умови:

1) ||x-1 - x0|| = a;

2) існує F(U0,V0)-1 =    1 і |КІ^в;

3) 1 f (x )\\<n;

4) поділені різниці першого порядку оператора F  задовольняють умову Ліпшиця з константою L

\\F (x, y)-F (u, v ))< L ((x - 4 + \\ y - v||),

де x, y, u, v є S0, L > 0 .

Позначимо через m = max{fiL(rj + (a + b)oc),eL(1 + a + b)n}, припустимо, що |ak| < a, bk < b і

m

---П= 0 (4)

1 - fiL ((22 + a + b )u + (a + b )a))

має хоча б один додатний корінь, причому R - найменший додатний. Якщо

BL((2 + a + b)R + (a + b)a)< 1, M =-T,-m---<1,

VV '     V      'I 1 -BL ((2 + a + b)R + (a + b)a)

і S0 с D, тоді послідовність {xk}, утворена ітераційним процесом (2), коректно

визначена і збігається до єдиного розв'язку x* є S0 рівняння (1).

Доведення. Доведення проводять аналогічно як у [8, 10]. Позначимо через Лк = F(uk,vk).   Згідно  з  (2)   x1 = x0 -A0-1F(x0).  Враховуючи умови теореми,

отримаємо, що ||x1 - xJI = II-A0-1F (x0)) < ц < R . Отже, x1 є S0.

Враховуючи умову 4 теореми, одержимо

\\і - л- л\\ = І|Л-1 (Л- - л )) < І 0-^ IA - A\\ < bl ((u- - uj|+1 v - vj|).

Оскільки

||u0 uk || = I|x0 + a0 (x-1 x0 ) xk ak (xk-1 xk )< \\x- xk || + |ao|||x-1 x0 || + |ak|||xk-1 x

\\v- - vk\\ = I|x- + b- (x-1 - x- ) - xk - bk (xk-1 - xk )) < I|xo - xk || + bo I|x-1 - xo || + bk \\xk-1 - xkI

то

Ці -Л0-1Л^| < fiL((2 + a + b))x0 - xj + (a + b))x—1 - x0\\) < BL((2 + a + b)n + (a + b)a)<fiL((2 + a + b)R + (a + b)a)< 1.

За теоремою Банаха A-1 існує і ІД-11| <---B----—г-.

1       J    II 1 II   1 -BL ((2 + a + b )R + (a + b )a)

З означення поділеної різниці першого порядку і формули (2) отримаємо

F (xi )= F (xo )-F (xo, xi )(xo - xi ) = (Ao - F (xo, xi ))(xo - xi ) . Врахувавши умову Ліпшиця 4, одержимо

||F (xi)) = |(A- - F (xo, xi)) (x- - xi )) < IИ- - F(xo, xi )) Ix- - xi I

< L ((uo - xo || + I |vo - xi\\) )xo - xi I < L ((a + b ) )x-i - xo || +| xo - xi\\))xo - xi I

< L ((a + b )a + n))x0 - xj < L ((a + b )a + R ))x0 - xj.

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

С Шахно, Г Ярмола - Застосування двопараметричних різницевих методів для розв'язування нелінійних інтегральних рівнянь