В Трушевський - Застосування нейронних мереж до розв'язування задач теплопровідності - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Сер. прикл. матем. та інформ.

2007. Вип. 13. C. 151-163

VISNYKLVIV UNIV Ser. Appl. Math. Comp. Sci. 2007. No 13. P. 151-163

УДК 681.324

ЗАСТОСУВАННЯ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

В. Трушевський*, Г. Шинкаренко***, Н. Щербина**

Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000 Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригана НАН України, вул. Наукова, 3-б, м. Львів, 79601 Політехніка Опольська, вул. Любошицька, 5, м. Ополє, 45043, Польща

Розглянуто питання побудови рекуретної штучної нейроної мережі (ШНМ) для розв'язувані нестаціонарних задач теплопровідності. За основу роботи ШНМ взято ідею мультисіткового ітераційного методу. Просторово-часову дискретизацію задачі виконано з застосуванням проекційно-сіткової схеми методу скінченних елементів (МСЕ). Цільовою функцією навчання побудованої ШНМ вибрано мінімізацію відхилу варіаційного рівняння задачі теплопровідності. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів з іншими

числовими методами. На конкретних прикладах показано, що обчислення з використанням

ШНМ дають змогу одержати розв' язки з меншою похибкою.

Ключові слова: нестаціонарна задача теплопровідності, мультисітковий метод, рекурентні штучні нейромережі, проекційно-сіткова схема МСЕ.

З розвитком обчислювальної техніки та програмного забезпечення для розв'язування початково-крайових задач, які описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних зі сталими чи змінними коефіцієнтами, поряд із класичними методами відокремлення змінних, інтегральних перетворень тощо [1, 2, 8] зазвичай застосовують добре опрацьовані числові методи [7, 10,12].

Один з поширених підходів до розв'язування нестаціонарних задач ґрунтується на редукції їх до послідовності стаціонарних задач, частковій дискретизації задачі за часом. Зазначимо, що процедура зведення задач диференціальних рівнянь з частинними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь часто є корисною, тому що алгоритми розв' язування цих рівнянь ліпше розроблені, ніж алгоритми прямого розв'язування рівнянь з частинними похідними. Наприклад, у роботі [11] часткову дискретизацію нестаціонарної задачі теплопровідності виконують за часом з використанням методу Роте й отримують послідовність стаціонарних задач, розв'язки яких будують чисельно. У [3] для наближеного розв'язування початково-крайової задачі теплопровідності застосовують метод колокації за часом. У [7] наведено різні скінченнорізницеві апроксимації для диференціального рівняння, що описує нестаціонарну теплопровідність однорідного тонкого стрижня та досліджено похибки апроксимації. У [4], зокрема, досліджено точність наближеного розв'язку нестаціонарної    одновимірної    задачі    теплопровідності     з використанням

© Трушевський В., Шинкаренко Г., Щербина Н., 2007

1. ВСТУП

du du +Pdx J dx

u(0,t) = u(1,t) = 0 Vtє [0,T];

I u(x,0) = u0 (x) Vxє [0,1],

Lu := - dx

|i— +P —+ au   V(x,t)є (0,1)x(0,T]; (1)

де |J. = |J.(x), P = P(x), a = a(x) та u0 = u0 (x) - задані функції; деталі та фізичну інтерпретацію див. у [12].

3. ВАРІАЦІЙНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ

Для  побудови  відповідної до   (1)  варіаційної  задачі  введемо простір допустимих функцій

V := H0 (О) = {v є H[1] (О): v(0) = v(1) = 0}, а також білінійні форми

m(u,v):= Juvdx   Vu,vє H = L[2](0,1); (2)

0

c(u, v):= [(ц— + P—v + ouv |dx  Vu, v єV (3) ;0 dx dx     dx J

та лінійний функціоналеквівалентну нормі || • | Q простору Соболєва H (Q).

Нижче, на підставі міркувань, які наведено в [12], побудуємо проекційно-сіткову схему наближеного розв'язування еволюційної варіаційної задачі теплопровідності (5), яку пізніше візьмемо за основу структури нашої ШНМ.

4. НАПІВДИСКРЕТИЗАЦІЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ ЗА ЧАСОМ

Поділимо відрізок часу   [0,T]   на  NT   частин   [t^., tj+1]   сталої довжини

At = tj+1 — tj,    j = 0,...,NT .   Визначимо   кускову   апроксимацію   uM = uM(t V

температури u = u(t V у такий спосіб: на кожному кроці поділу часового відрізка

шуканий розподіл температури будемо наближати лінійною функцією вигляду

uM(х,t) := u' (х)[1 — co(t)] + uj+[3] (x)co(t)

j (x) + u j+[4](x)Atm(t),   u    x):= ^++(x) — ^(x), (9)

At

t—t At

Згідно з означенням (9), намагаємося апроксимувати температуру неперервною в часі кусково-лінійною функцією, яку цілком описують її (поки що невідомі) вузлові значення um є V у моменти часу tm . Якщо підставити у вираз (9)

«(t):=^-j     V t      , tj+1],   j = 0,..., Nt 1.значення um = u(tm), m = 0,...,NT , то одержимо кусково-лінійний інтерполяційний

поліном, який описує розподіл температури на проміжку часу [0,T].

Лінійний функціонал варіаційної задачі (4) будемо апроксимувати кусково-сталим у часі функціоналом так:

l(t) = lAt(t) = lm := l(tm + |д)   Vtє (tm,d),   m = 0,...,Nt -1. (10)

Тепер, використовуючи проекційну схему, наведену в [12], побудуємо однокрокову рекурентну схему для інтегрування еволюційної задачі (5) в часі:

задано початковий розподіл u0 = u0, значення

кроку інтегрування Дt > 0 та параметра схеми 8 є [0,і];

< знайти пару {uиі+1}є Vх¥ таку, що (11)

m(Uv) + 8Дtc(Uv) = (lj,v)-c(uj,v)      Vvє V,

uі+1 = uj + і+1, j = 0,...,NT -1. Ця схема на кожному кроці дає змогу обчислити спочатку значення швидкості зміни температури uі+1 є V як розв'язок її варіаційного рівняння, а тоді одразу перерахувати також вузлові значення апроксимації ui+x є V. Тоді відповідно до означення (9) в разі потреби можна відшукати значення апроксимації температури у будь-якій точці часового проміжка [0,T] .

Для повноти викладу, відповідно до [12], зазначимо, що однокрокова рекурентна схема (11) є безумовно стійкою (щодо вибору величини кроку інтегрування Дt) для кожного 28 > 1 і її похибка є величиною O^t2) за умови, що виконується рівність 28 = 1. У разі 28 Ф12 похибка вжитої тут схеми дискретизації в часі (11) є величиною ОІДЛ).

5. ДИСКРЕТИЗАЦІЯ ЗАДАЧІ ЗА ПРОСТОРОВОЮ ЗМІННОЮ:

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Поділимо проміжок [0,1] на N однакових частин (скінченних елементів)

(xt,xM),   h = xM -xt = ]/N ,   i = 0,...,N .   На  утвореній  системі  вузлів   {xt}}=0

побудуємо систему кусково-лінійних функцій Куранта {фі (x)}}0 [6] з такими властивостями:

[1, якщо і = і

Фі(xі) = §і = \0 . j.       і,і= 0,...,N. (12)

[0, якщо і Ф і,

З цієї системи виберемо функції ф1 (x), ф2 (x),..., фN-1 (x) за базис підпростору

апроксимацій Vh с V , dim Vh = N -1. З огляду на однокрокову рекурентну схему (11)

будемо шукати наближення до її розв'язку елементами із простору Vh такого вигляду:

itJ+l( x) = йі+1( x) = § чІ+1<?„ (x\

N    n=1 (13)

uj(x) = uj = §Wфи(x)   Vxє [0,1], j = 0,...,N,

з невідомими коефіцієнтами       = qN+1)є RN-1 та w' = (w/wN4)є RN-1,

відповідно.

Якщо у варіаційне рівняння напівдискретизованої задачі (11) підставити розвинення (13) та по черзі приймати v = фк, к = 1,..., N -1, то отримаємо систему лінійних алгебричних рівнянь вигляду

N-1 N-1

§M<Pn<Pk)+А/Єс(фи,фк=(lj,фк)-§с(ФЛК ,  k = 1,-,N-1, (14)

n=1 n=1

або в матричному записі

+ At9C]qj+1 = Lj - Cwj, j = 0,...,NT -1. (15) У (15) уведено такі позначення:

M :=Нфи, фк )}}-=1,  C :={с(фи, фк )Д,  Lj :={lj, фк )}}}. (16) Можна довести, що матриця

R(At, 9):= M + At9C (17) системи рівнянь (15) є додатно визначеною і, отже, ця система однозначно розв'язувана відносно вектора      . Ця процедура здійсненна, якщо ми попередньо

визначимо правило обчислення вектора uj у правій частині цієї системи; точніше, достатньо задати таке правило обчислення для u 0 .

З огляду на це застосуємо метод Гальоркіна до початкової умови варіаційної задачі (11), а саме: підставимо розвинення ui0 (x) до згаданої початкової умови і приймемо у ній v = фк, к = 1,..., N -1. Унаслідок нескладних перетворень отримаємо задачу лінійної алгебри вигляду

задано початковий розподіл u0 є H; < знайти вектор = (w°,..., wN-1,)є RN-1 такий, що (18)

N-1

§ т(ф„, Фк К° = m(u0, Фк), к = 1,..., N -1.

Оскільки білінійна форма m( •, •): H х H R є скалярним добутком на просторі H, то задача (18) має єдиний розв'язок і, як наслідок, знаходимо функцію

ui(x) = § w°^„ (x) Vx є [0,1], (19) яка є ортогональною проекцією початкового розподілу температури u0 на простір

6. ПОВНІСТЮ ДИСКРЕТИЗОВАНА ВАРІАЦІЙНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

На підставі наведених вище міркувань сформулюємо наш головний інструмент наближеного розв'язування еволюційної варіаційної задачі теплопровідності (5). Таким інструментом є проекційно-сіткова схема, яка становить алгебричний запис повністю дискретизованої варіаційної задачі:

(задано вектор вузлових значень початкового розподілу

температури

величина

кроку інтегрування At > 0 та параметра схеми 8 є [0,1];

' хRN- такі, що

знайти пари векторів \qqi+l, wJ+1

RN

(20)

[M + At8C]q

j+i

wj+1 = wj + Atqj+\   j = 0,...,NT -1.

Наведемо розгорнутий запис системи лінійних алгебричних рівнянь зі схеми (20), елементи матриці й вектори правих частин якої обчислено за припущення, що коефіцієнти рівняння теплопровідності ц, в, о є сталими. Як можна переконатися

безпосередніми обчисленнями, які аналогічні до наведених у [12], у цьому випадку вони набувають такого вигляду:

q0+1 = о,

6      ^ h   2 6

-

+At8 —+— 3       I h 3

+

- [/(x„-i, tj +At/2)+ 4f(xn, tj +At/2)+/(x„+i, tj +At/2);

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

В Трушевський - Застосування нейронних мереж до розв'язування задач теплопровідності

В Трушевський - Застосування штучних нейронних мереж для розв'язування лінійних крайових задач з примежовимшаром