А Музичук - Застосування перетворення лагера для розв'язування гіперболічних граничних задач - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Сер. прикл. матем. та інформ.

2007. Вип. 13. C. 30-39

VISNYKLVIV UNIV Ser. Appl. Math. Comp. Sci. 2007. No 13. P. 30-39

УДК 517.9

ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАГЕРА ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧ

Анатолій Музичук, Святослав Літинський

Львівський національний університет імені Івана Франка вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: a_muzychuk@franko.lviv.ua

До неоднорідних гіперболічних рівнянь 2 m-го порядку з неоднорідними початковими умовами застосовано перетворення Лагера і для отриманої в просторі зображень системи еліптичних граничних задач виведено аналог другої формули Гріна. Вона стала основою рекурентного алгоритму для обчислення трансформант через мультишарові та об'ємні потенціали, який дає змогу ефективно знаходити потрібну кількість членів ряду Лагера для апроксимації розв'язку нестаціонарної задачі. Як приклад застосування розглянуто граничні задачі для хвильового рівняння.

Ключові слова: гіперболічні граничні задачі, перетворення Лагера, інтегральне зображення розв' язку, мультишарові потенціали

1. ВСТУП

Перетворення Лагера (ПЛ) за часовою змінною є ефективним щодо числового розв'язування лінійних за часом нестаціонарних граничних задач завдяки двом властивостям. По-перше, у просторі зображень отримують системи граничних задач, які розв'язують рекурентно, беручи за основу один і той же еліптичний оператор. По-друге, обернене ПЛ полягає в обчисленні суми функціонального ряду. У випадку граничних задач для гіперболічних рівнянь високого порядку ці властивості є актуальними з огляду на складність таких нестаціонарних задач. Відомо низку варіаційних формулювань [3], які використовували для теоретичних досліджень і які забезпечують регулярність розв'язку залежно від гладкості даних вихідної задачі. Однак на практиці їхня безпосередня реалізція супроводжується, на відміну від споріднених стаціонарних задач, обчислювальними проблемами, передусім великим обсягом обчислень. Ми поширимо методику розв'язування нестаціонарних задач, що грунтується на ПЛ, на граничні задачі для неоднорідного гіперболічного рівняння з неоднорідними початковими умовами.

2. ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ

Нехай Q1- обмежена достатньо гладкою поверхнею Г область у просторі R3, Q 2:= R 3\ Q1- зовнішня область, Q : = R 3\ Г. З урахуванням часової змінної Qj :=Qi х(0,T), i = 1,2, - циліндричні області, а X: =Гх(0, T) - циліндрична поверхня (T > 0). Через d n позначатимемо похідну за нормаллю n , зовнішньою щодо області Q1.

Розглянемо задачу [5, глава 5, розділ 1] для рівняння гіперболічного типу 2m -го порядку, ( m - натуральне число).

© Музичук А., Літинський С., 2007д2 и

Au +--— = f   в області Q1 (1)

dt

з граничними умовами

B.u = gj,   0 < j < m -1,   на    X (2)

і початковими умовами

u(x,0) = v( x),   x є01; (3) ди

— (x,0) = w( x), x є01. (4) dt

Оператори A і B містять незалежні від часової змінної коефіцієнти:

Ap =  X(-l)PDp(apq(x)D*x<p),      an є D(QJ,

\p\\q\<m

Bj P = Xbjh(x)Dhx<P,   bjh є D(T), 0 < mj < 2m-1.

\h\<mj

Тут і далі через D(Q) і D(r) позначимо простори нескінченно диференційовних функцій з компактними носіями в області та на граничній поверхні, відповідно. Ріняння (1) розглянемо в сенсі узагальнених функцій у Q1, а рівність у початкових та

граничних умовах потрактуємо за допомогою слідів цих функцій. Уважаємо, що відповідна операторові A півторалінійна форма

a(^,¥) = X \apq(x)Dp<PDqVdVx

є V-коерцитивна, система граничних операторів {bj ~\т=^ - нормальна на Г, а

початкові та граничні умови - узгоджені:

Bjv = gj (x,0),   x є Г, для таких j, що mj ф (m -1) / 2 , (5)

Bjw = — gj(x,0),   xє Г, для таких j, що mj < (3m -1)/2. (6) dt

Задача (1)-(6) досліджена щодо існування, єдиності та регулярності її розв'язку залежно від властивостей заданих функцій f, gj, v, w. Наприклад [2, глава

5, теорема 3.1], у    припущенні     f є H01(Q1),    vє H2m(ОД   wє H3m/2(Q1),

3m-m} -1/2,[3m-mj--]/m _ _

gj є H 2   (X)        розв'язок належить простору H m' (Q1). Якщо ж

f є L2(Q1), gj є H2m-j-1/2.[2m-j-1/2]/m(X), vє Him/2(Q1), wє Hm/2(Q1), то розв'язок задачі з граничними умовами Діріхле

-^-u = gj,   0 < j < m -1,   на    X (2') належить ширшому простору функцій Hm1(Q1) [2, глава 5, теорема 3.2].

3. ГРАНИЧНІ ЗАДАЧІ В ПРОСТОРІ ЗОБРАЖЕНЬ

Уведемо позначення, які стосуються ПЛ. Саме перетворення розглядаємо на системі ортонормованих функцій [2]:

Pt (t)\Pt (t) = 4®e 2<Lt (fit),  0> 0,fi = lD-a> 0І    , (7)

J t=0

де Lt - поліноми Лагера, 0 і в - деякі параметри. Параметр a використаємо у ваговій функції p(t) = e ~т простору L2a (0, °°) вимірних з цією вагою на інтервалі (0, оо) функцій. Оснастимо простір L2a (0, °°) традиційним скалярним добутком і нормою.

(u, v)a = j0 u(t)v(t)p(t)dt,     \u\|a =(u,u)a . (8)

Будь-яку функцію v(t) є L2a (0, о) можна зобразити майже всюди її рядом Фур'є за системою функцій (7)

v(t) = XX vP (t), vi =(v,p )a . (9)

1=0

Означення 1. Трансформантою і-го порядку ПЛ функції v(t) є L2a (0, о) називатимемо значення v f = (v, р )a. Послідовність перших N +1 трансформант будемо розглядати як координати вектора

~N =(^ V1,..., vN ).(10)

Якщо v(x, t) є H1'' (Q1), r > 0, то після ПЛ матимемо векторнозначну функцію

~n(x) = (v0(x), v1(x),..., vn(x)),   v(x)є Hs. У цьому разі сам ряд (9) інтерпретуємо як обернене перетворення Лагера, яке під час числового розв' язування апроксимуємо частинними сумами.

Після застосування ПЛ до граничної задачі (1)-(6) з використанням уведених позначень отримаємо систему граничних задач для рівнянь еліптичного типу [2]

G uN = fN в області Q1 (11)

з граничними умовами

Bj~N = gjN,   0 < j < m-1, на поверхні Г, (12)

де диференціальний оператор має зображення G = A + C . Перший доданок має вигляд діагональної матриці з еліптичним оператором A на діагоналі:

Матриця С є нижньою трикутною:

\f,    і = j;

2уШ + Ш2(і - j -1), і> j; (13) 0,      і< j.

Тут у = 0 - в/2 . Компоненти правої частини рівняння (11) містять трансформанти правої частини рівняння (1) і функції з початкових умов

f*(x) = f (x) + [0(1 +1)-e/2]v(x) + w(x),   x єП, (14)

Оператор Bj є діагональним подібно до A і задає дію граничного оператора Bj з умови (2) на кожну з компонент ~N (x). Як і в нестаціонарній задачі, рівняння системи розглянемо для узагальнених функцій в П1, а граничні умови потрактуємо за допомогою слідів функцій, заданих в області П1.

Перша з задач системи (11)-(12) стосується лише однієї функції u0(x), яка задовольняє рівняння

(A +у2) u0 = f0* в області П1 (15)

та граничні умови

Bj u0 = gj0,   0 < j < m -1,   на поверхні Г . (16)

Для таких граничних задач добре досліджені як суто теоретичні, так і прикладні аспекти, які можна використати для розв'язування системи (11)-(12) з урахуванням її трикутної структури.

Знайдемо розв' язок системи (11)-(12). З урахуванням її трикутного вигляду побудуємо рекурентний алгоритм для знаходження чергової трансформанти через попередні.

Один з таких алгоритмів очевидний: достатньо кожного разу t -те рівняння системи (11) зводити до рівняння вигляду (15), переносячи в праву частину визначені на попередніх кроках трансформанти нижчих порядків. Однак подальша реалізація такого підходу за допомогою методу граничних інтегральних рівнянь стає неефективною через необхідність перерахунку на кожному кроці інтегралів від знайдених раніше трансформант по всій області П1. Це довелося б робити навіть у випадку однорідного рівняння (1) і однорідних початкових умов (3), (4).

Позначимо через A* оператор

A* р=  X(-1)'PDp(OqP(x)Dqp),

\p\q <m

де a pq - коефіцієнти оператора A , тобто A* формально спряжений до оператора A . Для граничної задачі (15),(16) відносно трансформанти u0(x) справджується така теорема, яка обґрунтовує другу формулу Гріна для цієї задачі.

Теорема 1 [1, теорема 2.1, глава 2]. Для еліптичного оператора A і нормальної на Г системи граничних операторів {Bj j"- можна вибрати (не єдиним

способом) іншу нормальну на Г систему граничних операторів {Sj }m=0 з нескінченно диференційовними на Г коефіцієнтами і порядками fij < 2m -1 таку, що оператори {В0,...,Bm-1,S0,...,Sm-1} утворюють систему Діріхле на Г з порядком 2m ; за такоговибору існують 2m граничних операторів {jj }m_0 і \Tj }m_0, які вже визначені єдиним

чином і мають такі властивості:

а) коефіцієнти операторів Cj і Tj належать D(T);

б) порядок Cj дорівнює 2m -1 -jUj , а порядок Tj дорівнює 2т -1 - mj;

в) {C0,...,Cm-1,T0,...,Tm-1} є системою Діріхле на Г з порядком 2т;

г) для V u,v є D(Q1) виконується друга формула Гріна

jX BjuTjVda. (17)

Наслідок 1 [1, глава 2]. Оскільки функціональний простір D(Q1) щільний у просторі Hlm (Q1) та інтеграли у формулі (17) мають сенс для функцій з Hlm (Q1), то цю формулу можна поширити по неперервності на функції u, v є H2m (Q1). Якщо

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

А Музичук - Застосування перетворення лагера для розв'язування гіперболічних граничних задач