Ю Ловейкін, Ю Човнюк - Застосування прямих варіаційних методів до розв'язання динамічних задач віброущільненняв'язкопружних тіл - страница 1

Страницы:
1  2 

Ловейкін Ю. Застосування прямих варіаційних методів до розв'язання динамічних задач віброущільнення в'язкопружних тіл/Ю. Ловейкін, Ю. Човнюк//Вісник ТДТУ. — 2009. — Том 14. — № 4. — С. 154-160. — (математичне моделювання.математика. фізика).

УДК 517.9; 678.06

Ю. Ловейкін1, канд. фіз.-мат. наук; Ю. Човнюк2, канд. техн. наук

1 Київський національний університет імені Тараса Шевченка 2Національний університет біоресурсів і природокористування України

ЗАСТОСУВАННЯ ПРЯМИХ ВАРІАЦІЙНИХ МЕТОДІВ ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ ВІБРОУЩІЛЬНЕННЯ

В'ЯЗКОПРУЖНИХ ТІЛ

Резюме. У даній роботі розглянуто застосування прямих варіаційних методів у задачах віброущільнення сумішей та матеріалів. Встановлено основні параметри віброущільнення сумішей та матеріалів. Здійснено порівняльний аналіз розв 'язків динамічних стаціонарних задач віброущільнення.

Ключові слова: прямі варіаційні методи, віброущільнення, в 'язкопружне тіло.

Yu. Loveikin, Yu. Chovnyuk DIRECT VARIATIONAL METHODS APPLICATION TO SOLVE OF VISCOUS-ELASTIC BODIES VIBROCOMPACTION DYNAMICAL

PROBLEMS

The summary. Direct variational methods application to solve of vibrocompaction of mixtures and materials. Vibrocompaction basic parameters are discovered. Comparative analysis of vibrocompaction dynamical stationary problem solutions is executed.

Key words: direct variational methods, vibrocompaction, viscous-elastic body.

Вступ. У численній літературі [1-5] з теорії коливань проблемі коливань в'язко-пружних тіл ( у тому числі в'язкопружних нестискуваних матеріалів) приділено недо­статньо уваги. Між тим, ці задачі мають неабияке значення для багатьох важливих застосувань, зокрема, при віброущільненні різноманітних сумішей та матеріалів. Слід зазначити, що розглядаючи матеріали подібного виду, суттєво дослідити стаціонарні режими. З області нестаціонарних режимів важливим є випадок удару абсолютно жорсткого тіла по в'язкопружному (модель ударного та віброударного ущільнення матеріалів).

При вивченні стаціонарних коливань в'язкопружних тіл найбільш розповсюджений метод - розклад шуканого розв'язку за власними функціями відповідної пружної задачі [1,3,6]. Такий метод застосовують, якщо відомі фундаментальні функції та власні числа задачі теорії пружності (головні форми та власні частоти). Слід зазначити, що цей підхід ефективний лише для тіл канонічної форми, у більшості ж практичних задач визначення фундаментальних функцій та власних чисел - доволі складна задача, розв'язок якої, як правило, можна знайти лише за допомогою чисельних методів, що, у свою чергу, ускладнює застосування отриманих результатів для розв'язання в'язкопружної задачі. Крім того, експериментальних даних, необхідних для описання фізичних властивостей в'язкопружного нестискуваного матеріалу, недостатньо при розгляді високочастотних коливань (задач звукової ізоляції, пов'язаних з акустикою).

У прикладних розрахунках, описуючи дисипативні властивості матеріалів, зручно користуватись поняттям величини петлі гістерезису [7]. Такий підхід дозволяє застосовувати досить простий математичний опис, гарну фізичну інтерпретацію і невикликає особливих перешкод при її експериментальному визначенні для частотного діапазону, що нас цікавить. Крім того, такий підхід суттєво скорочує об'єм обчислень.

Найбільш ефективними при розв'язанні прикладних задач (як статичних, так і динамічних) є прямі варіаційні методи. Чисельна реалізація цих методів дає можливість врахувати попереднє навантаження виробу та інші особливості тіл довільної конфігурації. Однак для застосування цих методів необхідно сформулювати відповідний функціонал з екстремальними властивостями для дисипативної системи.

У лінійному випадку принцип Гамільтона можна розповсюдити на неконсервативні системи [8,9]. Цього досягають за допомогою додавання даної системи і спряженої до неї. У результаті одержують консервативну систему, до якої застосовують принцип Гамільтона.

Мета роботи - встановити основні параметри динамічних стаціонарних задач віброущільнення матеріалів та сумішей, використовуючи прямі варіаційні методи.

1. Прямі варіаційні методи для задач динаміки систем із зосередженими параметрами. Будемо розглядати диференціальне рівняння руху системи

МШ R\&+Ew = P(t), (1) де М, R, Н - матриці відповідно мас, дисипації та жорсткості системи, w - вектор узагальнених координат, P(t) - функція збурюючих сил. Тоді спряжена система до системи (1) має вигляд

М T W- RT WT w = P(t). (2) Назвемо рівняння (1) рівнянням руху з дисипацією, а рівняння (2) - рівнянням руху з накопиченням.

Відповідний функціонал, для якого рівняння (1) та (2) є рівняннями Ейлера, має вигляд

Ф = Jf &М&+1 &Rw - 2 qTMWc- qTHw + P[w + q] jdt. (3)

Відповідний функціонал для нестискуваного середовища з дисипацією запишемо, як

\_ Р&т&т__til     + И     \( ГІ     + ГІ     \__І

І / iXr   I   iXr \t ~   I q     + q

dr + (4)

+\\ 4(q& + & )G+(uy. + ufi) +1 q&G+(su )\ drl dVdt + 2\\pr  + qr )d Qdt.

Тут u та su - відповідно переміщення та функція гідростатичного тиску реальної си­стеми, qi та sq - відповідно переміщення та функція гідростатичного тиску спряженої системи. Оператор зсуву G* визначаємо, як

G*[f (t)] =/A(t -r)f (r)dr. (5)

Оператори G- та G+ є операторами зсуву відповідно для реальної та спряженої систем. У випадку гармонічного впливу маємо

GO

G- [sin cot ] = G[sin cot ] - G1 [sin(c;t - q>0)], G+[sin ct ] = G[sinct ] - Gj[sin(ct + %)],

(6)

L1 = j Л( z) cos cozdz,      L2 = j Л( z) sin cz dz,

0 0

G, = G[(1 - L )2 + L ]1/2,   tg    = -L2 (1 - L Ґ. Тут і у подальшому, описуючи величину енергії дисипації, зручно користуватися поняттям величини петлі гістерезису, а саме:

t + 2/г/ c

Q =   j  jvy^dVdt. (7)

t V

Використовуючи закон стану та геометричний зв'язок між деформаціями та переміщен­нями, (7) можна привести до вигляду

t+2// c

Q =   j  jG\2ev + S1Js)£&dVdt =

t cV (8)

t+2/// c    г 1 -> v 7

-2/ c     Г - ~~

j j -(Ufc + U&)G>, + Ujl) + U&G*(s) dVdt t  V L2 _

Порівнюючи (8) з внутрішніми інтегралами у (4), бачимо, що останні, з точністю до множника, є величинами розсіяної та накопиченої енергії відповідно у реальній та спряженій системі у випадку, коли за інтервал часу у (4) брати період коливань 2/ c вимушеної сили.

2. Аналітичні розв'язки стаціонарних задач динаміки. Розглянемо два варіанти розв'язку задачі, використовуючи функціонал, наведений у п. 1. Як приклад аналітичного розв'язку задачі розглянемо усталені вимушені коливання стрижня під дією гармонічної сили (рис. 1).

P0 sin ct

x = 0 x = h

Рис. 1. Геометрія задачі: E - модуль Юнга матеріалу стрижня, F - площа його поперечного перерізу, P0 - амплітуда вимушеної сили

Розв'язок цієї задачі можна шукати у вигляді розкладу його за власними формами коливань пружного стрижня [3], а саме:

u (x, t) =    sin І —x j(Ask sin cot + Ack cos cot),

Г     )C   \ (9) q(x, t) = ]T sin j x j (B>1 sin cot + B°k cos cot),

к=1де u (x, t) - поздовжнє переміщення у реальній системі, q( x, t) - поздовжнє переміщення у

і—;— (2к - 1)/c

спряженій системі, c = yjEР , Рк~

2h

р

густина матеріалу стрижня.

Середнє за період значення кінетичної енергії для к -ої форми коливань знаходимо за формулою

2      0    0 2

(10)

Оскільки о\j = Eatj, а у лінійній задачі ox = Eux, то потенціальну енергію опишемо рівнянням

„ „ 2/c h

j juxqxdxdt =     pFpXAB + AB)

J   J 7 m

2   J J 2c

2     0   0 2ty

(11)

Розглядаючи як розсіювану енергію величину петлі гістерезису, для енергії дисипації матимемо

,-, 2/c h ґ Л2

j j(G+ux)<§tdxdt = ^-FchЦ] L(AB + AB^sm^

2

0 0

+

(12)

Відповідно накопичена енергія буде

, 2/r/c h

j j (E*_qx )i£cdxdt

(A[B[ -AB)(E-E.cos%)]

F 2

2c

Fch (       [(AkB[ + 4%)Easing, +

(13)

(AB - AlBl)(E-E.cos%)]

00

Як і слід було чекати, розсіяна і накопичена енергії за величиною однакові й відрізняються лише знаком. Лінеаризований функціонал для к -ої форми коливань отримаємо згідно із (2) і маємо

= nJ pFh(c2 -p\\AkBl + A[Bl) + 2P0(A + B[)sinj phj

2c

c

■2/Fh\ ^ I x c

(14)

{(A*Bsk + AlBl)E sin% + (AlBl - AB)(E-E cos%)]}

де E1, q>0 одержуємо згідно із (6), невідомі константи Ask, Al знаходимо методом Рітца з

умов

0, 0.

Після нескладних перетворень одержуємо

u (x, t) : pFh

CO

k=1

(-1)k-1 sin j px] sin(ct + <pk)

2 2

(1 - 2/ ^ ЇЇ+Г 2/p2<E-^

(15)

2

c

2

2/p2 E-Ec°s%

tg%=-7-^ ч . (16)

2 2      0 E1sin^(

c -pk \ 1-2/г —

E

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Ю Ловейкін, Ю Човнюк - Застосування прямих варіаційних методів до розв'язання динамічних задач віброущільненняв'язкопружних тіл