В Трушевський - Застосування штучних нейронних мереж для розв'язування лінійних крайових задач з примежовимшаром - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ Серія прикл. матем. інформ. 2009. Віт. 15. C. 267-280

VISNYKLVIV UNIV. Ser. Appl. Math. Inform. 2009. Is. 15. P. 267-280

УДК 681.324

ЗАСТОСУВАННЯ ШТУЧНИХ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ З ПРИМЕЖОВИМ

ШАРОМ

В. Трушевський*, Н. Щербина"

Львівський національний університет імені Івана Франка, вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kdais@franko.lviv.ua

** . .

,     . , 3 ,   .       , 79601

Розглянуто ефективність застосування штучних нейронних мереж (ШНМ)для розв'язування лінійних крайових задач з примежовим шаром. В основу роботи ШНМ покладено ідею мультисіткового ітераційного методу. Архітектура нейронної мережі складається з двошарової рекурентної мережі прямого поширення. ШНМ будують так: нейрони ототожнюють з вузлами сіткової області, міжнейронні зв'язки визначають оператори рестрикції для переходу на грубшу сітку та пролонгації для переходу на густішу сітку. Кожен шар мережі виконує специфічні обчислення, що зумовлює їхню різну структуру. Нейрони першого шару мережі виконують дві функції: згладжування та уточнення розв'язку. Другий шар мережі забезпечує згладжування похибки розв'язку. Навчання мережі полягає у мінімізації відхилу вихідного рівняння. Особливість чисельної реалізації побудованої мережі полягає у тому, що значна частина обчислень відбувається на грубілій сітці, це значно економить часові затрати та прискорює збіжність до точного розв'язку. Зі збільшенням кількості нейронів точність розв'язку поліпшується. Наведено порівняльний аналіз числових результатів для деяких крайових задач з примежовим шаром.

: , ,

, , , .

1. ВСТУП

Розв'язки багатьох задач математичної фізики і механіки мають великі локальні градієнти розв'язку, що суттєво ускладнює пошук достовірного, фізично коректного результату з використанням традиційних підходів [1-7, 12, 16]. Наприклад, задачі тепломасоперенесення пов'язані з пошуком розв'язку крайових задач для сингулярно збурених диференціальних рівнянь, у яких малий параметр міститься при похідних найвищого порядку. Числовим розв'язкам такого типу задач властива наявність примежового шару. Як свідчать результати досліджень, щоб достовірно визначити поведінку розв'язку в областях з великими градієнтами, треба застосовувати високоточні методи. Класичні скінченно-різницеві схеми низьких порядків точності незадовільно описують розв'язки задач з великими градієнтами [8]. Іншим прикладом задач, яким властива наявність примежового шару, слугують задачі адвекції-дифузії за великих значень чисел Пекле. У випадку застосування методу скінченних елементів для числової реалізації математичних моделей процесу адвекції-дифузії простежується явище втрати точності результатів, нефізична поведінка в околі примежових шарів. Для подолання цих недоліків широко використовують адаптивні й стабілізовані схеми МСЕ (див., наприклад, [5, 12]). За

© Трушевський В., Щербина Н., 2009

268

В. Трушевський, Н. Щербина

допомогою цих та інших спеціально розроблених технологій вдається підвищити стійкість схем МСЕ й поліпшити апроксимації розв'язків [2-7]. Отже, щоб отримати

( , ) ' ,

різні вдосконалені обчислювальні схеми.

Як альтернативні до відомих числових методів розв'язування крайових задач останнього часу застосовують ШНМ [9-11, 14, 15, 17, 18], які є новітніми високопродуктивними обчислювальними технологіями. Для розв'язування крайових задач на ШНМ використовують прямі та ітераційні методи, а також різноманітні їхні комбінації (так звані гібридні методи) [9, 18].

Мета нашої праці - дослідити ефективність застосування штучних нейронних мереж для розв'язування деяких лінійних крайових задач з примежовим шаром. Задля цього розглянемо новий підхід для наближеного розв'язування задач математичної

,

нейромережевого методу й дослідимо його обчислювальну спроможність у випадку сингулярно збурених задач. Перш ніж перейти до побудови нейронної мережі стисло опишемо застосовність мультисіткового методу до крайових задач математичної фізики.

2. МУЛЬТИСІТКОВИЙ МЕТОД

Розглянемо лінійну крайову задачу, яка полягає у розв'язанні диференціального рівняння

Lu( x) = f (x), x eQ. (1) На шуканий розв'язок u(x) на межі Г області Q накладено такі додаткові умови:

u(x) = X(x), x e Г.

Через f(x) і x(x) позначено задані функції. Розв'язок задачі шукаємо в

області G = Q и Г, Q с Rn, Гс Rn. На G задано диференціальний оператор задачі

L : Rn Rn, який діє на функцію u(x), x eQ .

' (1) дискретизацію задачі. Саме у цьому полягає перший крок побудови ШНМ. Побудову ШНМ на основі скінченно-елементної дискретизації детально розглянуто в [11]. Ми

( ).

з МСР заміняємо область зміни неперервного аргументу дискретною множиною

( ) .

цьому разі отримуємо таку апроксимовану крайову задачу:

Lhuh(x)= fh(x), x с Gh, (2) де Lh: H H - лінійний оператор, визначений у просторі сіткових функцій; uh, fh

- функції визначені у вузлах сітки Gh = coh и yh; coh ={xi = ih, i = 1,..., N -1, h = 1/N} -множина внутрішніх вузлів; yh = {x = ih, i = 0, N, h = 1/N} - множина граничних вузлів.

Неперервну функцію u(x) апроксимуємо сітковою функцією u(xi ) = ui, xi (i = 0,1,..., N) - значення x у вузлах сіткової області Gh.

uh ' (2), uh (n) -

n - . n - vh (n)

за формулою

269

vh (n) = uh - uh(n). (3) Величину відхилення визначаємо

dh(n)= fh -Lhuh(n). (4) На підставі (3) та (4) запишемо рівняння для відхилення, що еквівалентне до (2)

Lhvh (n)= dh(n). (5)

(2)

AQ = F , (6)

Q -                        ; F - .

Через Qk позначимо наближене значення розв'язку на k -му кроці ітераційного процесу. Поточну величину похибки апроксимації vk визначаємо за формулою

vk = Q - Qk. (7)

(6) :

Dk = F - AQk . (8)

(7)      (8) , (6),

Avk = Dk . (9)

Мультисіткові обчислення виконуємо на послідовності сіток G0, G1. Сітка G0 має найменший крок дискретизації h0, а сітка G1 характеризується кроком h1 = 2h0. Перехід від сітки G0 до сітки G1 і навпаки відбувається за допомогою операторів рестрикції R,1, та пролонгації P/0 відповідно [9]. Алгоритм мультисіткового методу полягає у такій послідовності обчислень:

0) ініціалізація початкових значень невідомих векторів Q0 := 0, v0 := 0,  k := 0 ;

1) згладжування на сітці G0

Z := -p(a°Q° - Fk), де р - коефіцієнт згасання [9];

2) обчислення відхилу на густішій сітці d :=     - A0Z ;

3) операція рестрикції на грубшу сітку D := ;

4) згладжування похибки на сітці G1

5) G 0

6) уточнення розв'язку на сітці G0

Qk+1 := Z + v °;

7) 1 - 6

Qk+1 -Q°|, 0<Є< 1.

vk :=vk -p(A0vk - D);

0

v 1= P0 vk

270

В. Трушевський, Н. Щербина

3. ПОБУДОВА НЕЙРОННОЇ МЕРЕЖІ

Реалізуємо описаний мультисітковий метод на рекурентній нейронній мережі. Розв'язок задачі шукатимемо на множині з двох сіток. Загальний випадок, який

відповідає довільній кількості сіток, розглянуто у праці [10]. Через G0 позначаємо сітку вузлів з кроком h0. Наступну сітку вузлів G1 отримуємо з попередньої шляхом збільшення кроку дискретизації удвічі. Нейрони ототожнюємо з вузлами сіткової області, у якій будуємо наближений розв'язок крайової задачі. Архітектура нейронної мережі складається з двошарової рекурентної мережі (див. рис.1). Мережі такого типу допускають зворотні зв'язки, тобто обчислення в нейроні поточного шару відбуваються з урахуванням попереднього стану цього ж шару [18]. Припускаємо, що

, ' (1)

становить N +1 = 2n +1 (n > 0). Тоді кількість нейронів першого шару становить 2n +1, а другого шару відповідно n +1.

Рис. 1. Архітектура нейронної мережі

Перехід від точної сітки до грубшої визначимо дією оператора рестрикції Rj: G0 G1:

ч = (R)q0) і

чП = (Rje°)n

Оператор вузлової пролонгації P)0 : G1 — G0 задамо у такому вигляді:

ч0 і = (p<0Q1 1 і = ч), і = 0,...n,

IX 1 / N (11)

Нейрони першого шару мережі виконують дві функції: згладжування та уточнення розв'язку. Другий шар мережі забезпечує згладжування похибки розв'язку (    . ).

(10) (11) міжнейронних з'єднань і вагові коефіцієнти нейронної мережі [9]. Ми вважаємо, що ШНМ  вже  навчена.  Зазначимо,  що внаслідок зміни коефіцієнтів операторів рестрикції та пролонгації можна навчати ШНМ. У такому разі основним критерієм оцінки ефективності навчання ШНМ є цільова функція [18]. За допомогою цієї

0

Ч0 + \ V        2 J

0 0 q0і-і      0   , q0і+1

——+Ч0 і +——

J = 1,...,n -1,

(10)

0

Z Vll0n

071

функції оцінюють наскільки робота ШНМ відповідає бажаному результату. Цільовою функцією навчання рекурентної нейромережі є мінімізація норми відхилення

£>к = F0 - A°Q0 . Завдяки згладжуванню похибки розв'язку на грубілій сітці G1 та

' G 0

кількість арифметичних операцій потрібних для відшукання розв'язку.

3.

Застосуємо запропоновану обчислювальну схему для комп'ютерної реалізації математичної моделі процесів міграції вологи, домішки та тепла в пористому

, , середовища r = r1  та r = r0 задані значення п'єзометричного напору h1  і h0, концентрації домішки с1 і с0, а також температури T1 і T0 [1, 13]. У загальному

[1]. , ,

розв'язку таких диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами:

d2c      1 dc

є—- +--= 0, 0 < x < 1, (10)

dx0    x + rk dx

d2T      1   dT   n n є1—- +--= 0, 0 < x < 1, (13)

dx     x + rk dx

які задовольняють граничні умови

c(0)= С), c(l)= C0, (14) T (0)= T1, T (l)= T0. (15) Тут   c   -  масова  концентрація  домішки;   T   -  температура,   є = 1/(l + Pes), є1 = 1/(l + Pe); Pes, Pe - дифузійне та температурне числа Пекле; rk = rj(r0 - r1),

x

)/(r0 - r1) - безрозмірна координата.

Розв'язку   задачі   тепломасоперенесення   (10)-(15)   властива наявність примежового шару. Застосування числових методів для її розв'язування пов'язане зі

[1].

' , ,

побудова стійких обчислювальних схем. Зазначимо, що стандартні схеми МСЕ стосовно задач з примежовим шаром не дають змоги отримати задовільний результат й тому зазвичай доводиться використовувати різні удосконалені, стабілізаційні обчислювальні схеми МСЕ та концептуально інші методики.

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

В Трушевський - Застосування нейронних мереж до розв'язування задач теплопровідності

В Трушевський - Застосування штучних нейронних мереж для розв'язування лінійних крайових задач з примежовимшаром