Т В Манжос - Знаходження оптимальних розмірів резервних запасів підприємства в умовах невизначеності - страница 1

Страницы:
1  2  3 

Формування ринкової економіки. 2011. № 26

5. Лук'яненко І., Городніченко Ю. Сучасні економетричні методи у фінансах. Навчальний посібник — К.: Літера, 2002. - 350 с.

6. Рядно О. А., Піскунова О. В., Хрущ Я. В. Особливості розвитку малого бізнесу в Україні та вдосконалення системи його підтримки ор­ганами влади // Щорічник досліджень консорціуму із удосконалення менеджмент-освіти в Україні. — К.: Навчально-методичний центр «Консорціум із удосконалення менеджмент-освіти в Україні», 2005. -С. 11—102.

7. Щетинин О. Развитие малого бизнеса в России. Региональный ас­пект — на сайте: http://www.nisse.ru/analitics.html?id=rmbra&part=main.

8. Vavryshchuk V. Small business in Ukraine: macroeconomic deter­minants. National University of «Kyiv-Mohyla Academy». Economics Education and Research Consortium. Master's Program in Economics. 2003.

Статтю подано до редакції 13.04.11 р.

УДК 519.8

Т. В. Манжос, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри вищої математики, ДВНЗ «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана», О. М. Тертична, канд. фіз.-мат. наук, старший викладач кафедри вищої математики, ДВНЗ «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана»

ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ РОЗМІРІВ РЕЗЕРВНИХ ЗАПАСІВ ПІДПРИЄМСТВА В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

АНОТАЦІЯ. Вивчається питання про оптимальний розмір резерв­ного товарного або виробничого запасу та оптимальний коефіці­єнт ризику, які дозволяють мінімізувати сукупні витрати на збері­гання та можливу дефіцитність. На основі статистичних даних знайдено такий коефіцієнт ризику для одного підприємства.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: резервний запас, коефіцієнт ризику, мінімізація витрат дефіцитності та зберігання.

АННОТАЦИЯ. Исследуется задача определения оптимального размера резервного товарного или производственного запаса и оптимальный коэффициент риска, которые позволяют минимизи­ровать суммарные издержки, связанные с дефицитностью и хра-

© Т. В. Манжос,

О. М. Тертична, 2011нением запасов. На основании статистических данных найден та­кой коэффициент риска для одного предприятия.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: резервный запас, коэффициент риска, ми­нимизация издержек дефицитности и хранения.

KEYWORDS: We study the question of optimal size of reserve stock and optimal risk coefficient that can minimize the total costs of storage and deficit. This risk coefficient was found for one company on the basis of statistic data.

KEY WORDS: reserve stock, risk coefficient, minimization of deficit and storage costs.

Постановка проблеми. На сьогоднішній день проблема управ­ління запасами є актуальною для підприємств будь-якого сектору системи господарства. Адже такі причини як неузгодженість рит­му виробництва постачальника та споживача, дискретність про­цесу поставок, випадкові коливання інтенсивності споживання та різна тривалість інтервалів між поставками відносно середнього (розрахункового) рівня спонукають до створення виробничих чи товарних запасів.

Створення та зберігання запасів в більшості випадків є дешев­шим шляхом забезпечення ритмічності та неперервності вироб­ництва, ніж будь-який інший спосіб (екстрені поставки, додат­кові трудові ресурси тощо). Запаси можуть складатися з сиро­вини, матеріалів, напівфабрикатів, комплектуючих виробів, това­рів, відходів та ін. Крім того, капітал теж можна розглядати як запас, вартість зберігання якого визначається темпами інфляції.

Колосальні об'єми коштів, вкладені в запаси, надають пріори­тетного значення задачам ефективного управління ними. Наприк­лад, в США у 1976 р. товарні та виробничі запаси складали 17 % валового внутрішнього доходу [1], в Радянському Союзі на рубе­жі 1990-х років сумарна вартість запасів перевищувала 450 млрд рублів [2]. Надлишкові запаси часто стають причиною невдач у бізнесі та призводять до критичних ситуацій. Кризи перевироб­ництва, що призвели до утворення широкомасштабних неліквід­них запасів, охоплювали цілі країни та регіони світу [3].

Управління запасами — це процес, що забезпечує ефектив­ність операцій з запасами як всередині підприємства (організації, фірми), так і зовні нього — на протязі усього ланцюга поставок. Політика управління запасами обов'язково повинна спиратись настратегію підприємства в цілому. Саме від такої стратегії зале­жить вибір моделі управління запасами.

При управлінні виробничими чи товарними запасами виникає два основних питання: коли поповнювати запас і яким повинен бути його оптимальний розмір. Очевидно, що запаси потребують певних витрат на їх зберігання, поки вони не будуть реалізовані. Причому втрати компанії зростають в першу чергу за рахунок то­го, що частина оборотного капіталу інвестується в запаси. Тому в кожному конкретному випадку важливо побудувати математичну модель, що описує досліджувану систему, та на її основі знайти оптимальне співвідношення між витратами та вигодами від обра­ного рівня запасів і визначити, які розміри запасів по кожній із груп товарів чи сировини є достатніми.

Аналіз основних джерел. Перші спроби розв'язати за допо­могою математичних методів сформульовані вище задачі управ­ління запасами були зроблені ще в 20-х роках минулого століття. Вперше виведення формули, яку називають простою формулою розмірів партії, було зроблене Ф. Гаррісом [4] у 1915р. Ця ж фор­мула потім була отримана незалежно й іншими дослідниками. Зараз вона широко відома під назвою формули Уілсона, за ім' ям одного з них. Перша книга, повністю присвячена теорії запасів, була написана співробітником Массачусетського технологічного інституту Ф. Реймондом [5]. У ній була зроблена спроба поясни­ти, як різні узагальнення простої моделі розміру партії можна за­стосовувати на практиці.

Після закінчення другої світової війни почала активно розви­ватись наука про методи управління та дослідження операцій. Саме тоді було звернуто увагу на те, що характер процесів управ­ління запасами є випадковим, адже до того часу усі досліджувані системи вважались детермінованими. У 1953 р. Уайтином [6] бу­ла написана перша книга, в якій досить детально були описані ймовірнісні методи управління запасами.

З 1960-х років активно почали займатися теорією запасів і в Радянському Союзі. Серед перших найбільш активних дослідни­ків слід відмітити О. В. Булинську, Ю. І. Рижикова, під редакцією якого вийшла перша монографія на російській мові [7]. Виник­нення логістики у 1970-х роках дозволило розглядати проблему управління запасами під дещо ширшим кутом зору.

Ученими різних країн було написано велику кількість моно­графій, пов' язаних з цією тематикою, серед яких відмітимо [8], [9], [10]. Останні кілька десятиліть інтерес до теорії закупок та запасів не зменшується. І, не дивлячись на те, що вченими роз­роблено багато методів управління запасами і розв' язано велику кількість пов' язаних з цим практичних задач, порушені питання все ще залишаються актуальними.

Постановка задачі та виклад основного матеріалу. Припус­тимо, що очікувані річні витрати сировини деякого підприємства дорівнюють Q. Якщо на протязі року сировина закуповується n разів рівними партіями, то розміри окремої партії будуть склада­ти S = Q. Але, оскільки витрати сировини є випадковою величи-n

ною, то для того, щоб сировини вистачило на кожен із n інтерва­лів часу, слід створити певний додатковий запас, який нази­вається резервним запасом.

У такому випадку підприємство створює резерв R в наперед заданому розмірі, а потім здійснює чергові закупки сировини. Таким чином, коли основний запас вичерпується, а підприємство не встигло закупити нову партію сировини, непередбачувані по­треби покриваються з резерву.

Отже, основна задача полягає у визначенні оптимального роз­міру резерву. Адже зрозуміло, що якщо підприємство створює великий резерв, то воно покриє усі можливі непередбачувані ви­трати сировини, але у цьому випадку й витрати на зберігання та­кого резерву будуть достатньо великими.

На практиці розрахунки оптимального розміру резервного за­пасу базуються на деякій, наперед встановленій, ймовірності то­го, що потреби в сировині на даний проміжок часу не перевищать існуючого резерву. Таку ймовірність називають коефіцієнтом надійності.

У цій роботі ми будемо оперувати з ймовірністю протилежної події. Визначимо коефіцієнт ризику p як ймовірність того, що ре­зерв виявиться недостатнім. Якщо з певних міркувань такий кое­фіцієнт ризику встановлено, то на основі статистичних даних можна змоделювати дану ситуацію і визначити оптимальний розмір резерву [10].

Постає природне питання: яким же повинен бути ризик p та, відповідно, резерв R, щоб витрати на його зберігання або можли­ву недостачу були мінімальними? Щоб відповісти на нього, по­будуємо функцію пов' язаних з резервуванням витрат та за допо­могою математичних методів розв' яжемо задачу її мінімізації.

Припустимо, що виникають деякі витрати, пов' язані з недо­статністю резерву сировини R, які можливо визначити заздале­гідь. Такі витрати називають витратами дефіцитності.

Позначимо через U випадкову величину, яка визначає розмір надлишку або недостачі сировини по відношенню до закупленої партії, з функцією розподілу f (u). Можливі два такі випадки:

1) резерв надто великий (R > и), тоді виникають витрати збе­рігання надлишкового запасу; ці витрати складають c1(R - U), де c1 — питомі витрати зберігання, тобто річні витрати зберігання одиниці запасу сировини;

2) резерв надто малий (r > и), тоді у цьому випадку виника­ють витрати дефіцитності, які дорівнюють c2(U - R), де c2 — пи­томі витрати дефіцитності сировини.

Тоді витрати на зберігання резерву R або можливої його недо­стачі будуть складати

[c1(R - U), якщо U < R; = [c2(U - R), якщо U > R. (1)

Задача знаходження оптимального розміру резерву запасів Ropt в умовах невизначеності потреб у сировині полягає в міні­мізації очікуваного значення (математичного сподівання) витрат M (D) -— min.

Оскільки D є функцією випадкового аргументу U (тобто D = q>(U)), то її математичне сподівання знаходиться за форму­лою (див.[11], ст. 142):

M(D) = j q>{u) f (u)du

Звідси, враховуючи (1), отримаємо очікуване значення витрат зберігання надлишкового резерву або можливих витрат дефіци­тності:

M(D) = c1 j (R - u) f (u)du + c2 j (u - R) f (u)du. (2)

Встановимо, для якого резерву R і для якого значення коефіці­єнту ризику p математичне сподівання M(D) досягає міні­муму. Для цього (згідно необхідної умови існування екстремуму)

dM (D)

слід обчислити похідну —— і прирівняти її до нуля. Похідна математичного сподівання витрат (2) дорівнює

dM (D)

dd

.„ Ъ j (R - u) f (u)du + c2— j (u - R) f (u)du. (3) dR dR J dR J v '

R

Прирівнявши вираз (3) до нуля, отримаємо необхідну умову існування мінімального значення M(D), а саме:

d_ dR

j (R - u) f (u)du

.£2

d '

dR

j (u - R) f (u)du

(4)

Проаналізуємо, який економічний зміст має умова (4). Інтег-

R

рал у чисельнику j (R - u) f (u)du є математичним сподіванням

-да

надлишку сировини, тобто відповідає випадку надлишку резерву. Похідна цієї величини є граничним очікуваним надлишком. Інтег­рал у знаменнику   j (u - R) f (u)du  є математичним сподіван-

R

ням недостачі сировини; він відповідає випадку недостатності резерву. Похідна цього інтеграла є граничним очікуваним дефіци­том. Поняття граничного очікуваного значення (або граничного математичного сподівання) було введено П. Массе в роботі [12], яка присвячена програмуванню в умовах невизначеності.

Таким чином, з умови (4) маємо, що резерв сировини R є оп­тимальним, коли відношення граничного очікуваного надлишку до граничного очікуваного дефіциту дорівнює співвідношенню

, де c1 — питомі витрати зберігання запасів, а c2 — питомі витрати дефіцитності сировини.

Щоб краще зрозуміти економічний зміст умови (4), обчисли­мо похідні інтегралів, що стоять в її лівій частині. Для цього ско­ристаємося теоремою математичного аналізу про диференцію­вання під знаком інтеграла [13] (ст. 165). Вона формулюється на­ступним чином.

b

Якщо задана функція g(x) = j f (x y)dy, де a і b — сталі числа,

a

то похідна цієї функції дорівнює

dg (x) = f df (x, У)

[ЇШ^ dy.

J Яг

dx     J dx

У випадку, коли межі інтегрування a і b залежать від змінної x,

b( x)

тобто a = a(x), b = b(x) і, відповідно, функція g(x) = j f (x, y)dy

a ( x)

її похідна знаходиться за формулою:

ddx) = J dy + f (x, b( x)) ddx) - f (x, a( x)) dd(x)

dx      ()    dx dx dx

(5)

Зауважимо, що в сформульованій теоремі межі інтегрування a і b скінченні. У випадку ж нескінчених меж інтегрування слід пе­рейти до відповідної границі.

Отже, використовуючи формулу (5) для обчислення похідної інтеграла, який міститься в чисельнику лівої частини рівності (4), отримаємо:

RjfR \ ( j R

d R d d

j (R - u) f (u)du = lim j(R - u) f (u)du = lim Ij(R - u) f (u)du dR - dR 1 a--»J )   a--™1 dRJ

-да V aj\a ;

= Smlj * + ((R - R) f (R))))-((R - a) f (a)£ | = (6)

d

dR y 7dR   y ' dR

lim I j f (u)du + 0 - 0 I = j f (u)du.

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Т В Манжос - Знаходження оптимальних розмірів резервних запасів підприємства в умовах невизначеності

Т В Манжос - Оптимальний розмір запасу підприємства за умови гамма-розподіленого попиту

Т В Манжос - Переваги централізованого управління запасами підприємств за умови стохастичного попиту