М Ф Бондаренко - Идентификация объектов описываемых р числовыми системами - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2008. № 2 (69). С. 23-31

ХНУРЭ

УДК 519.7

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ р ЧИСЛОВЫМИ СИСТЕМАМИ

intelligence    М.Ф. Бондаренко1, С.Ю. Шабанов-Кушнаренко2 Ю.П. Шабанов-Кушнаренко3

12 3 ХНУРЭ, г. Харьков, Украина

В процессе компараторной идентификации объектов приходится записывать различные условия, которым удовлетворяют исследуемые предикаты. Чтобы иметь в дальнейшем возможность делать это беспрепятственно, надо располагать полным языком формального описания логических условий. В данной статье описывается разработанная нами для этой цели алгебра предикатных операций.

КОМПАРАТОРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ, ЦВЕТОВОЕ ЗРЕНИЕ, ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАН­СТВО

Введение

Представленные в настоящей статье результа­ты по идентификации понятия числа имеют мно­го общего с известными положениями из учения об основаниях арифметики, поэтому необходимо проанализировать различие между ними. В нашей постановке речь идет только об идентификации (то есть математическом описании) понятия числа, вопрос об обосновании этого понятия не ставится. При решении задачи идентификации объектов все средства формального описания хороши, лишь бы они были надежны; нет необходимости их ограни­чивать, как это делается в математической логике при обосновании понятий арифметики. Снятие запрета на средства формального описания дает возможность идентифицировать именно ту ариф­метику, которая фактически используется в мате­матической практике, а не тот ее вариант, который носит название формальной арифметики.

1. Разработка полного формального языка идентификации

Пусть U - какое-либо множество предметов, называемое универсумом. На множестве U вво­дим предметные переменные x1, x2,..., xm . Если ai, аг,..., am є ии xi = a , X2 = 02 xm = am , то бу­дем говорить, что предметный вектор (а1, а2,..., am) принадлежит пространству Um размерности m . Любое подмножество P пространства Um на­зывается отношением на Um. Любая функция P(£) = (x1, x2,..., xm), отображающая Um в множес­тво X = {0, 1}, называется предикатом на Um. Пусть L - множество всех отношений на Um, М- мно­жество всех предикатов на Um. Отношение P єL и предикат P єМ называются соответствующими друг другу, если при любом £ = (x1, x2,..., xm)

p (x)=І0,если

[0, если QiP.

Предикатом узнавания предмета a є U по пере­менной x{ называется предикат xa из М , опреде­ляемый условием

a   І1, если x.- = a, xa = < '    [0, если xt + a.

_ Отрицанием предиката P называется предикат P , соответствующий отношению P . Дизъюнкци­ей предикатов P и Q называется предикат P v Q, соответствующий отношению P и Q . Конъюнк­цией предикатов P и Q называется предикат P л Q, соответствующий отношению Pr*Q . Нулевым предикатом 0 называется предикат, соответству­ющий пустому отношению. Множество M всех предикатов на Um называется универсумом пре­дикатов.

На множестве M вводим предикатные пере­менные X1, X2,..., Xn. Множество Mn называется предикатным пространством размерности n. Эле­менты множества Mn называются предикатными векторами. Любая функция F(X1, X2,..., Xn) = Y, отображающая множество Mn в множество M, называется предикатной операцией. Образуем множество R всех предикатных операций, отобра­жающих Mn в M. Алгеброй предикатных опера­ций над R называется любая алгебра, заданная на носителе R. Отрицанием предикатной операции F называется операция F , отображающая R в R , значения которой определяются по правилу:

F(X1, X2,..., Xn) = F(X1,X2,...,Xn).

Дизъюнкцией предикатных операций F и T называется операция F v T , отображающая R х R в R, значения которой определяются по правилу:

(FvT)(X ,X2,..., Xn) = F(X ,X2,...,Xn)v vT (X1, X2,..., Xn).

Конъюнкцией предикатных операций F и T называется операция F л T , отображающая R х R в R, значения которой определяются по правилу:

(FлT)(X ,X2,...,Xn) = F(X ,X2,...,Xn)

^(X , Х^^ Xn ).

Константной предикатной операцией на­зывается любая предикатная операция вида F(X1, X2,..., Xn) = P , где P - предикат из M. Бу­дем обозначать ее символом P и называть конс­тантным предикатом. Тождественной предикатной операцией по переменной X' (' = 1, n) называетсяоперация вида F(X1, X2,..., X') = X'. Будем обоз­начать ее символом X' и называть предикатной переменной. Предикатной операцией узнавания предиката P по переменной X' (' = 1, n) называет­ся операция из R вида:

XP = |1, если X' = P, '    [0, если X' * P.

Дизъюнктивно-конъюнктивной алгеброй пре­дикатных операций называется такая алгебра над R , у которой базисными операциями служат дизъ­юнкция и конъюнкция предикатных операций, а базисными элементами являются любые констан­тные предикаты и любые предикатные операции узнавания предиката.

Утверждение 1. (О полноте дизъюнктивноконъ-юнктивной алгебры предикатных операций). Лю­бая предикатная операция выражается в дизъюнк-тивноконъюнктивной алгебре в виде:

F(X1,X2,...,Xn) = vF(P , P2,..., Pn)XpX2P2 ...Xp P1, P2,..., Pn є M .

Доказательство очевидно.

Подстановкой x' / a(P) = Q значения a єU на место аргумента x1 (' = 1, m) называется предикат­ная операция, отображающая M в M и определя­емая правилом:

Q(x1, x2       xm ) = P(x1, x2       X'■-1, a, X'■-1,...,xm ).

Подстановку можно понимать не только как предикатную операцию, но и как операцию над предикатными операциями. При таком понима­нии она определяется следующим образом:

x' /a(F(X1,X2,...,Xn)) = = F(x' /a(X1),x' /a(X2),...,xt /a(Xn)).

Алгеброй подстановочных операций называется такая алгебра предикатных операций над R, у кото­рой базисными операциями служат всевозможные подстановки вида:

xt / a(' = 1,m,a єU),

а также операции отрицания и дизъюнкции, а базис­ными элементами являются предикаты равенства D(x1, x{), (' = 2, m) и переменные X{ (' = 1, m).

Утверждение 2. (О полноте алгебры подстано­вочных операций). Любая предикатная операция выражается в алгебре подстановочных операций.

Доказательство. Теорема будет доказана, если все базисные элементы и базисные операции дизъ-юнктивноконъюнктивной алгебры будут выраже­ны через базисные элементы и операции алгебры подстановочных операций. Операция дизъюнк­ции в алгебре подстановочных операций имеется. Выражаем конъюнкцию: F v T = Fv T. Выража­ем нулевой предикат: 0 = X1 л X1. Выражаем уз­

навания предмета: x1a = x2 / a(D(x1, x2)), (a є U), x(a = x{ / a(D(x1, x{)), (' = 1, m). Выражаем предика­ты узнавания предикатов: X1 p =V£(X{P(£)). Любой постоянный предикат выражаем с помощью операций дизъюнкции и конъюнкции, применен­ных к нулевому предикату и предикатам узнавания предметов. Переменн^ій предикат X{ в базисе ал­гебры подстановочных операций имеется._Вьіража-ем операцию равнозначности: F ~ FT = FT v FT . Выражаем квантор общности по предметному век­тору V£(F) = Vx1 Vx2... Vxm (F). Выражаем кван­тор общности по переменной x{ (' = 1, m): Vx^ (F) = = л x{ / a(F). Мы выразили все базисные элементы и все базисные операции дизъюнктивноконъюнк-тивной алгебры через базисные элементы и базис­ные операции алгебры подстановочных операций. Утверждение доказано.

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

М Ф Бондаренко - Идентификация объектов описываемых р числовыми системами

М Ф Бондаренко - Об общей теории компараторной идентификации

М Ф Бондаренко - Омпараторная идентификация цветового зрения человека

М Ф Бондаренко - Современные методы кодирования речевого сигнала

М Ф Бондаренко - Практические приложения компараторной идентификации линейных конечномерных объектов